X x^ x^ ar

Ces formules renseignent immédiatement sur la façon dont varient les fonctions ch^, sho;. On voit d'abord que la première est paire, la seconde impaire; elles sont toutes deux croissantes pour x positif: elles croissent indéfiniment, et plus rapidement que n'importe quelle puissance de x, quand x tend vers -f- 00 (n*» 227).

La fonction (i -h x)'" est définie, quelque soit d'ailleurs le nombre m, pour X intérieur à l'intervalle (—1, i); elle vérifie l'équation différentielle

y __ ni y iH-a;'

OU

y{i-har)— /n^ = o;

on voit comme tout à l'heure que toute solution de cette équation doit se déduire d'une solution particulière z en la multipliant par une constante: toute fonction qui, mise à la place de j^, vérifie cette équation pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et H- i, est de la forme C(i -h .r)"*; la fonction (i -h x)"*- elle-même est caractérisée parce fait qu'elle satisfait à l'équation et qu'elle se réduit à i pour jr = o.

Cherchons s'il y a une série de la forme

[a) ao-+-aiir -H. . .-H «„rr''-h. . .

qui vérifie cette équation difTérentielle ; dans le produit par i -\- x de la série dérivée

le coefficient de x""*, c'est-à-dire (n — i)a„i 4- na„^ doit être égal à /7ia«i ; l'égalité na,t=^(m — n-\-i)a,f i doit avoir lieu pour toutes les valeurs naturelles de n. Réciproquement, si tous les coefficients d'une série convergente vérifient cette équation, la somme de la série vérifie assurément l'équation diff*érentielle y{i -\-x) — my = o : or la relation précédente donne successivement

a,= --ao, aî== — ao> •••» «« = — «ni ••••

par conséquent, la série cherchée s'obtient en multipliant par la constante «© les termes de la série

on a vu au n® 182 que cette série est convergente pour les valeurs de X intérieures à l'intervalle ( — i, i); puisque, pour ^ = o, la somme de la série est égale à i , on a, pour toutes les valeurs de :r considérées,

m rn(m — i) ^ m{m — i)...(m — /i-hi)

101 CHAPITRB XIV.

cette formule, jusqu'ici, n'avait été établie que pour les valeurs entières de m ; elle est due à Newton. En y changeant m en — m, elle devient

. . , m(/« -hi). ..(//i -t-/i-Hi) „

elle permet de développer les expressions telles que

^iH-a- = 1^14- a:)*, —{i-i-x} »;

en y remplaçant, par exemple, x par — x^ et m par — |, elle doone la relation

— === = IH — a:* H 7 37^ -»-.•. H ; ir*« -h...

qui est encore valable pourvu que x soit intérieur à l'intervalle (— i, i); le premier membre est la dérivée de la fonction arc sinjr, dont on obtiendra donc le développement en formant la fonction primitive de la série qui figure au second membre ; la constante arbitraire se détermine par la condition que la fonction primitive soit nulle pour X = o, comme arc sinj;; on obtient ainsi

1073 1.3 x^ 1 .3.. .(-2/1 — i) ^«''-^-» arc smx = X -i —h -r- -h. ■ ^

cette formule est valable à l'intérieur de l'intervalle ( — i, 1). Ou établira de même la formule

, / i :\ IX* r.3 a?» i.3,5 jt'^

dans laquelle le premier membre est la fonction inverse de shx. Elle est valable pour les valeurs de x intérieures à l'intervalle (— i, i)-

On pourrait obtenir par un procédé analogue les développemeni? en série entière des fonctions u = sinx, i' = cosj7 en partant de ce que ces fonctions vérifient les équations différentielles tf=^-

SÉRIES DE FO>XTIONS. 2o3

r'=: — w ( ' ). On va les déduire tout à Theure d'une formule générale.

232. On a montré au n" 229 que, si une fonction F(j7) pouvait, dans un intervalle ( — a, a), être regardée comme la somme dune série entière absolument convergente, cette série avait nécessairement la forme

d'où un moyen évident pour obtenir le développement en série entière dune fonction donnée F(j:), si ce développement est possible. Prenons, par exemple, pour F(x) l'une ou l'autre des fonctions sin x et cos j?, dont

les dérivées ^'«'««» sont respectivement sinf a: -+- ^ ) et cos( a* + — )'

en sorte que l'on a, dans le premier cas, F^P^ (o) = sin — j c'est à

savoir o si /> est pair, i ou — i si /? est un multiple de 4 plus i

ou plus 3, et, dans le second cas, F^/'^(o) = cos ^^> c'est-à-dire o

si p est impair, i ou — i si /? est le double d'un nombre pair ou le double d'un nombre impair; les seuls développements possibles pour sinj: et cos^r sont les suivants :

sin:r = H -— -- ...+ (— i)/' -+-...,

f COSJ: =1 1 — — — .. .4-(— \)i'

mais, Lien qu'on ait démontré, au n" 182, la convergence, pour toute \aleur de .r, des deux séries qu= figurent dans les seconds membres, on ne peut affirmer, en se fondant sur le raisonnement qui précède, que les sommes de ces deux séries soient respectivement égales à i\nx et à cosjc.

En admettant toujours la possibilité de développer, dans l'intervalle ( — a, a), la fonction Y{x) en une série entière absolument convergente, il est clair qu'on peut mettre cette fonction sous la forme

F(o)-4-fF'(o)+^F'(o)+...4-^^F>/"(o). '"^""'

( » ) Voir Exercice 253.

204 CHAPITBE XIV.

M étant une fonction de x dont on sait seulement qu'elle reste, en valeur absolue, inférieure à un nombre positif fixe, quand x appartient à l'intervalle ( — a, a); il est naturel de chercher à obtenir quelque évaluation de cette fonction, qui fournisse un renseignemem sur le reste de la série considérée quand on n'en conserve que les y» -f- 1 premiers termes.

Plus généralement, sans même supposer que la fonction F(j:) soit développable en série entière, et en supposant seulement que celte fonction admette, dans tout l'intervalle (o, ^o)» des dérivées jusqu'à l'ordre/? -f- 1 afin que l'expression qu'on va écrire ait un sens et que les raisonnements qui suivent soient légitimes, on peut se proposer d'évaluer la différence

F(a7) — F(o)--F'(o) — — F'(o)— ... ^^ Ft/^^Co).

M x^^^ Désignons par ^—r la valeur de cette différence pour x-=-x,i.

Mo étant un nombre inconnu dont on va obtenir une évaluation: posons pour cela

la fonction ^{x) admet certainement, dans l'intervalle (o, ^Tq), <1^" dérivées jusqu'à l'ordre /; 4- i , puisqu'on l'obtient en ajoutant un polynôme à F(j:), qui admet de telles dérivées : ces dérivées sont successivement

y'(^) =F'(x) -F'(o) -^F'(o)— -^^ ^^^^F'P'(o)--^^^-;^ç'(^) = F'(x) - r(o) - ÎF-(o)-...- -^-^— ^^^-^F</')(o)- -j-^-;^

ot/'+i'(.r) --- Fl/»-^»'(a:) — Mo-

Or la fonction «(a:), en vertu de la façon même dont elle a été formée, s'annule pour j? = Xo ; elle s'annule évidemment, à cause de sa forme, pour j7 = o; donc (n" 215), sa dérivée s'annule pour un nombre x,.

SÉRIBS DE PONCTIONS. 9.o5

compris entre o et J?o, différent de o et de Xq; ^'{x) s'annulant, d'une part, pour j? = ari, et s'annulant évidemment, d'autre part, pour^ = o, 'i^xj s'annulera pour un nombre x^ compris entre o et j?i, et ainsi de suite : ^^pH^x) s'annulera pour un nombre Xp compris entre o et X;,, ; C5^^'^(x) s'annulera pour un nombre Xp^^ compris entre o et Xp^ par conséquent entre o et Xq^ et différent de l'un et de l'autre ;

on a donc

Mo=F(A'^»J(a;,^,).

Cest l'évaluation que l'on voulait obtenir; on peut écrire

Xp^^ étant un nombre dont on sait seulement qu'il est compris entre o et x©, et différent de o et de Xq,

Cette formule est valable, quel que soit le nombre Xq^ pourvu que les conditions imposées relativement à l'intervalle (o, Xq) soient vérifues. Rien n'empêche maintenant d'effacer l'indice o, pourvu qu'on sache que x appartienne à un intervalle (A, B), dont le nombre o fa>se partie, dans lequel la fonction F(x) admette des dérivées jusqu'à l'ordre /? + i , et d'écrire

I ») F(ar) = F(o)-4- ÎF'(o)-h -- F'(o)-h...

-F /'Ho) H ; — F^/'+ï'(Ox),

en désignant par 6 un nombre compris entre o et i , différent de o et de I, afin que le produit hx, qui, dans la nouvelle formule, remplace Xp^i, désig:ne un nombre compris entre o et x.

On voit qu'une fonction V{x), qui pour o et les valeurs voisines admet des dérivées jusqu'à Tordre // -h i , se comporte à peu près comme un polynôme, pourvu toutefois que la dérivée (yo -h i)^*"'' reste, dans le voisinage de o, moindre en \aleur absolue qu'un nombre positif fixe (').

( ' ) Je «lirai souvent, pour abréjjer, qu'une fonction /{x) est bornée dans un intervalle (a, 6), ou aux environs de a, pour dire que la valeur absolue de cette fonction, quand X appartient à cet intervalle, ou reste suffisammeiit voisin de a, reste coinpriie entre deux nombres positifs fixes. On suppose ici que la dérivée (/?-+- !)'*"• de la fonction F(x), aux environs de o, est bornée.

'lo6 CUAPITaE XIV.

Dans ces conditions, la formule précédente fournit des expressions approchées très simples de F(x ) quand x est voisin de o, à sa^oi^

F(o), F(o)-uxF'(o), Fioj-hxF'(o)-+ — F'(o;, ....

II est bien aisé d'axoir une formule analogue qui rendra les même? services pour les valeurs de x voisines d'un nombre a, que je supposa appartenir à un intervalle (A', B' i dans lequel la fonction Fu admette des dérivées jusqu'à l'ordre p -^ i ; il suffira de poser X = a -r /i, en désignant par h une nouvelle \ariable, assujettie à la condition de rester dans l'intervalle ( V — a, B' — a), qui contient évidemment le nombre o, alîn que a -\- h reste dans l'intervalle ( V, B' ): la fonction (de h) V{a-\-h) admettra dans l'inlenalle (A' — a, B' — a) des dérivées jusqu'à Tordre yp -|- i et ces dérivée.N s'obtiendront, en vertu du théorème des fonctions de fonction, en remplaçant x par a -{- h dans F'{x), F"{X), ..., F'PUx); on aura donc. sous les conditions imposées,

• Fiùa}-\ -F/'+iHa-^e/i..

en désignant toujours par H un nombre compris entre o et i. Dans les formules ( 2 ) et ( .^), les derniers termes

qui contiennent un nombre inconnu 9, s'appellent termes compléme nia ires ( ' ).

( *) Aces formules, qui sool évidemment équivaleales, sont attachés respeclivemeat les noais de MacUurio et de Taylor. Celle dénominaiion est un peu impropre; iMucIaurin et Taylor n'ont pas considéré d'expressions limitées, avec un terme couiplémeniaire, mais bien les séries illimitées

qui, sous certaines conditions, ont respectivement pour sommes F{x) et F(a-^^)' C'est d'ailleurs ces séries qui lienncnt le rôle le plus important. Le terme compitnientaire, sous la forme précédente, a été donné par Lagrange. La formule (4) ^^^' tient, comme cas particulier {p = o), la formule des accroissements finis.

SÉRIES DE PONCTIONS. lOJ

Le lecteur n'a pas manqué d'apercevoir l'analogie qu'il y a entre ces formules et celles qu'on a obtenues pour les polynômes; il prévoit certainement les conséquences qu'on en peut tirer pour l'étude d'une fonction dans le voisinage d'un nombre donné : on reviendra plus lard sur ces conséquences. C'est, pour le moment, de leur application aux développements en série qu'il est question.

Les formules (2) et (3), en raison de la façon dont l'une a été déduite de l'autre, sont manifestement équivalentes; les raisonnements qui s'appliquent à l'une s'appliquent à l'autre. Il suffira de raisonner sur la première, en supposant que x appartienne à un intervalle 'A, B), contenant o, où la fonction donnée admette des dérivées de tous les ordres possibles.

Le terme complémentaire peut être regardé comme la différence entre F(.2:) et la somme des p -+- 1 premiers termes de la série

dont tous les termes suivent la même loi. Si cette différence tend \ers o quand p augmente indéfiniment, c'est que la somme des p -\- i premiers termes de cette série a pour limite F{x) quand p augmente indéfiniment, c'est donc que la série est convergente et a pour somme F\x). Réciproquement, pour que la série soit convergente et ait pour somme F(x), il faut que la différence considérée, ou le terme complémentaire, tende vers o quand/; augmente indéfiniment.

Sous la condition (nécessaire et suffisante) que le terme complémentaire tende vers o quand p augmente indéfiniment, on peut donc écrire

F(ar) = F(o)-4- -F'(o)-4- ^F''(o)-H....

Le terme complémentaire peut alors être regardé comme le reste de la série qui figure au second membre, limitée au terme en xP^ c'està-dire que l'on a

F'/^i (^x)= Fi/>^»Uo) H î— F</'+»no)H '^ F:p+3Uo)-t-

Il y a un cas où l'on reconnaît très facilement que le terme complémentaire tend vers o lorsque/; augmente indéfiniment, c'est celui où Ton sait que les dérivées F^^^(^), dans l'intervalle considéré,

ao8 CHAPITRE XIV.

restent, quel que soit x et quel que soit le nombre naturel p. moindres en valeur absolue qu'un nombre positif fixe P. Le terme complémentaire est alors moindre, en valeur absolue, que

en désignant par x' la valeur absolue de x. Or c'est là le terme d'une série absolument convergente, et, par suite, ce terme doit tendre vers o quand son rang augmente indéfiniment.

Cette remarque s'applique aux fonctions sin^ et cosjt* dont les dérivées sont au plus égales à i en valeur absolue ; on en conclut que les formules (i) sont légitimes quel que soit x. La même remarque s'applique à la fonction /"^ dont les déri\ées restent toujours moindres que le nombre fixe e^ pourvu que x soit moindre, en valeur absolue, que le nombre positif A, en sorte que l'on peut écrire

X X- xP

c'est une nouvelle démonstration de la formule établie au n" 231; l'égalité est valable pourvu que x soit moindre que A en \aleur absolue, c'est-à-dire quel que soit jc, puisque A est quelconque.

Ici, le terme complémentaire est assez simple pour être utilisé: oa peut écrire, en désignant par Ô un nombre positif moindre que i,

X a^î xP xP-^^e^^

I \ .'). \.l,..p 1.2. . .(/? -T- Ij

En s'adressant à la formule de Taylor, on obtiendrait le résultat suivant :

h h* hP Qii^h = ^« -, — e" -I e" -h . . . -1 C -+- . . .

I h ht hP \ »,

= e" ( 1 -t 1 -r . . . -^ -H. . . ) = «".tf*.

C'est une nouvelle démonstration de la propriété fondamentale de la fonction e^ ,

On a obtenu pour les fonctions e*^, sinj:, cos^, shx, chj?, arcsmx,

arc tangx, lg(i -+- x ), {\-\-xf', Ig ( .r -h v^ ' + ^* \ ^^K/T^x^'^'^ ^^'

SÉRIES DB PONCTIONS. 209

\eloppements simples, dont la loi est facile à retenir ou à retrouver. Pour les fonctions tangar et Ùix^ la loi du développement est notablement plus compliquée; quant au calcul des [premiers termes, on peut le faire en se servant de la formule (i) ou par des procédés qu'on va expliquer.

233. L'application de la formule générale (2) du numéro précédent et l'étude du terme complémentaire sont très aisées pour les fonctions ^, sinj7, cos:r, sha:, ch.r; pour les autres [fonctions, dont on a obtenu autrement le développement, cette application est notablement plus pénible que les procédés que Ton a décrits. L'étude du terme complémentaire, en particulier, est assez difficile.

Dans beaucoup de cas, la forme de ce terme complémentaire n'a pas grand intérêt : ce qui importe seulement c'est son existence, et le fait que dans la formule (2), par exemple, le coefficient de xP est une fonction bornée dans l'intervalle que l'on considère; et cette importance tient à l'analogie entre les propriétés d'un polynôme ordonné suivant les puissances de x et d'une expression de la forme

«0-+- «1-2? H- atx^-h . . . -h UpXP-i- XxP-^-^

où ao, ai, . . ., ap sont des constantes et "k une fonction de x bornée pour les valeurs de x appartenant à l'intervalle ( — a, a).

Rappelons en particulier que si une fonction F(.»;), (dans l'intervalle ( — a, a), peut être mise sous la forme précédente, elle ne peut être mise sous cette forme que d'une seule façon; il en résulte que si la même fonction peut, dans le même intervalle, être mise sous la

forme

ao -f- ai J7 -h ajar'-h ...-+- aqX^-\- [ix^-^-^,

où ao, ai, ..., a^ sont des constantes, où [jl est, comme A, une fonction bornée, on a nécessairement (n" 32), en supposant q> p-^

(i=:aot CL = ai, ..., cip=apf

X s= ap^i -h oLp^fX -h . . . -f- aqXi-/'-\- [ixi-*-^-P,

Ces remarques faites, il est aisé, dans bien des cas, d'avoir les pre- Fniers termes d'un développement limité tel que ceux que nous venons de considérer, sans se préoccuper de savoir si le développement illi- T. - II. 14

mité en série de Maclaurin est possible et dans quelles conditions il est possible, questions que je ne puis traiter ici.

Supposons d'abord que pour deux fonctions /(x), g{x) on soit assuré, pour un intervalle ( — a, a), de développements limités tels que

g(x) = 60 -h bxx H- . . . -+- bpXP-i- iixP-^^,

OÙ ao, ..., ap, fto7 "", bp sont des constantes et X, |ji des fonctions bornées dans l'intervalle considéré. On voit de suite le moyen d'obtenir des développements analogues pour les fonctions /(^r) -^g{x\ f{x) — gi^)-) f{x) g{x)'i et l'on voit aussi que, dans ces développements, les coefficients des puissances de x, jusqu'à xP^ sont des constantes qui ne dépendent que de «o? •••> CLp'i ^09 •••? 6p, nullement des fonctions X, p.; le produit /(j?) g{x)^ par exemple, se mettra sous la forme

en posant

f{x)g{x) = Co-h ciar-i-. . . -h CpXP-\- va?P-»-i, Cl = ao^i -h û^i^Oî

Cp = a^bp-^ a\ bp-\ h- ... -h a^ 60.

La loi de formation des coefficients c^^ c^^ "-, Cp est la même que si l'on multipliait deux séries indéfinies, ou deux polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes, mais en ne gardant que les ternies de degré inférieur kp-\- i. Quant à la fonction v, dont la valeur exacte n'importe pas, il suffit de savoir qu'elle existe et qu'elle est bornée, dans l'intervalle considéré.

On peut obtenir aussi le quotient ^^- — i> lorsque bo n'est pas nul,

en suivant exactement la même règle que pour la division des polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de x et en s'arrétant quand le reste est divisible par xP^* .

Les coefficients des termes écrits au quotient ne dépendent encore que des coefficients ao> • • •? «/»? ^o? • • •? bp ; les fonctions X, jjl n'interviennent que dans le reste : on parvient par le calcul que l'on vient

SERIBS DE FONCTIONS. 211

de décrire à une formule telle que

f(x) qui fournit des expressions approchées de '^-^ pour des valeurs de x

suffisamment voisines de o : ces valeurs doivent appartenir à un intervalle ( — p, P) intérieur à ( — a, a) et dans lequel g(x) ne s'annule

pas. On voit très aisément que, dans ces conditions, la fonction — f— r f ^ ' ' g(x)

est bornée.

Dans tous ces calculs, les fonctions 'kxP^*, uxP^* n'interviennent pas; on se dispense de les écrire; on les remplace, si l'on veut, par des points ; en fait, on calcule comme avec des polynômes dont on ne garderait que les premiers termes.

Si, par exemple, on veut avoir une expression du genre de celle que

nous considérons, pour tango; = ' et si Ton ne veut pas garder

de termes de degré supérieur au troisième, on se rappellera qu'il est inutile de garder dans les développements de sinx et de cos x des termes de degré supérieur à 3 , on remplacera sin^ et cos a: respectivement par X — --reii > on effectuera la division du premier polynôme par le second, en s'arrêtant, au quotient, avant qu'on ait un terme de degré supérieur à 3 ; on trouve ainsi x -{- -^ et l'on écrit

tang^ = a? -h -^ -+-••• •

Si Ton avait gardé plus de termes dans les développements de sin j: et de cosj:, calculé plus de termes au quotient, les deux premiers termes écrits au quotient auraient toujours été les mêmes. Le polynôme j:r -f- -r-^ quand x est très voisin de o, est une expression approchée de tangx ; à la vérité ce calcul ne donne pas de limites pour l'approximation ; mais on verra plus tard que des expressions de ce genre rendent néanmoins de grands services : il est aisé de voir que le terme suivant serait un terme en x^ et l'on peut admettre (sans préciser) que l'erreur commise, quand x est très voisin de o, est comparable à :r*.

-21 a CHAPITRE XIV.

Il est à peine utile de dire qu'il serait absurde d'utiliser la précédente formule pour des valeurs de x voisines de -? ou qui dépasseraient ^^ puisque, pour j: = -% cosj: s'annule.

Dans la pratique, on opère le plus souvent comme il suit : on écrit les premiers termes à^f{x) et les premiers termes de g{^x) comme s'il s'agissait d'une division, en mettant des points après les derniers termes écrits; on fait la division comme s'il s'agissait de polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de .r, mais en ayant soin de s'arrêter au quotient avant d\Hre obligé de se servir des termes qu'on n'e pas écrits, soit au dividende, soit au diviseur.

Je reviendrai tout à l'heure sur le cas où 6© est nul, et où ainsi on peut mettre en facteur, dans f^{x)^ une certaine puissance de x\ on obtient, en suivant la même méthode, des formules d'approximation qui sont extrêmement utiles, mais qui n'appartiennent plus au même

type.

Supposons que Ton ait une fonction '^(.y) de la variable y qui, dans l'intervalle ( — ^3, |ï ), puisse se mettre sous la forme

en désignant par 6o, 6,, ...^bp des constantes et par tx une fonction (iey^ bornée dans l'intervalle ( — ,3, ^y, supposons de plus que v soit une fonction de x, s'annulant pour x = o, et susceptible d'être, pour les valeurs de x qui appartiennent à un intervalle ( — x, a), mise sou> la forme

y =1 ayX -*- afX*-+- ... H- apXt*-^ Xj-/*-^*,

en désignant par a^ a^j . . ., ap des constantes et par X une fonction de X bornée dans l'intervalle ( — a, a); en restreignant suffisamment cet intervalle, on pourra évidemment s'arranger pour que les valeurs de y qui correspondent à celles de j; appartiennent à l'inlerxalle ( — ^, ,3). La fonction » (y) pourra, dans l'intervalle (—3t. a ), être regardée comme une fonction de x; elle pourra être mise aussi sous la forme d'une sorte de polynôme. En efi'el, on pourra d'abord mettre sous celte forme (par de simples multiplications)^)'*,^', ...,JK''^ et, daa> les expressions que l'on obtiendra, les coefficients des puissanie> de X, de degré moindre que p -j- i, ne dépendront, en vertu de ce que l'on a dit, que de a,, «2, • • ., «;>, nullement de la fonction À; eu

substituant ensuite les expressions trouvées dans le polynôme en^, bo-i- à^y -{- ,..-\- bpyP^ et en ne gardant que les termes en x de degré inférieur à /? -h i , on obtiendra un polynôme

dont les coefficients ne dépendent que de éo> ^i? •••î^/»î ^n ^a? •••? <3tjp : dans les termes négligés, on pourra mettre xP^^ en facteur, et Ton aura bien mis ^{y) sous la forme cherchée

Co -+- C|a? -4- Cjir* -+- . . . -+- c,, j^/'-f- va?/'-^-»,

où V est une fonction de x bornée dans l'intervalle ( — a, a).

Ici encore les termes complémentaires n'interviennent pas ; on peut les remplacer par des points; il suffit de faire attention à ne pas garder dans le résultat des termes qui dépendraient de ceux qu'on a négligés.

Supposons par exemple qu'on veuille des expressions approchées

de

/a© H- ai a? -h ajar'-t-. . .-\-apXP + \xp^^,

pour les petites valeurs de x^ plaçons-nous dans le cas où a^ n'est pas nul; on doit supposera,, positif pour que l'expression précédente soit réelle quand x est voisin de o ; elle pourra se mettre sous la forme

yjcifi^ i-\- y^ en posant

y = — a7H -x^-Jr- H ~xP-\ xP-*-^.

aj aQ ao a^

On n'aura plus qu'à appliquer la méthode précédente en s'appuyant sur la formule

• • /i-^r = (ï -»-r^^ = ï-^ - .r— gr'-+-----

On trouvera par le même procédé des expressions approchées pour une puissance quelconque, ou pour le logarithme de

ao-h aia7-4- . . . -f- OpXP-h Xxp-^^,

Ici encore, en faisant les calculs, on se dispensera d'écrire les termes

Î4l4 CHAPITaE XIV.

complémentaires. Les coefficients, jusqu'à celui de xP^ ne dépendent que de ao, a,, ..., a^.

Soit, par exemple, à chercher une expression approchée de

/ ^ pour les petites valeurs de x et supposons qu'on

yi — 2a?cosa H- ar' *^ ' *^'^ *

veuille s'arrêter aux termes en x^. On aura

= (l — IX cost-k- x^) •

/i — 2a?cosa -ha?*

= n- -(aarcosa — a?*) 4- - (aar cosa — a?*)'

3cos*a — I . (5cos*a — 3) cosa , = n-a7cosa-f- x^-^- a*+....

Si l'on voulait avoir une expression approchée de la même fonction, valable pour les petites valeurs de a, en se bornant aux termes en a*, on l'écrirait

sgn(i — ar) f ^ • ^ . 1"'

I — X L (ï — ^) 12(1 — ar)* J

la quantité que multiplie ^^ __ ^ est égale à

ifx , X ^ ISfa? . .a? .p.

'i\Xi-xY 12(1 — ar)« ^ J^8L(i-ar)« 12(1— a:)* J