FRACTIONS RATIONNELLES

239. Fonction exponentielle pour les valeurs imaginaires de la yariable. Formules cfEuler. — Dans toutes les applications qui précèdent, on a supposé la variable réelle. L'importance de la théorie des séries entières à variable imaginaire, qui a pour point de départ le théorème du n^ 228, apparaîtra très suffisamment sur les exemples que je vais traiter.

On a démontré, au n** 231, Tégalité

z z^ z^ (ï) e»= iH 1 h.. .H h...,

pour toutes les valeurs réelles de 5, et Ton a observé au n° 189 que la série qui figure au second membre est convergente, lors même que z est imaginaire. Quand z:=x-]- iy est imaginaire, e^ n'a pas de sens jusqu'ici. Convenons de définir e*, lorsque z est imaginaire, comme la somme de la série qui figure au second membre de l'égalité (i); la fonction e* est maintenant définie pour toutes les valeurs de z ; la propriété fondamentale

subsiste quels que soient ^ et 2'; on a établi en effet au n® 190 que le produit des sommes des deux séries

IH 1 h... H ■- ■

c'est-à-dire le produit e^.e^\ était toujours égal à la somme de la série

or cette somme, par définition, n'est autre chose que e*"*"*'.

Il suit de là que Ton a

cette égalité est vraie, quels que soient x et y : supposons d'abord que ces deux nombres soient réels; on a, par définition,

eiy= I -^ -^ H — ^ H ^— -H. . .

— ...-hi— 1)«-

et, par conséquent,

( 4 ) e'y = cosy ■+- i si n^,

ainsi qu'il résulte des formules

^cosr = .-f;^

( sinr = -T —

établies au n°23â pour toutes les valeurs réelles Ae y. On a donc (')t en supposant x ely réels,

( 6 ) 6*-»-'> = e* ( cos^ H- i sin^ ) ;

en d'autres termes e^ est la valeur absolue de e^^'^, j^ en est l'argument trigonomélrique.

Les formules (5) ont été établies pour les valeurs réelles de /: il est assez naturel de faire pour ces formules ce que l'on a fait pour la relation (1), c'est-à-dire de s'en servir pour définir cosj^ et sin/ lorsque^ est imaginaire; cela est légitime puisque, d'une part, cos/

(') Cette formule pourrait, si l'on voulait, servir de défînition à e*, quand z :=i X -^ iy est imaginaire; il serait aisé d'en déduire la relation (a).

et sin^ n'ont de sens, jusqu'ici, que pour les valeurs réelles de y et que, d'autre part, les séries qui figurent dans les seconds membres des égalités (5) sont convergentes quelle que soit la valeur, réelle ou imaginaire, iey. Adoptons cette définition.

On voit de suite que l'égalité (6) subsiste alors quels que soient les nombres réels ou imaginaires x ely^ en effet, on a observé déjà que l'égalité (3) était vraie dans tous les cas; les égalités, non numérotées, qui sont entre les égalités (3) et (4) subsistent, que j>^ soit réel, ou imaginaire, et l'égalité (4) résulte alors de ces égalités-là et des égalités (5) qui servent maintenant de définition à siny et à cosy.

Il est aisé de reconnaître que les propriétés fondamentales des fonctions cosy et sxny subsistent. D'abord les formules (5) montrent de suite que Ton a

cos( — ^)=cos^, sin(— ^) = — sinj^.

Si maintenant on change y en — y dans l'égalité (4), elle devient

(4 bis) e-^y = co^y — * sinj^,

et cette égalité est vraie, comme celle d'où on l'a tirée, que y soit réel ou imaginaire; de cette égalité et de l'égalité (4) on tire les relations, dues à Euler,

e'y-he-^y . eiy—e-iy 17) cos^= -^ , sin7= —^

En changeant dans les formules (7) j^ en iy, elles deviennent e-y-^ey . . e-y—ey

CCS ly = 9 sin ly = -. ?

ou

ey -»- e-y I . . ey— e-y

cosiy = ; , TSint^:

lorsque j^ est réel, les seconds membres ne sont autre chose que les fonctions chj^, sh^' définies au n" 204; en d'autres termes on a, lorsque y est réel,

1 8 \ cos iy = ch^, sin*^ = ishy.

Ces formules subsistent, que ^' soit réel ou imaginaire, si Ton convient

de définir, dans tous les cas, chj^ et shy par les formules

ch^ = — ' si»y = — - — ;

elles montrent que Tintroduction des fonctions chy, shy n'est pas indispensable, si l'on veut bien considérer des sinus et cosinus à variable imaginaire; il est toutefois commode de les conserver, précisément pour les calculs qui ne portent que sur des quantités réelles.

Les relations

ch'a — sh*a = i, ch(a -4- 6)= cha chô -h sha shô,

ont été déduites de la définition des fonctions cha, sha, ... et de la propriété fondamentale e«eP=e«'*"P; elles subsistent, ainsi que leurs démonstrations, quels que soient a et è; elles équivalent, en vertu des relations (8), aux formules fondamentales de la Trigonométrie; au surplus, je vais reprendre la déduction de ces dernières formules au moyen des formules (7); c'est exactement le même calcul qu'au n» 204.

En multipliant membre à membre les égalités (4) et (4 bis) et en remarquant que, en vertu des règles du n** 90, le produit (cos^ -H i siny) (cosj^ — i sinj^) est égal à cos^y -\- sin^y^ on trouve

I = cos*j^ -h sin»^.

On a, quels que soient a, é, en vertu des formules (7)

cos(a-hb)= , sin(aH-6)= : >

puis, à cause des relations (i) et (4),

^Ha-hb) = e'«e''^ = (cosa -+- i sina)(cos6 -f- i sinb).

En effectuant la multiplication indiquée dans le dernier membre par la règle du n" 90, on trouve

gùa-\-b) — cosacos6 — sina sinb ■+■ i(s[nacosb -+- cosasiii6 j;

puis, en changeanl a, 6 en — a, — b

g-ûa-i-b) -^ cosacos6 — sina sine — t(sina cosb -h ces a sinô);

d'où, en portant dans les expressions de cos(a-l-è) et de sin(a-|-6),

ces (a -h b)=i ces a ces b — sin a sin 6, sin(a-4-6)= sina ces 6 + ces a sin 6;

iJ suffira de changer b en — 6, pour avoir les expressions de cos(a — 6), sin(a — b).

Les formules précédentes permettent de séparer la partie réelle et la partie imaginaire de cos5, sin s quand z est imaginaire. Si, en effet, on pose z = X -{- /y, en désignant par x et y des nombres réels, on aura par ces formules et les formules (8)

cos(rPH- t^)= cosa? ch^ — *sina:sh^, sin(a: -4- i^)= sina? chj^ -h t cosa: sli^;

les parties réelles et les parties imaginaires sont mises en évidence. On définit, quel que soit 2, tangz par la formule

sin^

tancz = •

° ces -5

On a déjà dit que la considération des dérivées d'une fonction d'une variable imaginaire était en dehors des limites du présent ouvrage, mais qu'on s'y permettait la considération de la dérivée d'une fonction d'une variable réelle, comportant des coefficients imaginaires. Telle est la fonction e""*''*', où u et v désignent des fonctions réelles de la variable réelle x. Je vais montrer que la dérivée de cette fonction, définie comme au n" 223, est e""'"'*' ( w' -H eV), en désignant par a', v' les dérivées de w et de ^; en effet, par définition, la fonction ^iH-«p n'est autre chose que

e^ tiosv-h ic** sinp,

dont la dérivée s'obtient en prenant séparément les dérivées de la partie réelle et de la partie imaginaire (n° 223) ; cette dérivée, d'après les règles établies pour les variables réelles, est

e" cosi'.tt' — c«* sinp.i^'H- t[e'* s'inv.u'-h e** cosv.p'] s= e'*u(cosv -h i sint')-*- ie^v'[cosv -h t sinp] = e" (cosp ■+- isinv) (u' -h iv') = e^^^*'(u'-h tV).

a34 CHAPITRE XIV.

Inversement, la fonction primitive de e^""*''*'^(tt'-|- «V) est

eii+iv^ ^ -4-tB,

en désignant par A., B des constantes arbitraires.

On déduira de là sans peine, en conservant les mêmes notations, que les dérivées des fonctions cos(a -H tV), sin(M -\- iv) sont respectivement — {u' -\- /V)sin(// 4- i^)', (w'-H «V) cos(m -|- iv).

On n'oubliera pas que les fonctions Ig^, arcsin^, arccos2 n'ont pas été définies pour z imaginaire.

210. Digression sur la fonction exponentielle. — La beauté et la simplicité des résultats obtenus en introduisant des variables imaginaires n'ont pas manqué de frapper le lecteur : les liens qui se trouvent ainsi établis entre la fonction exponentielle et les fonctions circulaires sont extrêmement remarquables. Il ne sera pas inutile tie faire ressortir ici le rôle de la fonction exponentielle, dont les pn.»priétés se trouvent un peu disséminées dans différents Chapitres.

La signification de a^ étant supposée connue lorsque x est un nombre naturel, on a défini successivement, dans le Chapitre I, a^ (a>o) pour les valeurs fractionnaires, négatives, irrationnelles de x\ cette définition implique la démonstration d'une suite de propriétés relatives aux radicaux. La voie suivie est naturelle, mais longue et quelque peu fastidieuse; la même observation s'applique aux extensions successives de la proposition fondamentale

a^.ay=z a^^r,

La fonction a^, une fois définie pour toutes les valeurs réelles de x. il n'y a pas de difficulté à reconnaître qu'elle est continue et comment elle varie. La définition du logarithme dans une base quelconque comme fonction inverse de la fonction exponentielle est toute naturelle.

Pour arriver à la notion de la base e des logarithmes naturels, on

établit que l'expression ( ih ) tend vers une limite quand m

augmente indéfiniment, et l'on parvient ainsi à la série qui définît le nombre e. La méthode par laquelle on parvient à la limite de

MH \ est, à la vérité, fort intéressante, d'autant qu'elle s^ap-

pliqiie à beaucoup d'autres questions analogues; mais il serait tout aussi naturel, au lieu de se poser la question qui a conduit à la série, d'en\isager la série e elle-même ou plutôt la série

dont la convergence (absolue) s'établit immédiatement. Cette convergence une fois établie, il est clair que la somme de celte dernière série définit une fonction E(a-), dont on aperçoit de suite qu'elle est continue et qu'elle est croissante pour j: > o (n° 22o). La propriété

résulte immédiatement de la règle pour la multiplication des séries, règle dont la démonstration est fort naturelle. Cette propriété fait C(mnaître de suite l'allure de la fonction E(x) pour a: négatif ; elle entraine immédiatement les suivantes

E(a:,)E(a7,)...E(a7,i)= E(ari-l-:r,-h. . .H-ar„), [E(a7)]«=E(/iar), E(/i) = [E(i)]'S

où n est un nombre naturel; si l'on pose E(i) = e, la dernière égalité montre que, si x est un nombre naturel, E(:r) est égal à e^^ c'està-dire au produit de x facteurs égaux à e. Que le lecteur veuille bien oublier, pour un moment, tout ce qui concerne le calcul des radicaux, les exposants fractionnaires, négatifs, irrationnels et ne retenir que la définition des exposants dans le cas où ces exposants sont des nombres entiers, positifs : e^ n'a de sens pour lui que dans le cas où X est un tel nombre ; il devient alors légitime de définir dans tous les cas la fonction e-^ comme étant la somme E(a;) de la série précédente, puisque, dans le seul cas qu'il connaisse, cette définition se raccorde avec l'ancienne. La fonction logarithmique (le logarithme naturel) se définit alors comme la fonction inverse de e^. Il est, dès lors, aisé de construire une fonction qui, pour toutes les \aleurs de j:, se raccordera avec la fonction œ^ et jouira de la propriété <f{x) <p{y) = ^{x -H-jk)- On observera d'abord que la fonction 'j(x) = e^j quelle que soit la constante X, jouit évidemment de cette dernière propriété; pour j; = i , elle se réduit à a si l'on a e^= a ou  = Iga, ce qui suppose a > o ; d'ailleurs, quel que soit le

nombre naturel n, on a alors, en vertu de la propriété fondamentale,

[<p(a7)]«=<j>(/ix), a«= [(p(i)]« = <p(n);

la fonction e^*K« coïncide avec la fonction a-^, pour toutes les valeurs naturelles de /i, c'est elle qu'on prendra comme définition de a^ pour toutes les valeurs réelles de x. Il revient au même de définir cette fonction a* par l'égalité Ig(a^) = x\%a, La propriété qu'exprime l'égalité

établie lorsque^ est un nombre naturel, est vraie quel que soit j; en efiet, le logarithme du premier membre est

y lga*= xy\^a

comme celui du second. Cette égalité, en supposant que x soit une fraction — et que y soit égal au nombre naturel q^ montre que Ton a

La propriété fondamentale a^ay=a'^x montre d'ailleurs qu'on a

et, par suite,

S^aP

Enfin, l'égalité

où a, 6, . . ., / sont des nombres positifs, apparaît en constatant que les logarithmes des deux membres sont égaux. Toutes les propositions concernant le calcul des radicaux et des exposants fractionnaires, positifs ou négatifs, établies au Chapitre I, apparaissent ain$i immédiatement.

Quant à la propriété du nombre e d'être la limite, pour m infini, de ( iH j 9 ou à la propriété plus générale de la fonction e^ d'être

SÉRIES DE FONCTIOiNS. 237

la Jimîte, pour m=±:oo, de(n ] » elle a été établie au n" 23o.

Tout ce qu'on vient de dire concerne les valeurs réelles de la variable X.

Observons maintenant que, si des considérations géométriques n'avaient pas conduit à introduire les fonctions cosx et sin^, on aurait été amené à introduire ces fonctions en étudiant ce que devient la série

pour les valeurs purement imaginaires de x] on a vu plus baut comment les propriétés de ces fonctions cos^, sinx apparaissent aisément de ce point de vue. Il resterait, toutefois, à définir le nombre it qui pourrait être regardé comme le double du plus petit nombre (positif qui annule la fonction ( * ) :

2 il. Développement en série des fractions rationnelles. — La formule du binôme

m m(ni — i) .

a été établie en supposant m et z réels et | z | <; i ,

Je me bornerai, dans ce qui suit, au cas où m est un nombre entier, positif ou négatif.

Lorsque m est un nombre entier positif, le second membre de l'égalité (i) se réduit à un polynôme de degré m; l'égalité est vraie quel que soit 2, réel ou imaginaire.

Supposons maintenant que m = — n soit un entier négatif. La série est absolument convergente, que z soit réel et imaginaire, pourvu que l'on ait | 5 | < i, comme je le suppose dans ce qui suit.

On a le droit de multiplier la série par le polynôme

( • ) Inlr., n- 198.

a38 CHAPITRE XIV.

d'après la règle de la multiplication des séries, puisque la série Vi est absolument convergente et que le second membre de l'égalité précédente peut être regardé comme une série absolument convergente. Lorsque z est réel, le produit doit être égal à i, sous la seule condition | 5 j -< i .

Dans le produit ordonné suivant les puissances de z^ les coefficients des puissances de z doivent être nuls, le terme constant doit être égal à i . Mais les valeurs de ces coefficients ne dépendent nullement de la valeur de z\ quel que soit 2, réel ou imaginaire, pourvu que l'on ait | 3 | < i , le produit de la série

par le polynôme

ou (i -H 2)""', est égal à i ; cela revient à dire que l'on a, pour loule:» les valeurs de z^

Ce résultat est important pour le développement en série d'une fraction rationnelles^^ — ^» où /(x) et <d(x) désignent des polynômes en X,

On a vu (n** 60) qu'une telle fraction pouvait se mettre sous la forme d'un polynôme en x, ^(x), qui n'existe d'ailleurs que si le degré du dénominateur f{x) ne dépasse pas celui du numérateur

fix). et d'une somme de termes de la forme ; — r- : A est une

•^ ^ ' (ar — a)"*

constante, a une racine réelle ou imaginaire du dénominateur îp(j''' m est un nombre naturel qui ne dépasse pas l'ordre de multiplicité de cette racine. Il suffit évidemment, pour obtenir le développement cherché, de développer en série chacun des termes. Supposons d'abord que a ne soit pas nul. On a

(■^i)wA (— i)^'A / __ x\-

SÉRIES DE FONCTIONS. 'l3g

on n'aura qu'à appliquer la formule

i X \ '" m X I ) = IH

valable pourvu qu'on ait - << i , ou | .a: | < i a |, et à multiplier

chaque terme par — pour avoir le développement cherché.

Si ^{x) n'admet pas de racines nulles, chaque terme pourra se développer comme on vient de l'expliquer; tous les développements sout valables à la fois lorsque la valeur absolue de x est inférieure à la plus petite des valeurs absolues des racines. Sous cette condition,

la fraction -77-r sera développable en une série entière en x.

Lorsqu'on effectue la division de /{x) par 'f (^), en ordonnant par rapport aux puissances croissantes de Xy on obtient successivement les ternies de cette série.

Si 'f (x) admettait une racine nulle d'ordre de multiplicité />, on pourrait, en posant o(x) = xP'!^(x)^ commencer par développer

■^, — en série entière en x^ puis on diviserait chaque terme par xP^

on obtiendrait, pour la fraction rationnelle, un développement procédant suivant les puissances entières et croissantes de x qui commencerait par des termes de degré négatif; l'ensemble de ces termes

constitue ce polynôme en - » sans terme constant, que l'on peut re-

f(x) trancher de '^ ) [j de manière que la différence reste finie quand x

s'approche de o (n** 61). Le développement auquel on parvient ainsi est encore valable pourvu que x soit moindre, en valeur absolue, que la plus petite des valeurs absolues des racines de 'f («c) qui ne sont pas nulles.

On peut aussi obtenir un développement de la fraction rationnelle

"^ — qui procède suivant les puissances décroissantes de x ou plutôt

suivant les puissances croissantes de -• Reprenons le terme —*

on peut l'écrire

t%40 CHAPITRE XIV.

On a d'ailleurs, en supposant — |<:;i, ou \x\ >|a|,

\ xj IX 1.2 ar* 1.2.3 x*

et il suffit, pour avoir le développement cherché, de multiplier j

chaque terme par —^; chaque terme fournit un développement analogue; tous ces développements sont valables pourvu que la valeur absolue de x soit plus grande que la plus grande des valeurs absolue» ! des racines de f{x); en les réunissant et en mettant en avant, s'ilj en a un, le polynôme en x ordonné suivant les puissances décrois- j santés de x qui figure dans la décomposition de^^^— ^> on parvient au développement annoncé, qui procède suivant les puissances décroissantes de ^ : il commence par un polynôme, il se continue par une série entière en - • C'est à ce développement que Ton parvienl en divisant /(^) par <p(x), lorsqu'on ordonne suivant les puissances | décroissantes de x et qu'on poursuit indéfiniment l'opération. Considérons, par exemple, l'expression

I 2J" COSOt -h X^

OÙ a est un nombre réel; les racines du dénominateur sont cosa ± /sina = ^'*, leurs valeurs absolues sont égales à i ; dans les développements suivant les puissances croissantes de j: que l'on va considérer, on devra supposer |j7|<;i. On a, en décomposant en éléments simples,

i — ixcosoL-^ X* lier-i* — cosa) a" — e'* 2(e-'« — cosa) ar — e"***

2(e-*« — cosa

2(c-'« — cosa

g-iOL — gia

2t sina I -

- xe-

-la

— tisinx I-

-xt}^

i — xei^' d'ailleurs, sous la condition | ^ | -< i , qui entraîne | x^-'* i <C *? ^°^

I — xe-^

^ = I 4- xe-*^ -4- x^ e-«'« H- . . . ,

r- =i-hxe^^ H- a?* «--»'« -h . . . , I — are"*

el, par suite, I — ^«

r = I ^- 2^ COSa H- 2 37* ces 2 a -h. . .H- 207'* COS /l Ot -+-....

I — 2J7 COSa -H J!"'

On verra de même, ou l'on déduira de là, que, pour | j: | >• i, on a

= iH cosa H ' cos2a-i-. . .H cos/ia -+-. . ..

ar^ — 2 a^ ces a -h I x x* ' x"

Enfin, le lecteur n'aura pas de peine, en supposant x réel et moindre que i en valeur absolue, el en égalant la partie réelle et le coefficient de /dans les deux membres de l'égalité

I — xe'^ à établir les deux relations

— X cos a

= i-\- X cos a -H 37* cos 2 a -h ... -h a?" cos n a -h . . . ,

I — 2a: cosa -h x- X sina I — 257 cosa -h 37*

= X sin a -h 37* sin 2 a -f- . . . -t- 37'* sin n a

qui subsistent d'ailleurs lorsque x, que l'on doit toujours supposer moindre que i en valeur absolue, est imaginaire : on le voit en remarquant que les deux membres, quand on les multiplie par

I — 237 cosa -+- 37*,

doivent être identiques lorsque x est réel, et, par conséquent aussi, lorsque x est imaginaire ( * ).