OL
SÉRIES DE FONCTIONS. 2l5
Le second facteur du dernier membre est égal à
'-^i{-—^—^'--rT7A-—^-3 — •••) -^••-
On peut donc écrire
(i-h OLX)*= e« I ar-h ^^ 7—^ — x'-f-... L
et Ton voit, en particulier, que, lorsque x s'approche de zéro y
(1 -I- oLxy tend vers la limite e«.
Des méthodes analogues s'appliquent au calcul d'expressions approchées de fonctions implicites de x, valables pour les valeurs de Xj voisines de zéro.
G)nsidérons, par exemple, Téquation
A a?» -t- a Brr^ -h C^* -k- -iDx-hi Ey = o,
qui définit y comme une fonction implicite de x s'annulant pour x = o (n** 219). Admettons que cette fonction puisse se mettre, dans un intervalle ( — a, a), sous la forme
y = aiX-hUiX^-h. . .-H apXP-\- XorA^-^-i;
on va chercher à déterminer les constantes ai, a2, ..., cip\ en remplaçant, dans le polynôme Aa:^ -f- 2 B ay^ H- . . . , ^ par cette expression, on le mettra sous une forme analogue, où les coefficients des différentes puissances de x devront être nulles. En écrivant qu'il en est ainsi, on obtiendra une suite d'équations qui permettront de calculer successivement ai, a^, aj, . . ., a^ ; le calcul des trois premiers coefficients est effectué ci-dessous :
aD-i-2Eai = o, A -h 2Bai-t- Gaf -t- 2Eaj = o, '2 B as + 2 Gai ai + 2Ea8= o, D A (GD — BE)A
ai 6 CHAPITRE XIV.
en posant A = 2 BDE — AE^ — CD^ ; on a donc
D A , (CD — BE)A , •^ = -Ê"^-^^"^-^ TËi ^^- •
On a supposé implicitement E diflTérent de o; si E était nul, on Qe serait pas dans le cas où s'applique le théorème fondamental relalif à Texistence des fonctions implicites, puisque la dérivée partielle par rapport à j^ du polynôme Ax^-\- 2Bxy +...+ ^Ey serait nulle pour x = o,y = o.
Si, pour une fonction /(^), on a trouvé une expression abrégée du type
f(x)= aoH- ai a? H- aj 37* + . . .-♦- ««a^^-h Xar«-^-»,
et si l'on sait (ou si l'on admet) que la dérivée et la fonction primitive de /(x) sont susceptibles d'être mises sous cette forme, il esl clair que l'on pourra écrire pour la dérivée f'{x) et pour, celle des fonctions primitives qui s'annule pour x =-o
f'(x)= ai-h îxaja7-t-. . .-h /iarta?"-»-h fxrr",
F(ar)= ao^r-h «i h. ..H-a„ H va"«^-*.
^ 2 /i-hi
234. Une fonction de x ne peut pas toujours se mettre, pour les valeurs de x voisines de o, sous cette forme
que l'on vient de considérer; les fonctions Igor, y/ar, — > par exemple,
ne sont pas susceptibles d'être mises sous cette forme. Toutefois les méthodes que l'on vient d'expliquer permettent très souvent d'obtenir des expressions approchées, plus ou moins difl*érentes de celles que l'on vient de considérer, mais qui n'en rendent pas moins de
grands services.
f(x\ Revenons, par exemple, au quotient '— — - de deux fonctions
/(a')= a^-k- a\X -^ afX^-h. . ., g(x)= bo-^ bix -h biX'-i-, ....
SÉRIES DE PONCTIONS. 217
J'ai écarté précédemment le cas où bo était nul : Supposons de suite que l'on ait
ao= 0,
6rt i = o,
an 9^ 0,
le quotient se meltra sous la forme
g{x) x»gi{x)' en posant
/x(x)= atn ■+- a,n^x X H- «//n-l'î** M- . . . ,
^,(a-)= 6„ -h 6,,^, a?-f- 6„Hj 37» -f-...,
et l'on pourra, en appliquant la méthode exposée plus haut, mettre le rapport "^ ,^ sous la forme
en désignant par Aq, Ai, ..., Aji, des constantes qui ne dépendent que tJe a^, «iw+i, ..., am^p^ bny An+i, ..., 6//4./J et par A une fonction bornée dans un petit intervalle ( — a, a). Il ne restera plus qu'à multiplier par j:*""" l'expression obtenue; lorsque m est supérieur ou é^al à 71, on retombera sur une expression approchée qui appartient au type considéré jusqu'ici, expression qui sera valable pour les petites valeurs de x, et mettra en évidence la façon dont le rapport
considéré se comporte pour ces valeurs : on voit, par exemple, que,
f(x) SI m est plus grand que n, le rapport ^^-^ s'approche de la limite o
quand x tend lui-même vers o, que, si m est égal à /i, le même rapport
tend vers la limite t^> quand x lend vers o. Si au contraire n est
plus grand que m on a
Je suppose que l'on ait pu pousser les calculs assez loin pour que /> -h I -f m — n soit positif.
On voit la différence entre l'expression à laquelle on parvient ainsi et celles que nous avons considérées jusqu'ici; celles-ci, abstraction
faite du terme complémentaire, étaient de vrais polynômes en x, ordonnés suivant les puissances de or; nous avons ici des termes en -> ou en x~* ; l'expression à laquelle on parvient, en faisant toujours abstraction du terme complémentaire, est encore ordonnée suivant les puissances croissantes de x, mais elle contient des termes à exposants négatifs; elle se compose d'abord d'une partie fractionnaire, ou plutôt d'un polynôme en - > sans terme constant,
Ao . Al A.n—m—i
puis d'un polynôme ordonné suivant les puissances croissantes de x
An-m -+• An-m-ht SP-h...-^ Ap J:/>+'«-« ;
ce polynôme est enfin suivi du terme complémentaire. Le polynôme en X et le terme complémentaire sont continus pour .r = o; leur somme, quand x tend vers o, tend vers la limite A^.^; le polynôme en - et le rapport — — - deviennent infinis quand x tend vers o et la
différence entre le rapport — — r et le polynôme en - tend vers A».»,;
le polynôme en - est d'ailleurs le seul polynôme en — sans terme
constant tel qu'en le retranchant de '^ ) [ la différence tende vers
une limite finie. Ces circonstances sont exactement celles qu'on a
rencontrées au Chapitre IV quand on s'est occupé des fractions
rationnelles; les calculs qui conduisent à ce polynôme en -> dont on
comprend bien qu'il joue le rôle essentiel quand on s'approche de o,
sont d'ailleurs exactement les mêmes que ceux que l'on a faits
alors (n^ 61).
On a, par exemple.
sinâ?
sin*a?
sin'a?
VIO
ces a?
sinar
Considérons encore l'expression \J x — x'^-^ x^\ elle n'est réelle, pour les valeurs de x voisines de o, que si x est positif; on l'écrira
^x / 1 — rr -H ar*
et l'on calculera, comme il a été expliqué, une expression approchée pour sj \ — x + x^^ en s'arrétant au terme que l'on voudra; en se limitant au terme en x^^ on trouve
J\ — a?H-ar* =1 ar-f- ;^a?*-h Xrr',
Jx — a?* -t- 07' = ar' ar' -h 5a?'-t- \x^\
au lieu d'avoir des puissances entières de x^ on a des puissances fractionnaires.
G>nsidérons enfin l'expression lgsin:r, en supposant x positif très petit, elle est égale à
, ar* a?*
L'expression approchée que l'on obtient ainsi pour Ig sin j? se compose du terme Igx et d'une expression analogue à un polynôme ; \%x devient infini quand x s'approche de o ; mais la décomposition précédente peut être cependant utile, parce que la fonction Iga:, que l'on a réduite en tables, est une des fonctions les plus connues : on trouvera d'ailleurs, à la fin du présent Chapitre, des renseignements sur la façon dont elle devient infinie quand x s'approche de o.
23o. Jusqu'ici on n'a cherché d'expressions approchées que pour le cas où la variable était voisine de o ; on n'a, si l'on veut étudier une fonction f{^x) pour les valeurs voisines de a et en obtenir des expressions approchées, qu'à poser 2: = a -H A, et à chercher des expressions de la fonction /(a 4- A) pour les valeurs de h voisines de o, on est ramené au cas précédent.
Il convient de dire un mot du cas où l'on considère des valeurs de x
très grandes en valeur absolue ; on pose alors j: = - et l'on est encore
ramené au cas précédent. On trouvera dans beaucoup de cas des polynômes en 3, ou des sommes de polynômes en z~* et en 5, ordonnés suivant les puissances croissantes de js, suivis d'un terme
complémentaire du type — ;j:pj> ^ reslant borné quand x est très grand en valeur absolue.
Soit, par exemple, l'expression sjx- — x -+- i dont on voudrait savoir comment elle se comporte pour les valeurs de .r grandes en valeur absolue, et pour laquelle on désire obtenir des expressions approchées : on a
^x^ H- a* -h I = %%vlx- —
on a, en s'arrêtant au terme en z*
et, par suite.
X étant borné quand z s'approche de o, ou quand x lend vers ±3c. Le second membre est alors ordonné suivant les puissances décroissantes de x\ on voit par exemple ici que, pour de grandes valeurs
positives de x, \j'x'^ — x -^ \ est à peu près égal k x ; la différence
entre y/j7* — x -\- \ et x tend vers o quand x tend vers -h^c.
On se dispense souvent d'écrire x = -• On écrira par exemple ici, en supposant x positif,
Jx^ — 07-4- 1 =zxi/i 1 = x( i ! :)
SERIES DE PONCTIONS.
Considérons encore l'expression (in ) ^ où je supposerai que x
désigne un nombre fixe et que m tende vers dooo. On posera m= -
et l'on fera tendre z vers o; l'expression donnée prend la forme
(i -f- xsy ; c'est, sauf la difl'érence des notations, une expression qu'on a étudiée au n® 233, où l'on a vu qu'on pourrait écrire
(i -^ xz)* = e^ l i z-h -^ — z^ -¥-... ;
on a donc
\ mj y 1 m 'if\ m* J
Lorsque m est très grand en valeur absolue, z est très voisin de o; la quantité entre crochets est très voisine de i , aussi voisine de i qu'on le veut, pourvu que m soit suffisamment grand. On voit en par-
ticulier que, lorsque m grandit indéfiniment, l'expression ( i H — '-\
a pour limite e^. Le cas particulier où x est égal à i a été étudié au n*^ 192.
236. Applications au calcul numérique des valeurs d'une fonction donnée. — Les divers développements que l'on a appris à former servent à divers objets, soit que ces développements soient des séries illimitées, dont la loi est connue, soit que ces développements soient limités et ne puissent être utilisés qu'aux environs d'une valeur donnée. Leur objet essentiel est le calcul des valeurs que prend la fonction pour des valeurs données de la variable : on va en donner des exemples tout à l'heure. Les développements illimités, dont on connaît la loi, permettent souvent aussi de reconnaître certaines propriétés des fonctions, dans l'intervalle de convergence. On en a vu un exemple pour la fonction e^. Les développements limités servent surtout à reconnaître l'allure de la fonction qu'ils représenlent pour les valeurs voisines d'une valeur donnée.
Pour ce qui est des calculs numériques, les développements en série entière seront surtout avantageux pour les petites valeurs de x : théoriquement ils peuvent servir dans tout l'intervalle de couver-
ViH-X CHAPITRE XPt\
gence; les développemenls de e', sinj:, cosj: permettent de calculer ces fonctions quel que soit x; mais il conviendra de se senir des propriétés connues de ces fonctions pour ramener le calcul au cas où les valeurs de x sont petites. S'il s'agit, par exemple, du sinus d'un arc x, on pourra toujours en ramener le calcul au calcul du sinus ou du cosinus d'un arc {*) x compris entre o et ^ = 0,785 .... Pour un tel arc, les séries
a? x* jr* x'
sinar =
cosor = I —
appartiennent à ce type de séries alternées où les termes vont en décroissant et où ainsi le dernier terme négligé permet de reconnaître le signe de Terreur et fournit une limite supérieure de l'erreur. En se bornant aux termes écrits, on voit que les formules précédentes fournissent des valeurs approchées par défaut de sinz et de cos x et que les erreurs commises sont respectivement moindres que
en cherchant les logarithmes (vulgaires) de ces quantités on reconnaît que les caractéristiques de ces logarithmes sont respectivement 7 et 6, en sorte que les erreurs sont certainement moindres que lo"* et 10"*; pour les petites valeurs de x, les derniers termes seront évidemment négligeables.
Logarithmes. — La formule
lg(l + X)=---+ 3--...
n'est valable qu'à l'intérieur de l'intervalle ( — 1,1); elle peut cependant servir à calculer les logarithmes des nombres naturels de proche
(*) Si cet arc est exprimé en degrés ou en grades, on n'oubliera pas de rexprimcr en parties du rayon.
ea proche; en désignant en effet par n un tel nombre et en faisant, dans la formule précédente, ar= -, elle devient
!g(,.^i)-lg/.= --— -^
si Ton connaissait Iga, cette , formule permettrait de calculer lg3, lg4, ... ; les calculs, assez longs pour les petites valeurs de /i, deviendraient faciles dès que n est un peu grand : toutefois la formule précédente peut être remplacée par une autre qui est beaucoup plus avantageuse.
On a établi au n^ 230 la formule
, , , I -h 37 a? ar' a:»
(.) Ig__ ==,+,+, H....
valable à Tintérieur de l'intervalle ( — i, i) ; en posant
I H- ar 71 -H I I
X sera un nombre positif, au plus égal à - 1 si l'on prend pour n un nombre naturel; on aura donc, en remplaçant x par >
(2) lg(/H-i)lg7l = 2 '
2/l-hî 3(2/H-l)» 5(2/l-hl)» *"'
cette formule est appropriée au calcul; en s'arrêtant dans le second membre au terme
le reste sera un nombre positif, moindre que
2/l(/l-l-l)(2y»-hl)(2/H- I )'/'-»
Si l'on veut calculer Iga de cette façon, on fera n = i dans l'éga-
lilé (2) et Ton aura
L'erreur coramise en s'arrétaiit au terme ^—r sera moindre
ip — I Z*p »
que
4 (a/j-hoS*/»-»'
si Ton veut, par exemple, calculer Iga avec 7 décimales on appliquera la méthode du n** 193; en calculant chaque terme avec 9 décimales.
on constatera que le terme ne fournit plus que des zéros:
d'ailleurs on reconnaît, sur l'expression précédente, que l'erreur commise en s'arrétant au huitième terme —:^^,i: est moindre qne
u ^ ,„io'
Terreur totale sera moindre que — 5 H — < — -; elle ne pourrait
influer sur la septième décimale que si la huitième était un 9; s'il en était ainsi, on devrait pousser l'approximation plus loin, mais ce nesl pas le cas ici et l'on obtient avec sept décimales exactes (')
lg2 = 0.6931471.
Les calculs, un peu longs au début, deviennent bientôt plus aisé>: le troisième terme de la série, puis le second deviennent négligeables.
C'est des logarithmes vulgaires (à base 10), plutôt que des lo*iarithmes naturels que l'on a besoin (n° 203).
On les calculera au moyen de la formule
\ogiQ(n-\-ï)— lotion = 'àM
■j {in-hiy 5 (a/n- 0'
(*) Si l'on veut avoir Jg2 à près, on doit forcer la dernière décimale.
SÉRIES DE PONCTIONS. -2'25
OÙ M désigne l'inverse du logarithme de lo, que le procédé précédent permet d'obtenir (* ).
On a
237. Interpolation dans les tables de logarithmes. — Le lecteur connaît les règles qui permettent de trouver le logarithme d'un nombre qui ne figure pas dans la table, ou de trouver le nombre qui correspond à un logarithme. Il est aisé de justifier ces règles.
Supposons, pour fixer les idées, que l'on se serve d'une table à cinq décimales donnant les logarithmes (vulgaires) des nombres entiers de 1 à 10 000 : on y trouvera les mantisses des logarithmes (vulgaires) des nombres ayant moins de cinq chiffres, avec une erreur moindre qu'une demi-unité du dernier ordre décimal.
Je supposerai, pour ce qui est du premier problème, qu'on ait à chercher le logarithme vulgaire d'un nombre A -H a, dont la partie entière A est comprise entre 1000 et loooo, et, pour le second problème, qu'on cherche un nombre A + a, compris entre 1000 et 10000 dont on connaît le logarithme vulgaire Mlg(A4-a); c'est toujours à ces deux cas, en effet, que se ramènent les deux problèmes.
Dans le premier cas, la règle consiste à prendre pour Mlg(A-|-a) la valeur M IgA -|- a[]Vl lg(A 4- â) — MlgA]; l'erreur qui résulte de cette règle même est le produit par M de
lg(A-ha)-lgA-a[lg(A4-i)-lgA]
__ a(i — a) a(i — a*) a(i — a') ""■"TA» 3» * 4Â* '"'
la série qui figure au dernier membre appartient au type du n° 187 ;
sa somme est moindre que Tr^> comme a est moindre que 1, le
produit a(i — a)= - — (a — - j est moindre que ^> et la somme de
( *) Pour obtenir Igio il suffit de calculer lg2 et
^ II J iH O II*
T. - IL i5
la série est moindre que ^-^ <^ "jT"' P^'sque M est moindre que -i on voit que Terreur résultant de Tapplication de cette règle e.sl moindre que lo"''. A cette erreur peut d'ailleurs s'ajouter celles qui proviennent de l'inexactitude de la valeur de Mlg(A-t-i)— MlgA. de ce qu'on ne garde que les prenliers chiffres dans le produit de cette diff*érence par a, enfin de l'inexactitude de MlgA.
Considérons maintenant le problème inverse; on connaît le logarithme vulgaire d'un nombre inconnu A 4- a, logarithme vulgaire qui est compris entre Mlg(A-t-i) et MlgA, lesquels figurent dans la table; A et A-l-i sont des nombres entiers compris entre looo et 10000; on prend pour a la valeur approchée
Mlg(A-+-g)- MlgA Mlg(AH-i)— MlgA'
l'erreur qui résulte de Tapplication de cette règle est
lS(A-^a)-lgA ^M'^i)-M'^i).
lg(A^.)-igA ,^^^^,^
on a vu plus haut que le numérateur de cette fraction est inférieur à r-7^; le dénominateur, égal à ^ j- -f- 3— — . . ., est plus grand
que -j- 7-j; Terreur est donc moindre que
\A -lAV
Comme cette erreur est plus petite que Yoon^ ^^ règle est justifiée; car il ne viendra à l'esprit de personne d'utiliser cette règle pour calculer trois chiff*res décimaux au nombre inconnu ; l'incertitude sur la valeur de ]og(A-t- i) — IgA ne le permet évidemment pas (*).
(') L'erreur qui provient de cette incertitude devient très notable quand oo s'approche de loooo et que les différences deviennent petites : si l'on désigne par/), q les nombres entiers que l'on substitue en fait aux valeurs exactes de
io*[Mlg(A-ha)— MlgA], io*[M lg( A -h 1)- M Ig A],
et par e, t, des limites supérieures des erreurs commises ainsi, la différence entre
Mfgf A -+-a) - M I<î\ , P . ■ , « -^ P
., . , . r rr-, — r ^^ est moindre que 1 — -^ i or, comme q
M Ig(AH-i) — M IgA g ^ g-r^ ^ — 7; ^ ' »
descend au-dessous de 5, on voit que l'erreur que l'on commet de ce fait peut éln* voisine de -^.
^8. Constante d'Euler. — La formule
\s(n -i-i) — lffn = H- - — - — . . .,
où n désigne un nombre naturel, montre que l'on peut écrire, en désignant par In un nombre positif plus petit que -*
En ajoutant membre à membre à cette égalité celles qu'on en déduit en y remplaçant n par I (*), 2, 3, ..., n — I, on trouve
lg('H-l)= - H h r H-...H ; i — ••• T-
On en déduit
11 II/ ^ El Et e„
supposons que l'on fasse croître n indéfiniment; comme la série à termes positifs
est manifestement convergente (n" 183), on voit que le premier membre tend vers une limite, à savoir la somme C de la série précédente. On a donné à ce nombre
le nom de constante d^Euler; il joue un rôle important dans diverses questions d'analyse.
Le fait que la différence
tend vers une limite quand n augmente indéfiniment met bien en évidence la divergence de la série
IH h. ..H h. ..
2 n et la nature de cette divergence.
(*) A la vérité la relation n'est pas établie pour /i =1; qu'elle soit exacte, même pour ce cas, c'est ce qui résulte de la valeur de lg2.
Calcul de it. — Il est aisé de tirer de la formule
X a:' x^ arc tango: = 3" "*" ~^^ ' " *'
valable pour les valeurs de x intérieures à Tintervaile (—1, -i- i) une formule convenable pour le calcul de it.
Observons d'abord que les formules
ia , a— h
•2arc tanga = arc tang j> arc tanga — arc tango = arc tang— — t>
où a, h désignent des nombres positifs moindres que 1, résultent immédiatement des formules
2tan£:a „ tanga — tang Ô
Ungaa= 2__, tang{a — S)= f r"^*
® I — tangua ^ ^ i -+- tanga tang p
Je vais me servir de ces formules pour le calcul de la tangente de l'arc 4arctang- — arc tang i, que l'on peut prévoir être assez petit; on a successivement
2arc tang - = arc tang = arc tang — j
4 arc tans -7 =arc tang ■=- = arc tang j
