INFINIMENT PETITS ET INFINIMENT GRANDS

242. Les mot& infiniment petit, infiniment grand ne s'appliquent jamais qu'à une fonction d'une ou de plusieurs variables, ou aux variables elles-mêmes. Je ne m'en servirai que pour une fonction à^une seule variable (ou pour la variable elle-même). Ils peuvent d'ailleurs être pris dans un sens absolu, ou dans un sens relatif.

( » ) Cf, Ex. 59 el 60.

a4a CHAPITRE XIV.

On dit d'une fonction de x qu'elle est ou devient infiniment petite, dans certaines conditions qu'il faut toujours spécifier, si, dans ces conditions, elle a pour limite o.

Ces conditions, on du moins celles que je considérerai, consistent en ce que la variable x doit tendre vers une certaine valeur a^ ou grandir indéfiniment en valeur absolue : elles peuvent d'ailleurs être plus ou moins étroites : par exemple, on peut spécifier que x doit tendre vers a en restant plus petit que a, ou en restant plus grand que a, ou bien grandir indéfiniment en valeur absolue en restant positif ou en restant négatif, ce qu'on exprime brièvement en disant que X tend vers -h oc, ou vers — oo. En disant que la fonction /"(jr) est infiniment petite quand x tend vers a (sans spécifier davantage) on entend que sa valeur absolue doit rester plus petite que tel nombre positif e que l'on voudra, pourvu que x — a soit moindre en valeur absolue qu'un nombre positif yj convenablement choisi, d'après s : à chaque valeur de £ doit correspondre une valeur de r,. Si, de même, on dit que f(x) est infiniment petit quand x tend vers a par des valeurs plus grandes (ou plus petites) que a, on entend que la valeur absolue àef{x) doit être moindre que tel nombre positif £ que l'on voudra, pourvu que x — a (ou a — x) soit positif et plus petit que le nombre correspondant r|. En disant que f{x) est infiniment petit quand x tend vers -h oo (ou vers — oo), on entend que la valeur absolue de/(x) doit rester moindre que tel nombre positif £ que Ton voudra, pourvu que x soit plus grand qu'un nombre positif P (ou plus petit qu'un nombre négatif — P) convenablement choisi, d'après £ ; à chaque £ doit correspondre un nombre P. De même, si l'on dit que la fonction /(:r) est infiniment petite quand x croît indéfiniment en valeur absolue, on entend que la valeur absolue de J'(x) reste inférieure à tel nombre positif £ que l'on voudra pourvu que la valeur absolue de x soit plus grande que le nombre correspondant P.

On dit de même qu'une fonction /(x) est ou devient infiaîmenl grande dans certaines conditions, qu'il faut toujours spécifier, sî^ dans ces conditions, la valeur absolue de/(:r) dépasse tel nombre positif P que l'on veut. Je me dispenserai de répéter les détails qui précèdent en disant que la fonction /(j?) est infiniment grande quand la fonction Y( — ^st infiniment petite et réciproquement.

Par exemple un polynôme en x, qui ne contient pas de terme con-

stanl, est infiniment petit quand x tend vers o ; il en est de même de y/ï, desinj?, de Ig(i 4-^). Un polynôme en x^ qui ne se réduit pas à une constante, est infiniment grand quand x est lui-même infiniment grand; e^. \^x sont infiniment grands quand a? tend vers + oo ;

il en est de même de -^ (n** 227) quel que soit le nombre positif /i;

-^ est infiniment petit quand x tend vers -+- oo, comme on le voit en

posant X = e^, z = Igx; z tend vers H- oo en même temps que x et l'on a

Xfl e«3*

le second membre tend vers o quand z tend vers -h oo.

e-^ est infiniment petit quand x tend vers — oo; e^' est infiniment

petit quand x tend vers jo par valeurs négatives, infiniment grand

quand o: tend vers o par valeurs positives; e*" — i est infiniment petit

quand x croît indéfiniment en valeur absolue; \^x est infiniment grand (négativement) quand x tend vers o par valeurs positives; x'* Igjr, où n désigne un nombre positif quelconque, est infiniment petit quand x tend vers o par valeurs positives, comme on le voit en posant X = e""^, z= — IgJ?; lorsque x tend vers o par valeurs positives, z tend vers -f- oo et Ton a

z a:'» lea? = — ze-"^ =

La fonction x sin - est infiniment petite quand x tend vers o,

puisque le second facteur est toujours compris entre — i et -h i . Dans rinlervalle (o, a), elle s'annule une infinité de fois, quelque petit

que soit le nombre a, puisque sin - est nul pour toutes les valeurs

de Jr qui sont de la forme — , n étant entier. Les raisonnements qui ^ nie ^

suivront ne s'appliqueraient pas tous à cette fonction : un rapport où elle figurerait en dénominateur n'aurait pas de sens, pour des valeurs de JC aussi voisines qu'on voudrait de la valeur o vers laquelle on fait tendre x. Or, on aura à considérer dans la suite des rapports où figurent en dénominateur les fonctions que l'on étudie : pour que les raisonnements qui concernent ces rapports soient valables, il faut que

ces rapports aient un sens et que, dans les conditions où Ton se place. leur dénominateur ne soit pas nul. C'est ce que je supposerai essentiellement dans ce qui suit. Afin d'éviter toute difficulté de ce genre, je supposerai, lorsque x doit tendre vers ût, que l'on peut délimiter un intervalle (a, p), auquel^ soit intérieur, tel que dans cet intervalle les fonctions que Ton considère ue s'annulent pas, sauf pourx =ra. De même, si x doit tendre, par exemple, vers -f- oo, je supposerai qu'on puisse déterminer un nombre P assez grand pour que les fonctions que Ton étudie ne s'annulent pas pour x >- P. Les fonctions pour lesquelles les conditions de cette nature ne pourraient être réalisées sont exclues de ce qui suit, quoique certains des résultats qu'on établira s'appliquent encore à elles.

En disant de la variable qu'elle est infiniment petite, on entend simplement qu'elle tend vers o; en disant qu'elle est infiniment grande, on entend que sa valeur absolue grandit indéfiniment.

243. On vient de définir les infiniment petits et les infiniment grands absolus. J'arrive maintenant à la signification relative des mêmes mots.

Considérons deux fonctions de x^f{x) et ^{x) : on dit que, dans des conditions qu'il faut toujours spécifier (x tendant vers a, vers ±00, etc.),/(a:) est infiniment petit parrapporl ào(\r), ou que '^(J*» est infiniment grand par rapport kfi^x)^ lorsque, dans ces conditions,

le rapport est infiniment petit et que, par conséquent, le rapport-~ — r est infiniment grand. Par exemple, dans un polynôme ordonné par rapport aux puissances croissantes de x, chaque terme, y compris le terme constant s'il y en a, est infiniment grand par rapport à ceux qui le suivent, quand x tend vers o; chaque terme est au contraire infiniment petit par rapport à ceux qui le suivent quand j: augmente indéfiniment en valeur absolue, e^ est infiniment grand par rapport à x" (/i > o), quand x tend vers + oo. Dans les mêmes conditions, Igx est infiniment petit par rapport à x". 11 est à peine utile de dire, après ces exemples, que, lorsqu'on dit que f{x) est infiniment petit par rapport à o(x), on n'entend nullement que la fonction /lJ"i soit infiniment petite (absolument) dans les mêmes conditions.

La somme de deux fonctions /(x), g{x) infiniment petites fwr rapport à ^{x} est elle-même infiniment petite par rapporta ç(xi.

On ne peut pas toujours affirmer que la somme de deux fonctions/ (2:), g(x) infiniment grandes par rapporl à o{x) soit infiniment grande par rapport à o(*r), comme on le voit en prenant par exemple g{x)=—/{x).

11 convienl d'observer que ces expressions que Ton a appris à calculer aux n"* 232, 233, 234, 233 et qui fournissent, dans certaines conditions, des valeurs approchées d'une fonction, ont toujours été ordonnées de manière que chaque terme fût infiniment grand par rapport à ceux qui le suivent. La somme des termes qui suivent le premier est infiniment petite par rapport à lui.

f(x) Puisque l'on a /(x')=:(f(x) — — -* il est clair que toute fonction/(j:) infiniment petite par rapport à o{a:)^ dans certaines conditions, s'obtient en multipliant cette dernière par un facteur qui, dans les mêmes conditions, est infiniment petit : réciproquement en multipliant ©(.r) par un facteur infiniment petit (absolument), dans certaines conditions, on obtient une fonction infiniment petite par rapport kf{x). De même, on obtient une fonction infiniment grande, dans certaines conditions, par rapport à o(^), en multipliant 9 (j?) par un facteur infiniment grand, dans ces conditions.

244. Équivalence. — On dit que deux fonctions/(j:) et <f{x) qui sont infiniment petites (ou infiniment grandes), dans certaines conditions, sont des infiniment petits (ou des infiniment grands) èqui-

vaients lorsque, dans ces conditions, leur rapporl '' , ^ ou y — ■a pour limite l'iinité.

Par exemple '2 x el 2 x -\- x'^ sont des infiniment petits équivalents quand x tend vers o. Plus généralement deux polynômes ordonnés par rapport aux puissances croissantes de x sont des infiniment petits équivalents, quand x tend vers o, si les termes constants font défaut, et si les premiers termes sont identiques. Deux polynômes de même degré sont des infiniment grands équivalents quand x grandit indéfiniment en valeur absolue, si les termes du plus haut degré sont identiques. Si la fonction g{x) a une dérivée g' {x) qui n'est pas nulle pour X = Xq^ la fonction de hj g(xo'^ h) — giXo)^ est un infiniment petit équivalent à hg'(xo).

Il est avantageux d'étendre, comme le font quelques géomètres, le sens du mol équivalent, et de dire de deux fonctions quelconques

f(x) et ©(^) qu'elles sont équivalentes, dans certaines conditions {x tendant vers «, vers zt oo, etc.), lorsque, dans ces conditions, leur rapport a pour limite i : si les fonctions /(jj) et <p(:r) sont continues pour x-=.a^ et prennent des valeurs égales, non nulles, /(a) etç(a), cette façon de parler est toute naturelle. Elle n'implique pas que, dans les conditions considérées, les fonctions f{x)y o(x) soient infiniment petites ou infiniment grandes, ni qu'elles aient des limites; mais si ces fonctions sont équivalentes et, si l'une est infiniment petite (ou infiniment grande), il en est évidemment de même pour l'autre; si l'une admet une limite, l'autre admet la même limite.

Deux fonctions équivalentes à une troisième fonction sont évidemment équivalentes entre elles.

Si deux fonctions y(^) et o{x) sont équivalentes, dans certaines conditions, leur différence f{x) — ^{x) est infiniment petite par rapport à l'une ou à l'autre; réciproquement, si la différence de deux fonctions est infiniment petite par rapport à l'une ou à l'autre, dans certaines conditions, ces deux fonctions sont équivalentes, dans les même conditions.

Cela résulte évidemment des identités

/{x) /(xy <^(x) ^(x) ''

dire que le rapport Vl^ .^ ou le rapport^— i tend vers i, dans certaines conditions, que /(x) — 'f(x) est infiniment petit par rapport à /(x) ou à f (a?), que l'un ou l'autre des rapports ^ — 'W'i

i( X \ — ~ CD i X '\

"^ T-t tend vers o dans les mêmes conditions, c'est dire la même

chose.

Par exemple, chacune des expressions approchées étudiées dans les n-" 232, 233, 234, 235 est équivalente à son premier terme.

La quantité e^ — x" est un infiniment grand équivalent à e^ quand r tend vers -f-oo.

Il suit de là qu'on obtient toutes les fonctions équivalentes à «ne fonction /(j7), dans certaines conditions, en lui ajoutant une fonction infiniment petite par rapport à elle, dans ces conditions; comme toute fonction infiniment petite par rapport kf{x) s'obtient en multipliant f{x) par un facteur infiniment petit, dans les mêmes condi-

SBR1B8 DE FONCTIONS. I^y

lions, on voit que toute fonction équivalente à /(x) pourra se mettre sous ]a forme /(^)[i -|- £(^)] en désignant par e(^) une fonction infiniment petite, dans les conditions considérées.

f(x) Si, dans un rapport*^- — r» ou dans un produit f{x)^{x)^ on substitue aux termes du rapport, ou aux facteurs du produit, des fonctions F(x), ^{x) qui leur soient équivalentes, dans certaines conditions, on obtient un nouveau rapport -^ — -> ou un nouveau produit

Y(x)^{x)^ qui sont équivalents au premier rapport ou au premier produit, dans les mêmes conditions.

On a, en effet,

/(x)ff(x) ~ f(x) ^(x) '

dans les deux égalités, les seconds membres ont évidemment Tunité

pour limite.

V(x) Si, par conséquent, le rapport .' [^ ou le produit F (:c)<ï>( j:), a

une limite, dans les conditions considérées, il en sera de même du rapport '^r^» ou du produit /(x) f (^). Si le rapport ^7— t est infi-

niment grand, il en sera de même du rapport '^ » etc.

Le rapport, ou le produit, de deux expressions approchées telles que celles qu^on a étudiées aux n"' 232, 233, 234, 235 est donc équivalent au rapport ou au produit des premiers termes de ces expressions. C'est, d'ailleurs, ce qui est bien évident sur ces expressions même, au moins sur celles de ces expressions qui ont la forme d'un

polynôme (en x, -» A, ;>•••]; en faisant le quotient ou le pro-

«luit de deux de ces expressions, on est conduit à une expression du même genre, dans laquelle le premier terme est le quotient, ou le produit des premiers termes.

Le précédent théorème est particulièrement utile pour simplifier la recherche de la limite du rapport de deux infiniment petits ou de deux infiniment grands, du produit d'un infiniment petit par un infiniment grand, ou pour reconnaître qu'un tel rapport, ou un tel produit, est infiniment petit ou infiniment grand.

Si l'on a adaire au rapport de deux polynômes, quand x tend vers o, ou quand x grandit indéfiniment en \aleur absolue, on peul ne garder, dans chaque polynôme, que le terme du plus bas de^ré, dans le premier cas, que le terme du plus haut degré, dans le second cas; le terme constant, sMI y en a un, doit être regardé comme le terme du plus bas degré.

Kn désignant par m et n des constantes, les formules

s\ïïmr=imx h..., *^\ïïnx = nx ^•••

montrent que sinm:r et sxnnx sont des infiniment petits équivalents k mx ei à nx^ quand x tend verso; dans ces condili(ms le rapport

sinmj: . # • i . . mx m i- •. j » j

— : est équivalent au rapport = — ; sa limite, quand x tend

. f^ vers o, est — •

Dans l'expression - Ig > quand x tend vers o, le premier

facteur - est infiniment grand, le second facteur est infiniment petit: on a, en efl'et,

= IH h -r H-...,

et le logarithme du secimd membre tend évidemment \ers o: d'ailleurs la formule

lg(l H->S) = h...

montre évidemment que, lorsque z est infiniment petit, lg(i+3» est équivalent à z\ par ccmséquent Ig est équi\alenl a

— h -7- 4- ... OU à -; la limite du produit - Ijr . quand x tend

vers o, est •

Si, dans le théorème général, on suppose que les fonctions /U'. ^(x) puissent se décomposer en facteurs, en sorte qu'on puisse po>er

fix) ^/i(T)/i(x), ^(x) =^- <?i(a-)ç,(:r),

et si, dans les conditions considérées, les fonctions /i (jr), 9i(.^' tendent vers des limites non nulles a et a, les fonctions /{x) et

'^(j7) seront respectivement équivalentes à a f2{x) et à aç^ (^); le rapport •'-r — - et le produit /(j?) cp(x) seront respectivement équivalents aux fonctions

en sorte que tout sera ramené à savoir comment se comportera le rapport 4^^ — -> ou le produit/afa:) Ç2('^)-

Par exemple, lorsqu'on a cherché la dérivée de la fonction sinj?,

. , , sin(:r -+• /i) — %\nx , /.

on a mis le rapport j^ sous Ja tonne

. h a sin — ces

Ici X doit être regardé comme une constante ; la variable est li et, lorsqu'on fait tendre h vers o, on a afi'aire au rapport de deux infiniment petits. On peut remplacer, dans le rapport, cos lx-\ — j par sa

limite cosj:, et, au numérateur, sin- par l'infiniment petit équivalent - ; la limite est évidemment cos^.

Il n'est pas inutile de remarquer que l'étude du rapport de deux infiniment grands /(a:) el^{x) peut être ramenée à l'étude du rapport de deux infiniment petits, comme il résulte de l'identité

L'élude du produit d'un infiniment petit /(j:) par un infiniment grand o{x) se ramène aussi à l'élude du rapport de deux infiniment petits, comme il résulte de l'identité

Si n est un nombre positif, la puissance /i**'"'*' d'une fonction y*( a?)

aSo CHAPITRE XIV.

est équivalente à la puissance n'*"® d'une fonction F (a:) équivalente kf{x) dans les conditions considérées.

En effet, si n est un nombre naturel, la proposition résulte immédiatement du théorème relatif au produit de deux facteurs; si /{est le rapport de deux nombres entiers /?, y, on a

puisque, dans les conditions considérées, f{3c)P et F{x)P sont des fonctions équivalentes, il suffît évidemment de prouver que )/f{x) el\/¥{x) sont des fonctions équivalentes, quand les fonctions /(j) et F(a:) sont équivalentes; or, s'il en est ainsi, on peut écrire

e étant infiniment petit dans les conditions considérées : on a, d'ailleurs,

le dernier membre a évidemment Tunité pour limite.

Il est à peine utile de dire que l'on suppose vérifiées les conditions relatives à la réalité; ainsi, lorsque q est pair, f{x) et, par conséquent, F (2:) doivent finir par rester positifs.

Par exemple, quand x augmente indéfiniment en valeur absolue, le rapport

V^3rF* -ha?

a pour limite \^', en effet, le numérateur et le dénominateur sont v3 ^

équivalents à ^^x^^ ^Zx^ ou aux quantités | x \ v/2, | x \ v/3, dont le rapport estjrr-

245. Comparaison de deux infiniment petits. Ordre infinitésimal- ^

On dit que deux fonctions /(r), 'f (^;, infiniment petites dans certaines conditions, sont du même ordre si, dans ces conditions, U

SÉRIES DE PONCTIONS. l5î

\aleur absolue du rapport "^-^ — ^ ou du rapport j^. reste comprise entre deux nombres positifs a, ^, dont aucun n^est nul. Il en sera ainsi, en particulier, si le rapport "^7— r tend vers une limite /, différente de o : il finira, en effet, par rester compris entre / — e et / + £, s désignant un nombre positif que Ton peut supposer aussi petit qu'on voudra et, en particulier, plus petit que | /|; dans ces conditions, la valeur absolue de 'l—l finira par rester comprise entre les

deux nombres positifs |/| — eet|/|+e.

En particulier, deux infiniment petits équivalents sont du même urdre.

Les fonctions /(x) et ç(^) étant infiniment petites dans les mêmes conditions, au lieu de dire que la fonction /(jc) est infiniment petite piir rapport à f (^), on dit souvent que /(x) est un infiniment petit d ordre supérieur à <p(^), que ^{x) est un infiniment petit d'ordre inférieur k /{x) ('). En parlant ainsi d'infiniment petits du même ordre, d'infiniment petits qui sont d'un orûfr<?^e//>e>f>Mro{/ inférieur à l'ordre d'autres infiniment petits, on n'a pas, toutefois, défini ce qu'est l'ordre d'un infiniment petit : cette définition peut, dans certains cas, être donnée d'une façon précise.

Supposons que, dans les conditions où l'on se place, on ait fait choix d'une fonction particulière de x qui, dans ces conditions, soit infiniment petite, et à laquelle on convienne de comparer les autres fonctions qui, dans les mêmes conditions, sont infiniment petites. Si, par exemple, x tend vers o, ou vers «, on pourra choisir x lui-même,

ou x — a; si x tend vers zhoo, on pourra choisir - • Ces choix ne sont

d'ailleurs nullement obligatoires. On désignera cette fonction, une fois choisie, sous le nom d^'njiniment />etit principal; je la désignerai, dans ce qui suit, par la lettre A.

L'infiniment petit principal h et tous ceux qui sont du même ordre sont dits du premier ordre.

Si n est un nombre naturel, A" et tous les infiniment petits de même ordre que A" sont dits du /i'*"*^ ordre.

( M On parle ainsi par ellipses : il faudrait dire infiniment petit d'ordre supérieur à V ordre de ?( jt).

l5l GHi^PITRB XIV.

On emploie souvent cette expression lors même que n n'est pas entier : on dira par exemple que \//i est un infiniment petit d'ordre ^. Il n'y a pas lieu de parler d'infiniment petits d'ordre négatif : A"'. par exemple, est un infiniment grand.

La forme générale d'un infiniment petit d'ordre n est aA", en désignant par a une fonction de la variable qui, dans les conditions considérées, reste, en valeur absolue, comprise entre deux nombres positifs fixes dont aucun n'est nul : cela résulte immédiatement de la définition de deux infiniment petits du même ordre; le cas le plus simple sera celui où, dans les conditions considérées (A tendant vers o), a a une limite autre que o; si l'on est dans ce cas, et si a^^si la limite de a, il est clair que a^h" est un infiniment petit équivalent à ah" ; on appelle cet infiniment petit aoA" X^l partie principale ou la valeur principale de aA".

Lorsque x tend vers o, et qu'on prend x pour infiniment petit principal, les différents termes d'un polynôme, sauf la constante, sont des infiniment petits dont l'ordre est égal au degré; de même dans une série entière en x\ de même encore (sauf le dernier terme) pour ces expressions, considérées si souvent, qui ne diffèrent d'un polynôme ordonné suivant les puissances croissantes de la variable que par le dernier terme.

Un infiniment petit n'est pas toujours d'un ordre déterminé. Si,

par exemple, on prend - == A pour infiniment petit principal, le?

expressions

log.r

qui sont infiniment petites quand x tend \ers -f- x, n'ont aucun ordre: en effet, les rapports

A» e^ h" logr

tendent le premier vers o, le second vers + oo quand h tend verso par valeurs positives ou quand x tend vers 4- », et cela quel que ^«^1 le nombre positif /i.

Les propositions qui sui\ent concernent des infiniment petits qui admeltent un ordre déterminé et une partie principale :

La somme de deux infiniment petits d'ordre /i, dont les parties principales sont «oA", éo*"? est un infiniment petit d'ordre /i, sauf dans le cas où l'on a a^-h bo = o. Si «o + ^o n'est pas nul, la partie principale de la somme est (ao -\-bo)h". Si ao-hào est nul, l'ordre infinitésimal ne pçut qu'augmenter.

Le produit de deux infiniment petits d'ordres /?, q est un infiniment petit d'ordre jj -+- q. Sa partie principale est le produit des parties principales des facteurs.

Le rapport de deux infiniment petits d'ordres />, q est un infiniment petit d'ordre/? — q^ lorsque /> est plus grand que q; sa partie principale est le rapport des parties principales des deux infiniment petits. 11 tend vers une limite non nulle quand/? est égal à ^; il est infiniment grand quand /> est plus petit que q.

La racine /?'^'"« d'un infiniment petit d'ordre n est un infiniment

petit d'ordre -• Sa partie principale s'obtient en prenant la racine pleine jg |j^ partie principale de l'infiuiment petit donné.

246. Infiniment grands. — La terminologie, les propositions, la classification relatives aux infiniment petits se transportent aisément aux infiniment grands. Si les fonctions y (x), o(x) deviennent infiniment grandes dans les mêmes conditions, et si, dans ces conditions,

la valeur absolue du rapport ^^— — finit par rester comprise entre

deux nombres positifs fixes diii'érents de o, les deux infiniment grands /(j?) et 'f (J?) sont dits du même ortire : deux infiniment grands équivalents sont du même ordre.

On peut faire choix d'un infiniment grand principal, auquel on rapporte toutes les autres fonctions qui deviennent infiniment grandes dans les mêmes conditions : si l'on désigne cet infiniment grand par H, tout infiniment grand du même ordre que H", (/i >>o)

sera dit d'ordre /?, Un tel infiniment grand est de la forme aH"

où a est une fonction de la variable qui, dans les conditions considérées, reste, en valeur absolue, comprise entre deux nombres positifs fixes, dont aucun n'est nul; le cas le plus simple est celui où a tend, dans ces conditions, vers une limite «o? ^n peut alors regarder «oH" roinme la partie principale de a H". La partie principale d'un polynôme en J7, quand x croît indéfiniment, est le terme du plus haut

iS^ CHAPITRE XIV.

degré. On ne change pas l'ordre d'un infiniment grand en lui ajoutant un infiniment grand d'ordre inférieur.

La somme de deux infiniment grands d'ordre /i, dont les parties principales sont ^oH", fr^H^S est un infiniment grand d'ordre n, à moins que «o + ^o ne soit nul, auquel cas l'ordre de la somme s'abaisse : il peut même arriver que la somme de deux infiniment grands ait une limite. Si, en particulier (n°* 234, 235), chacun (le> infiniment grands a été mis sous la forme de la somme d'un polynôme en H, sans terme constant, d'une constante, et d'une partie qui devient infiniment petite dans les conditions où H devient infiniment grand, il faut et il suffit, pour que la somme des deux infiniment grands ait une limite, que les deux polynômes se détruisent dans cette somme : la limite cherchée est la somme des deux constantes.

Considérons, par exemple, l'expression

/ar* -h X -hî — y^jr»

en supposant que x augmente indt'^finiment par valeurs positives. On a

^x^ -h ar -h I — /a?» -+-i=--h- h...;

l'expression considérée tend vers la limite { quand x tend vers +*• Il me parait inutile d'énoncer les théorèmes relatifs au produit ou au rapport de deux infiniment grands.

Le lecteur aura sans doute remarqué qu'il n'y a pas, dans ce paragraphe relatif aux infiniment petits et aux infiniment grands, d'idées nouvelles : il y a seulement une façon de parler, qui est commode, et à laquelle il convient de s'habituer. Les exemples où figurent les fonctions exponentielle et logarithmique sont importants.

SÉRIES DE PONCTIONS. 255

2i7. Formes illusoires. Vraies Taleurs. — On a souvent à reconnaître comment se comporte une fonction aux environs d'une valeur a de la variable, pour laquelle la formule qui définit, en général, la fonction que Ton étudie prend une forme illusoire^ en sorte que, pour cette valeur a, la fonction ne soit pas définie, quoiqu'elle soit définie pour les valeurs voisines. Il peut arriver que, dans ces conditions, la fonction tende vers une limite, lorsque x s'approche de a, soit d'une façon arbitraire, soit en restant plus petit que a, ou plus grand. Cette valeur limite est ce qu'on appelle souvent la vraie valeur de la fonction. Il convient de réserver cette dénomination (*) au cas où la limite existe quand x s'approche de a, d'une façon arbitraire : en attribuant cette vraie valeur à la fonction, pour ^ =: a, cflle-ci devient continue pour j? = a. l^orsque la fonction est définie pour les valeurs plus petites et plus grandes que a et qu'il y a lieu de distinguer le cas où x s'approche de a en restant plus petit que a du cas où X s'approche de a en restant plus grand que <2, il peut V avoir deux limites différentes; s'il en est ainsi, la fonction ne peut pas être définie pour :r = a de manière à être continue. L'expression vraie valeur ne convient pas. Cette expression s'emploie aussi lorsque la fonction tend vers une limite quand x augmente indéfiniment en valeur absolue. Ici encore, il ne convient pas de l'employer quand la fonction se comporte différemment suivant que x tend vers H- oc ou vers — oo. Je rappelle que l'expression vraie valeur a déjà été introduite dans le Chapitre IV à propos des fractions rationnelles. Enfin, quand la formule qui définit, en général, la fonction, prend une forme illusoire pour ar = «, il peut arriver que la fonction tende vers H- ao ou vers — oo, quand x s'approche de a. Il importe évidemment de savoir reconnaître ces diverses circonstances.

Au lieu de supposer que x s'approche de a ou tende vers dzoo, on peut, d'ailleurs, comme on l'a déjà fait observer bien des fois, se borner au cas où la variable tend vers o ; il suffit, pour ramener les autres cas à celui-là, de faire le changement de variable x = a -\- h^

ou JF= -•

Supposons, par exemple, qu'on ait affaire à une fonction donnée sous la forme ?, , et que les deux termes de la fraction s'annulent pour

(■) Elle n*est nuliemenl indispensable. Le mot limite suffit.

l5^ CHAPITRE XIV.

X = a, on dit que, pour x = «, la foncliou se présente sous la forme illusoire -; si, pour x = a, les deux fonctions ç(jc),'>j/(.r) sontconlinues, la fonction donnée est le rapport de deux infiniment pelils, quand x s'approche de a. Si, quand x tend vers -4- oc ou vers — x, o{x) et ^(^) tendent vers o, on dit encore que la fonction se présente, pour .r:=±:oo, sous la forme - et l'on a encore alfairf. quand x tend vers -f- oc ou vers — x, au rapport de deux innniment petits.

Si, lorsque x tend vers a ou vers dz oo, les fonctions ^(^)- iu» sont infiniment grandes, on dit que, pour jF = rt, ou pour x = ±x, la fonction donnée se présente sous la forme illusoire — ; on a affaire au rapport de deux infiniment grands (*). La recherche de la liiuiie se fera comme on Ta expliqué dans le paragraphe précédent.

Si l'on a affaire à un produit de deux facteurs, dont l'un est une fonction continue de x qui s'annule pour x = a^ et dont l'autre grandit indéfiniment quand x s*approche de a, on dit que la fonction se présente sous la forme o x oo; on a affaire au produit d'un infiniment petit par un infiniment grand.

On a donné dans le paragraphe précédent et, en particulier, au n" 244, des explications suffisantes pour traiter ces différents cas.

On dit d'une expression qu'elle se présente sous la forme x — x pour dire qu'elle est la différence de deux fonctions infînimenl grandes qui finissent par avoir le même signe. 11 s'agit là, au fond, de la somme algébrique de deux infiniment grands ; on a parlé de ce cas au n« 246.

Considérons encore une expression telle que u" où u et v sont des fonctions, s'annulant pour x = a et continues pour cette valeur de j.

(>) Je dois signaler une règle célèbre, connue sous le nom de VHospitalf que je oe

démontrerai pas. (Voir Introd.j n» 234).

f(x) Si les deux termes du rapport ~ — - deviennent infiiiimenl petits tous les deui, ou

infiniment grands tous les deux lorsque x tend vers a ou vers ±: x, et si le rapport

f Ix")

•—- — - des dérivées des deux termes tend, dans les mêmes conditions, vers une

/"(■a?) limite L, le rapport ^ — - tend aussi vers cette limite L.

Dans la plupart des cas, Temploi de cette règle est moins commode que les méthodes développées plus haut.

SÉRIES DE FONCTIONS. iSy

L'expression o* n'a aucun sens par elle-même; les divers sens qu'on est tenté de lui donner sont contradictoires : d'une part, l'expression A® est égale à i, quel que soit le nombre A, pourvu qu'il ne soit pas nul; d'autre part, l'expression o"* doit être regardée comme nulle, quel que soit le nombre positif m. Le problème consiste à chercher si u*^ tend vers une limite quand x tend vers a; on remarquera d abord que le problème n'a de sens que si u tend vers o par valeurs positives quand x lend versa, autrement l'expression u^ n'aurait pas de sens pour une infinité de valeurs de i^.

On cherchera la limite du logarithme de u*', c'est-à-dire la limite de i' Igu; on a affaire au produit d'un infiniment petit (^ par un infiniment grand logu : si ce produit tend vers une limite /, u*' tendra \ers la limite e'; si le produit v Igu tend vers -h oo, u^ tendra vers -H «>; si le produit v Igu tend vers — oo, u^ tendra vers o.

Far exemple, x^^ quand x tend vers o par valeurs positives, tend vers i, car le logarithme de celle fonction, à savoir x Igar, tend vers o; il en sera de même de la fonction a?***, en supposant n positif.

La fonction jr*»' , pour j:^ > o, est constamment égale à e, puisque son logarithme est égal à I. Sa limite, quand x tend vers o par valeurs positives, est le nombre e.

Considérons encore l'expression

oii n est un nombre positif et où Ton suppose que x tende vers o par valeurs positives: son logarithme est

(:r-lg^)«'

quand jT tend vers o, c'est le rapport de deux infiniment grands; en substituant au dénominateur l'infiniment grand équivalent (— Iga:)'*, on obtient

l'expression — — -. — ^ qui lend vers o pour /i>i, qui est toujours

égale à — i pour n = i, qui tend vers — « si n est compris entre o et i. La

limite de Texpression proposée sera i dans leîpremier cas, - dans le second,

e o dans le troisième.

L'expression u*' se présente sous la forme illusoire i~* lorsque, la variable x tendant vers a (ou vers ±od), il arrive que u tende vers i T. -~ 11. m

et V vers ±: oo : on ne reconnaît rien, de suite, sur la valeur d'un très grand nombre de facteurs voisins de i.

On considérera encore le logarithme i^lgw de l'expression «': en

posant if = -j u = i -\- ^, a et ^ seront, dans les conditions considérées, des infiniment petits; on a d'ailleurs

Si - tend vers une limite m, m est la limite de t^Igw; celle de «*'

est ^"*. Si 2 tend vers + oo, t^lgw et u^ tendent vers H- oo. Si - lend vers — 00, M*' tendra vers o.

Par eiiemple, lorsque l'on regarde x comme une constante et que l'on fait croître p indéfiniment en valeur absolue, (in — ^ j lend vers e^, puisque l'on

a alors « = -> 3 = — ,°=ir. Dans les mêmes conditions, cos^ - tend vers c

On a dans ce dernier cas

. . aa?

a =: - , a= — 2sin* — » -î- = > lim-=o.

p ip % % a

EXERCICES