X -h -1 = xe

pour X positif, le second membre est plus ^rand que le premier; il est en effet égal à

réquation n'a pas de racines positives. Pour chercher s'il y a des racines négatives, commençons par changer j: en — x' ; Tëquation se met sous les formes

On n'a à s'occuper que des valeurs de x' plus grandes que 2; pour ces valeurs

le second membre peut se développer en une série entière en -^» à savoir

— -1- ( — 7 j -H. . . ; il suffit de développer le premier membre pour recon-

naître qu'il est plus petit que le second.

La coui^be ne rencontre qu'une de ses asymptotes, au point d'abscisse — i. Si A est un nombre donné l'équation

n'a pas de racines quand A est négatif; elle admet une seule racine, plus petite que —2, SI A est compris entre o et a; si \ est plus grand que a, elle admet trois racines dont l'une est comprise dans l'intervalle ( — 00, — 2), une autre dans l'intervalle (o, ^2), la troisième dans l'intervalle (^2, -h ao), Dansleca* où l'on aurait A = a, /'i serait une racine double de l'équation.

La figure même donne quelques renseignements de plus sur les racines: on voit que la plus petite racine est plus grande que l'abscisse du point d'intersection des deux droites dont les équations sont

c'est-à-dire plus grande que — A — 2; de même l'abscisse de la |ilus grande

APPLICATIONS A l' ÉTUDE d'uNE PONCTION, ETC. 283

racine est plus petite que A + 2. On peut prévoir aussi que, si A est grand, les racines de l'équation seront très voisines : une de — A — 2, une de o, la dernière de A -f- 2.

Considérons encore la fonction

on doit d'abord reconnaître le signe de la quantité dont il faut prendre le logarithme; pour x positif, cette quantité est manifestement positive; on voit même qu'elle est plus grande que 1, puisque l'on a

pour X positif, y est positif. Si, maintenant, dans la quantité 1 on

change jr en — x^ on trouve

— X "^ xe^ '

le second membre est évidemment positif : le résultat qu'on vient d'obtenir suggère l'idée de chercher s'il n'y aurait pas quelque relation simple entre les valeurs de^, yi qui correspondent à des abscisses symétriques x et — :z:; on a

X xe' XX

et, par suite, *^^ = — = -; le milieu de la droite qui joint les points de coor-

«lonnées ar, y tl — x^ yi a pour coordonnées o, {; c'est un point fixe M de l'axe des^; la courbe cherchée est symétrique par rapport à ce point; la portion de la courbe qui correspond à des abscisses négatives se déduit ainsi, par •symétrie, de celle qui correspond à des abscisses positives. Il suffit évidemment d'étudier cette dernière.

Pour ar = o, ^ se présente sous forme illusoire; on a vu au n" 247 comment ^e levait l'indétermination, et comment on pouvait développer y en série entière en Xj convergente pour les petites valeurs de :r; on trouve

Ou reconnaît que la courbe passe par le point M; la tangente en ce point

a pour équation y ■= — i ; » le point M est un point d'inflexion, puisque le

terme en .r* manque dans le développement. Gela résulte d'ailleurs de ce que

a84 CHAPITRE \v.

le point M esl un centre de symétrie de la courbe, situé sur la courbe elleméine.

On peut écrire y sous la forme

pour a: positif, la quantité lg(i — «"*) est manifestement négative; on voit que^ est plus petit que i et, d'ailleurs, que^ tend vers o quand x tend vers + oo; la courbe considérée esl au-dessous de la droite dont l'équaiion esl^' = i, à laquelle elle est asymptote, vers la droite. On a

, I r g^( ar — n -+- 1 . g-^ — 1 1

il y a lieu d'étudier le signe de cette expression pour x positif; il retiendra au même d'étudier le signe de la fonction

cette expression est assez compliquée; on remarque toutefois que le signe i

transcendant Ig disparaîtra de la dérivée, qui ainsi sera rationnelle en x- et |

en e-', et dont on peut espérer que l'on tirera quelques renseignements sur le sens de la variation de «, et par là même sur le signe de z. Quoi qu'il en soit, |

c'est, pour le moment, sur la fonction z à^ x qu'on porte l'attention, eo ^ bornant d'ailleurs aux valeurs positives de la variable; on trouve par un calcul facile

le numérateur est le produit des deux facteurs

u = c'' — 1 — are*, p = e^" — i-hrre*,

dont le second est manifestement positif, pour x>o; quant au premier, sa dérivée est

r;T = eî(.î-.-f);

le second facteur est positif, on a vu en elTet, plus haut, que e'--i — x était positif pour x y> a. Ainsi u' est positif; u est donc croissant quand x est positif; u. est nul pour jr = o, il est positif pour x > o; par conséquent, s' est toujours positif, z est croissant pour a? > o. Pour x = o^ z se présente sous une forme illusoire: on reconnaît sans peine que sa vraie valeur est o; il suit de là que z est positif pour 37 > o; il en est de même de r': donc, lorsque x

APPLICATIONS A l'ÉTUDE d'uNE PONXTION, ETC. '285

croît de o à H- 00, ^ croît à partir de i, en s'approchant indéfinimeiit de i ; ces renseignements suffisent à construire la courbe qui représente la fonction proposée; je laisse ce soin au lecteur. Celui-ci reconnaîtra sans peine que l'équation

- Ig = A

n'admet pas de racines, sauf dans le cas où A est compris entre — i et H-i; cette racine est de même signe que A.

Dans les exemples qui précèdent, Télude de la variation d'une fonction .f{x) a toujours conduit, de la manière la plus simple, à la séparation des racines de l'équation /*(:r) — A = o, où A est une constante donnée. Lorsque c'est surtout de la séparation des racines qu'on se préoccupe, il peut être avantageux de prendre pour A non pas précisément le terme constant de l'équation, mais bien quelque autre coefficient par rapport auquel on commence par résoudre l'équation.

Considérons, par exemple, Téquation x^ — loo^ -h i = o, qui appartient d'ailleurs à un type que l'on a étudié plus haut, mais qui frappe par ce fait qu'il y a un coefficient beaucoup plus gros que les autres; en la résolvant par

rapport à ce coefficient, on la met sous la forme loo = :r*H > et l'on voit

qu'on en obtiendra les racines en cherchant l'intersection de la courbe définie

par l'équation y = x^-\ avec la parallèle à l'axe des x dont l'équation

esi^ = joo.

Il suffira au lecteur de tracer grossièrement la courbe pour reconnaître que l'équation proposée a une racine négative, un peu plus grande que — lo, une racine positive très petite, une autre racine positive un peu plus grande que lo.

Il arrive fréquemment qu'on ait ailaire à une équation contenant un paramètre variable m, les autres coefficients étant numériques. Le nombre et la nature des racines de l'équation proposée dépendent alors de la valeur de m et c'est cette dépendance même qu'on se propose d'étudier. Il est alors en général avantageux de résoudre, lorsque cela est possible, l'équation donnée par rapport km et de la mettre ainsi sous une forme telle que/(x) = m, /(x) ayant ses coefficients purement numériques : on étudiera la fonction /(x) et l'on examinera si elle peut atteindre la valeur m ; il est à remarquer que les

•286 CHAPITRK XV.

racines de l'équation /'(a) = o, qui jouent le rôle essentiel dans celte étude, ne dépendent pas de m.

Si par exemple on avait afTaire à TéquatioD

on la mettrait sous la forme

- le = m:

l'étude de celte équation a été faite un peu plus haut.

Quelquefois, au lieu de traiter directement Téquation donnée, en cherchant Tintersection avec Taxe des J7, ou avec une parallèle à cet axe, de la courbe qui représente le premier membre de celte équation, il est préférable de ramener la résolution de cette équation à la recherche de Tinlersection de deux courbes convenablement choisies, et en particulier d'une telle courbe avec une droite.

Je ne donnerai ici d'exemple que pour ce dernier cas, d'autant que l'étude de l'intersection de deux courbes suppose quelques propositions qui ne seront établies que dans le Chapitre suivant.

Considérons Téquation tang jt — «• = o. Je commence par recueillir les renseignements qui résultent de la considération du premier membre de cette équation et de sa dérivée.

Le premier membre est une fonction continue de j:* à Tintérieur d'un intervalle limité par deux multiples impairs, consécutifs, de - ; sa dérivée lang^x

est toujours positive, la fonction tangj? — x est croissante ; elle ne peut s'annuler qu'une fois dans chacun des intervalles considérés : considérons Tinter-

pelii-

valle 1(2/1 — i) - -h £, (.2/1 -h i) ^ ï 1, où e est un nombre positif très

En substituant dans l'expression tangj:* — x les deux bornes de l'intervalle, on trouve

/ TT \ ^ TZ — I , 1t

tangl rsl— (2/1 — i) £= (2/1 — I) e,

^, '1 / ^ '1 lange ^ ^2

tang ( e) — (2/i-ei) — he= (21C-+-1) — he;

° \2 / 2 tange ^ ^ 1

le premier résultat est négatif, le second est positif; il y a une racine et une

tervalle

APPLICATIONS A l'ÉTIDE d'UNE FONCTION, ETC. 287

seule dans l'intervalle considéré, les racines sont séparées. On peut aller un peu plus loin, en substituant le nombre m:, intermédiaire entre les deux bornes de l'intervalle, le résultat est — ni:.

Supposons /i > o; il y a une racine entre it et — > une entre aie et 5— > • • •

entre m: et (in -hi)-; on obtient ainsi les racines positives; puisque la fonction tang^ — jr est impaire, à chaque racine positive correspond une racine symétrique. Enfin la racine évidente o est la seule qui soit contenue dans Tin-

Au lieu de chercher à résoudre l'équation tan^^r — x = o, on peut chercher l'intersection de la courbe qui a pour équation y = tang:r, et de la droite qui a pour équation^ = x.

De cette façon, non seulement les résultats précédents apparaîtront clairement, mais on va trouver d'autres résultats importants concernant les racines, et, si l'on se donne la peine de construire la figure avec quelque soin, sur du papier quadrillé, m\ pourra obtenir ces racines avec une certaine approximation.

La droite dont l'équation est j^ = a: n'est autre chose que la bissectrice de l'angle des coordonnées positives.

Quant à la courbe dont l'équation est y = tanga?, on observe d'abord qu'elle est symétrique par rapport à l'origine, parce que la fonction lamgx est impaire; si l'on a construit la courbe pour l'intervalle [o, ~ j» on en déduira par

svmétrie la portion de courbe qui correspond à l'intervalle ( -9 o).

La formule lang{Tz^ x) = tangar montre que les ordonnées de la courbe sont les mêmes pour les points d'abscisse x eiTZ-hx; le point de coordonnées r-f-j7, tang(T:-r x) se déduit du point de coordonnées x, tanga: par une translation parallèle à l'axe des x, égale à 77; quand on a construit la courbe

(7C 7C \ — ) - ]> en faisant subir la translation précédemment définie à cette courbe, on obtient la portion de courbe qui correspond à l'intervalle (-9 — ); par une nou\elle translation, la portion de courbe qui correspond à l'intervalle ( — > — -' )> • • ••

De même, du côté des x négatifs. La courbe totale se compose d'une infinité de branches égales à celle qu'on a commencé par construire, pour l'intervalle ( 9 -)• Cette première branche sera d'abord construite avec soin,

puis répétée à droite et à gauche. Four la construction, il sera commode de se servir d'une table de tangentes naturelles. Toutes les parallèles à Taxe des^

dont la distance à cet axe sont des multiples impairs de — sont des asymptotes.

Pour X très petit on a ^ = 37 -+- ~ h- . . .; Torigine est un point d'inflexion: pour X positif la courbe est au-dessus de sa tangente, dont l'équation est/=j.

Il suffit de jeter les yeux sur la figure pour apercevoir la disposition de

racines positives de l'équation tanga: — â? = o, on voit de suite qu'elles sont

, 3ir Sir 71c ('in-^\)Tz respectivement plus petites que — » — » ^— * • • •> ^ — - — y • - . et que, si «

est un peu grand, il doit y avoir une racine très voisine de (2/1-4-1) --^i

l'on représente cette racine par {in-^x) e, e étant positif et petit, on

doit avoir

=(an-hi) e.

tange ' 1

Si n est très grand, e sera très petit, on aura à très peu prés

tange = >

et aussi, e :

-9 puisque l'arc est alors très voisin de la tangente. Je

me borne à indiquer ces résultats, qu'il y aurait lieu d'étudier d'un peu plus près : le lecteur reconnaîtra tré^ aisément que Ton a e <

APPLICATIONS A l'ÉTLDB d'LNE FONCTION, ETC. 289

§ 2. - SÉPÂRâTION DES RâCINES.

2ol. Les exemples précédents ont suffisamment montré au lecteur comment Télude de la variation du premier membre d'une équation permettait de séparer les racines de cette équation. Il convient de nous arrêter un peu sur ce dernier problème.

Il pourrait être regardé comme à peu près résolu, si Ton savait résoudre le problème suivant :

Sachant que la fonction f{x) est continue dans V intervalle (gj è), trouver le nombre de racines réelles de V équation f(x)=zo (*), comprises dans cet intervalle.

Ce problème, qui n'a d'ailleurs de sens que si le nombre déracines comprises entre aei b est fini, n'est pas susceptible d'une solution générale: mais tous les renseignements qui fournissent une réponse même partielle à la question posée sont précieux.

On a déjà vu au Chapitre XII que l'on pouvait tirer quelque parti du signe des quantités /(«), /(b).

Je supposerai tracé le trait de courbe qui représente la fonction y=f(^x) dans l'intervalle (a. b)] je désignerai ce trait de courbe comme l'arc AB, A et B étant les points dont les coordonnées sont a elf(a), b eifib); je suppose «< é.

Si les deux nombres /{a) et /(b) sont de signes contraires, le trait de courbe AB traverse l'axe des x un nombre impair de fois (une fois au moins) : Si chaque racine de l'équation /(j?) = o admet un ordre de multiplicité au sens du n® 249, on peut dire qu'il y a entre a el b un nombre impair de racines, en comptant chaque racine distincte pour autant de racines qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité : en effet, on a vu que, pour une racine simple ou d'ordre de multiplicité impair, le trait de courbe traversait l'axe des j^; qu'il ne traversait pas cet axe pour une racine multiple d'ordre pair.

Si les deux nombres /(a), /(b) sont de mêmes signes, le trait

(') Au lieu de dire racine de l'équation f'\x) = o, il m'arrivera fréquemment de dire racine de f {x) : celle façon de parler a élé employée dès le Chapitre II, qoaod il s'agissait de polynômes.

de courbe AB ne traverse pas Vaxe des jr ou le traverse un nombre pair de fois. Si l'on esl encore dans le cas où chaque racine admet un ordre de mulliplicité, on peut dire qu'il y a entre a et h un nombre nul ou pair de racines, en comptant chaque racine distincte pour autant de racines qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité.

Il est à peine utile de dire que les propositions précédentes s'appli(|uent aux polynômes, puisque, alors, l'ordre de multiplicité d'une racine se définit immédiatement.

La formule de décomposition d'un polynôme en facteurs réels du premier ou du second degré ( n*' 114-) fournit d ailleurs, dans ce cas, une démonstration immédiate des propositions précédentes.

Si l'on désigne en effet par Xi, .r^, ..., Xr les racines réelles du polynôme/(^), chacune étant répétée autant de fois qu'il y a d'unilé> dans son degré de multiplicité, on peut poser

f(x) =^{X — Xx) (X — Xi),..(X — Xr)^(x)

en désignant par «(x) le produit des trinômes du second degré (à coefficients réels ) dont les racines sont les racines imaginaires de/(j:), multiplié par le coefficient de la plus haute puissance de a: dans /ur). Quel que soit x, o(x) a le même signe que ce coefficient : on déduit de là

/(a) = (a — xi){a — xt),,.(a—xr)^{a), /(b) = (b — xi) {b- Xi)..Ab^Xr)^(b).

puis

/(a)f(b) = l{xi--a){Xi-b)][(xt'-a)(Xi-b)]...\(xr-'a)(Xr-b)]

Le produit o{a), 'f (6) est essentiellement positif; chacun des facteurs entre crochets est négatif si la racine correspondante esl comprise entre a et 6, positif dans le cas contraire; d'où la conclusion :

Le produit y(a)/'( 6) est négatif s'il y a un nombre impair de racines de f{x) comprises entre a et b; il est positif s'il y en a un nombre nul ou pair.

Par exemple, en substituant les nombres — 00, o, -f- oc dans un polynôme, à coefficients réels, de degré /?, pour lequel le coefficient de jt" est positif, on arrive aux conclusions suivantes :

Si n est pair et si le terme constant est négatif, le [polynôme a au

APPLICATIONS A L*ÉTUDE d'uNE FONCTION, ETC. 29 1

moins une racine négative et au moins une racine positive; le nombre de ses racines négatives est impair, ainsi que le nombre de ses racines positives.

Si n est pair et si le terme constant est positif, le polynôme a un nombre pair, ou nul, de racines positives et de racines négatives.

Si n est impair, le polynôme a un nombre impair de racines réelles, (le signes contraires au signe de son terme constant.

Considérons encore l'équation

où r* — 3x -h /w( I — 3a;* ) = o; il est assez naturel d'essayer la substitution, à

la place de a\ des nombres ;=> -— qui annulent le coefficient de m. et

donneront des résultats purement numériques. En substituant les nombres

on trouve les signes

léquation du troisième degré a ses trois racines réelles et distinctes, quel que soit m.

Il est rare qu'on puisse arriver à un résultat précis, comme dans l'exemple précédent. Toutefois, en intercalant au besoin, entre a i et 6, des nombres suffisamment rapprochés, que Ton prendra le plus souvent en progression géométrique, en calculant les valeurs correspondantes def[x), en figurant sur du papier quadrillé, à une échelle convenable, les points correspondants de l'arc AB, dont on a ainsi les abscisses et les ordonnées, on arrivera d'ordinaire à tracer cet arc avec une exactitude suffisante pour reconnaître à peu près sûrement s'il coupe ou ne coupe pas l'axe des x, pour reconnaître aussi la position approximative des points d'intersection. Il pourra toutefois se présenter des difficultés provenant, par exemple, de ce que l'arc AB s'approche beaucoup de l'axe des x sans l'atteindre, de ce qu'il le rencontre en deux points très rapprochés, etc.

'Jt^l CHAPITRE XV.

252. Les renseignements que fournissent les signes des quantités /{a) el/{b) sont au contraire très précis lorsque l'on sait que la fonction/(^), continue dans rintervalle (rt, è), va toujours en augmentant, ou toujours en diminuant, lorsque x croît de a k b. Ainsi qu'on a déjà eu l'occasion de le dire plusieurs fois, il y a une racine dans l'intervalle [a, 6), et une seule, si /{a) elf{b) sont de signe contraire; il n'y en a pas si /(a ) et /(b) sont de même signe. Si Tune des quantités ./k/), /(b) était nulle, Téquation /{x) = o n'aurait pas, dans l'intervalle (a, b) d'autre racine que celle des bornes de Tintervalle qui annule f{x).

Dans ce cas, lorsqu'on a séparé une racine Xq^ comprise par exemple dans l'intervalle (a, b), on peut resserrer autant qu'on le veut cet intervalle^ approcher autant qu'on le veut dex^: supposons, pour fixer les idées, que l'on dit /(a) <Co^ /{^) >■ o; on prendra un nombre a<, compris entre a et b, et l'on cherchera le signe de/(ai i: Xq est compris entre a el a^ ou entre «i et b suivant que^u'i) est positif ou négatif; on continuera ainsi aussi longtemps qu'on voudra.

Par exemple la fonction y = 'xjc — sinar — i a pour dérivée 2 — cosx; celte dérivée est toujours positive; la fonction continue ix — sinx — 1 ne peut

s'annuler qu'une fois; elle est négative pour x = o, positive pour x = -y la

racine est séparée. Pour a: = -, ^ est négatif, la racine est comprise entre 7

et -; si l'on veut aller plus loin, on utilisera une table de \aleurs nalurelUs

sina? = 0,8090, y = 0,076,

sin a- = 0,7604, J^ = — o,o32,

sin 37 = 0,7706, y= — 0,011,

sin a? = 0,7908, y =^ 0,010;

(*) On cil trouve dans les Aouvelies Tables du service Géographique (Gauthier- Villars), dans le Recueil de Tables et de Formules numériques de J. Hoûel {ibid.).

u sinus ('

On a par

exemple

pour

APPLICATIONS A l'ÉTUDE d'l'NE FONCTION, ETC. '^93

la racine cherchée est comprise entre o,56 - = 0,879, ... et 0,57 - = 0,893 ...;

la valeur 0,9 est approchée par excès, à un deini-dixième prés. On a montré au n" 230 que l'équation tang:r — .r = o avait une racine, et

une seule, dans l'intervalle (tu, — -U où la fonction tang.r — cr est croissante;

afin d'avoir affaire à des arcs compris entre o et — posons j* = x' ; le problème est ramené à la recherche de la racine de l'équation

, 37r col^r -h or : = o

-ir

qui est comprise entre o et -• On s'aidera d'une table de tangentes naturelles; pour i3 grades, la cotangenle est égale à /^^&i.SS; elle est plus grande que — ;

la racine cherchée est sûrement plus grande que 0,1 3 -; pour x' = o, i4 - on trouve

cotj^ -^ X = — o,Ofn8;

la racine est inférieure à 0,14 -; mais la petitesse du résultat qu'on vient de

trouver permet de supposer qu'elle est voisine de o, i.î -; en effet on trouve

un nsultat positif en substituant 0,139-* ^'^ racine de Téquation en x' est

donc comprise entre 0,139 - et 0,1 40 -• La racine de l'équation tangâ? — x^o est voisine de 4, >• On la calculera plus exactement un peu plus loin.

On reconnaît habituellement que la fonction /(x) est toujours croissante ou toujours décroissante dans rinlervalle (a, è), par ce fait que, dans cet intervalle, la dérivée^ (^) ne change pas de signe ; si, en particulier a, b sont deux racines consécutives de réquationy(>) = o, c'est-à-dire deux racines -qui ne comprennent aucune autre racine de cette équation, et si la fonction fKx) est continue dans l'intervalle {n^ 6), on est certain que cette fonction garde le même signe lorsque a? varie entre a et 6, puisque, autrement, la fonction y"(x) s'annulerait entre a et i ; par conséquent, lorsque x varie de a à 6, la fonction /(j?) est toujours croissante ou toujours décroissante; elle n'admettra pas de racines entre ^ et é si /(//) et f\b) sont de même signe, elle

admettra une racine, et une seule, si f{o) ^^J\b ) sont de signes contraires : cette racine est alors séparée ( * ).

De même, si />est la plus grande racine dey(.r), et si la fonction y^(j:> est continue pour j* >> é, il est certain que/'(x) garde le même si^e pour j: >- a et que l'équation /(\r) = o ne pourra avoir qu'une seule racine pour x >• A; celte racine n'existera pas si /(a) et f{-]-'Xi) sont de mêmes signes, elle existera si /(a ) et /(H- oo) sont de signes contraires; dans ce cas, on peut la regarder encore comme séparée. De* considérations toutes pareilles s^appliquenl aux valeurs de x inférieures à la plus petite des racines de la dérivée, quand cette dérivée est continue pour ces valeurs.

De là la règle suivante, qui est d'un usage continuel :

Soit(A^ li) un intervalle clans lequel la dérivée /' (x) reste continue; Je suppose A <; B. Soient ai^ a^^^ .*-•, ar les racines de cette dérivée comprises entre K^ Met rangées par ordre de grandeur croissante. On considère la suite (^).

(i) A, «,, aj, ..., Éïr. B;

dans chacun des intervalles (A, a, ), (a,, a^), ..., («r^ h) formés par deux termes consécutifs de cette suite ^ il ne peut y avoir qu'aune racine de V équation f{x) = o. On détermine les signes des termes de la suite

{'^) /"(A»), /(a,), /(a,), ..., f{arh /(B).

Si deux termes consécutifs de cette dernière suite sont de mêmes signes, il n\y a pas, dans V intervalle correspondant, de racine de

(') Le raisonnement peut être présenté d'une autre façon, qui montre que la ccbclusion implique seulement Vexistence de la dérivée /'(j:) entre les deux racines consécutives a, b de celte dérivée et non sa continuité.

S'il y avait entre a, b deux racines a. ^ de la fonction /(xj, il y aurait une ra> cine de f'{x) entre a, fi ( n" 215) ; rt, 6 ne seraient pas deux racines consécutives de/'(JF). Enire deux racines consécutives de la dérivée J'{x), il ne pcul donc} avoir qu'une seule racine de la proposée /{x).

Il est à peine utile de dire que, en admettant Vexistence dt la dérivée dans Pinlervalle (a, 6), on admet pur cela même la continuité de la fonction f{x) dans cei intervalle. Si la fonction f{x) n'est pas continue dans cet intervalle, la proposition n'est pas applicable.

(-) On lui donne souvent le nom de suite de Boite relative à l'intervalle t-^ Bj.

APPLICATIONS A l/ÉTUDE D*LNE PONCTION, ETC. 295

r équation f{x) = o; ily en a une, au contraire, si ces deux ternies sont de signes contraires.

A cel énoncé, je joindrai les remar(|iies suivantes :

Il peut se faire (|ue l'un des termes de la suite (2) soit nul; on a alors déterminé une racine de l'équation /(j?) = o. SI cela arrive pour d'autres termes que pour les termes extrêmes, la racine considérée est, en général, multiple (n" âi9). On aura alors à déterminer son ordre de multiplicité. D'ailleurs, dans les intervalles partiels que borne le terme considéré, il n'y a évidemment pas de racine de l'équation y(.r) = o. en vertu du raisonnement général.

Les racines «1, a^t . . ., Ur Ae la dérivée/'(x) n'interviennent dans le raisonnement précédent qu'en ce que, pour ces racines, la dérivée changeant de signe, le sens de la variation de la fonctiony'(vC) change aussi. Si donc, en résolvant l'équation /'(x) = o, on aperçoit quelque racine pour laquelle la fonction/'(j') s'annule sans changer de signe, ()ar exemple une racine d'ordre de multiplicité pair [pour/'(j:)], on n'a qu'à supprimer cette racine de la suite de RoUe, après avoir constaté toutefois qu'elle n'annulait pas/(x). Si, par exemple, a^ est une racine double poury*'(j?j, la fonction /'(j^ ) garde le même signe quand x croît de a^ à a^, la fonction /(x) dans l'intervalle («i, as) va toujours en croissant, ou toujours en décroissant; elle ne peul s'annuler qu'une seule fois.

Si la dérivée /'{x) est continue pour toutes les valeurs de x^ on n*iiiplacera dans les raisonneuients précédents A et B par — ao, -h 00.

Considérons réquation

f{.P) = (1 — cosx) laiigx — a: -h siii x = o,

où a est un arc donné compris entre o et - ; /(ir) est une fonction continue «le a-, quel que soil j™, ainsi que sa dérivée

/'(x) = sinx tangz — i -+- cos./; = ^sin— f cos- tanga — sin- j;

Icîi racines de l'équation y (j;') = o sont données par les formules

JT = Àfmz, X = 2/nz -^2 a, où /n, n sont des nombres entiers queIcon((ues: innz, 'imr. -+- via, 'i{m -+-1)11

!296 CHAPITRR XV.

constituent trois racines consécutives; on a d'ailleurs

/(2/wit)= — ami:, fiiniz H- -xi) = (i — cos2a) tangs — -xt. — -iinz -4- sinaa = 9.(langa — a — mz).

Puisque Ton a o < a ^ -» tanga — % est positif; il en résulte que, si met «

sont négatifs, /(a m 7r) et f{'imz -\- 11) sont positifs, fl est aisé d'en conclure que l'équation /(a™) = o, qui admet la racine (double) a^ = o, n'a pas de racines négatives.

Occupons-nous maintenant des racines positives : entre deux termes consécutifs de la suite

O, 2 a, 'ITZ^ 2--|-2a, 4*"^» l^TZ-^'l'X, ...,

il y a une racine, ou il n'y a pas de racines, suivant que ces deux termes donnent, par la substitution, des résultats de signes contraires, ou de mémeî^ signes; les nombres 2 7î, 4^» ••• donnent des résultats négatifs; soit v le plus petit nombre entier tel que Ton ait

vt: 2 tanga — a,

et supposons d'abord v > i, les nombres

•la, 2 7: -4- •>. oc, ..., a(v — ijTc-H'iGt

donneront des résultats de substitution positifs : l'équation y*( 2* ) = o n'admettra pas de racine autre que o dans l'intervalle ( o, 2a ); elle en admettra une et une seule dans cbacun <les intervalles formés par les termes de la suite

2a, 21T, 211 H- 2a, ..., 2(v-- I) TT -f- 2a, 2V'ïr;

elle n'en admettra pas de supérieure à 2717, sauf dans le cas où Ton aurait vx=tanga — a. auquel cas 2v7r h- 2a serait une racine (double; de l'équation/(ar) = 0. L'équation admet 2v — i racines simples que l'on a séparée*, la racine double o, et dans le cas particulier où vie = tanga — a, la racine

double 2vTr-H 2a : le nombre v est très grand quand a est voisin de -•

Si l'on a V = 1, il y a une racine simple comprise entre 2a et 2", il n'y en aura pas de plus grande, sauf dans le cas où l'on aurait langa — a = ::, auquel cas 271-1-23 serait une racine double.

Considérons encore l'équation

fix) = \(Sx~^ — 20.r'-j- "i.r — m = o. On a

\f{x) = i6a^*— 12 j"* -h I = (4a-«-Hi)*— 2ua-«;

APPLICATIONS A L KTIDE D UNE FONCTION. ETC. î»97

les racines de l'équation /'(a?) = o sont les racines des équations

4 ar* -^ 1 -i- -lar* /5 = o, 4X^-^1 — •2:r \/5 = o ;

en les rangeant par ordre de grandeur on obtient

rti= » «8= ; > ai= — - — • a4= ; — ;

on a à \e^ substituer dans f(x ): le calcul se simplifiera en substituant Ui et a^ d'une pari, a, et a^, d'autre part, dans les restes — ^x — m — /5 et — 4ar— /w-r-/5 de la division de /(x) par 4^*-+- 9.a^/j H- 1 et par

Ka suite de Rnlle esl formée par les nombres • 1) — X, a|, ^4, <7.i, «4, -H».

On a écrit ci-dessous les résultats de la substitution de ces nombres dans^(a?) :

{•}.) — », I — m, — I — m, I — /w, — I — /w, -hx.

Supposons que l'on ait — 1 <m< 1: les signes des rermes de la suite (2) «eront

L'équation /(x) =0 a cinq racines réelles (nécessairement distinctes).

On reconnaît sans peine que, si tn esl plus grand que i, il n'y a qu'une racine, comprise entre a^ et -hx: que si m esl plus petit que — i, il n'y a qu'une racine, comprise entre — x et a|.

Enfin, si l'on avait /w= 1, rt| et «3 seraient des racines doubles du polynôme f(T), qui adnieltrnit en outre la racine simple x == \\ si l'on avait /n = — 1, «î et «4 seraient des racines doubles de /(x), qui admettrait en outre la racine simple x = — i .

2o3. Théorème de RoUe. — La proposition fondamentale, en vertu rie laquelle la dévisée /'(x) d'une fonction /(x) dont «r, b sont deux racines s'annule pour une \aleurde x comprise entre ri et 6, doit être complétée par quelques remarques, qui se raltaclienl au théorème que \olci, important en lui-même.

Soit /'(O") une fonction de x admettant dans l'intervalle ( /?, q) une déri\ée ronlinue/'( x ). Je suppose que, dans cet intervalle, les fonctions y*(-r), f'{x) ne puissent s'annuler qu'un nombre fini de fois, en >orte que Tinterxalle (/>, q) puisse être subdivisé en un nombre fini dinterx ailes partiels tels que, à l'intérieur de chacun d'eux, l'une ou

l'autre des fondions f(x). /* (x ) garde un signe constant. Soit « une racine de/{x) appartenant à rinlervalle (/?, q).

Les deux /onctions /(x) et /'(x) sont désignes contraires peur les valeurs de x un peu plus petites que la racine a de /{x)\ elles sont de mêmes signes pour les valeurs de x un peu plus grandes que cette racine,

La vérité de cette proposition apparaît aisément en se représentant le trait de courbe qui figure /(\r) dans Tintervalle (/>, q) : ce trait de courbe a un point, d'abscisse a, sur l'axe des x; il peut d'ailleurs soil traverser l'axe des x en ce point, soit rester, aux environs de ce point, au-dessus ou au-dessous de l'axe.

Supposons, par exemple, qu'il le traverse de bas en haut quand xcroîl: la fonctiony(j7), négative pour j?un peu plus petit que a, est nulle pour :fc*=rt; elle croitquand on s'approche de^/, par valeurs plus petilesqued: la dérivée /'{ x ) est donc alors positive : quand on a dépassé la valeurs, la fonction devient positive: elle étaitnulle pourx = rt, elle est croissante ; la dérivée reste positive. I^a proposition est vérifiée dans ce ca^: la vérification est la même dans tous les cas.

Au reste, la démonstration rigoureuse résulte immédiatement de la formule des accroissements finis, appliquée aux deux nombres voisins a etrt-f-A; cette formule peut s'écrire /"(a -h A) = A/' (âr -h 6 Ai, puisque /(a) est nul : elle montre que /(a -h h) e\ f{a -h^A) sont de signes contraires ou de mêmes signes suivant que h est positif ou négatif; or le nombre rt-4- 8A, puisque 8 est positif et plus petit que i. peut être supposé aussi voisin de a qu'on le veut; il est plus petit que a, ou plus grand, suivant que h est négatif ou positif; il v a donc des valeurs de .r, plus petites que a, aussi voisines de a qu'on le veut, pour lesquelles /(jc) e\.f'{x) sont de signes contraires; il va de même des valeurs de x, plus grandes que a, aussi voisines de a qu'on le veut, pour lesquelles /(a:) elf'(x) sont de mêmes signes :si, dans l'intervalle {a — s, a -\- s), où e est un nombre positif aussi petit qu'on le veut, les fonctions /(x), /'(.r) ne s'annulent pas pour une autre valeur que a, en sorte que chacune conserve son signe, soit à l'intérieur de l'intervalle (a — £, a), soit à l'intérieur de rintervallc (a, a -^ e), il est clair que les deux fonctions aunmt des signes contraires dans le premier intervalle,* et les mêmes signes dans le second. C'est ce qu'il fallait établir. On va en conclure la proposition suivante:

APPLICATIONS A l'ÈTL'DE d'L'NE FONCTION, ETC. 299

Soient ti, b deux racines consécutives de f{x) : on suppose que dans V intervalle (a^ b) la fonction f{x) reste continue ainsi que sa dérivée f\x)\ puisque, à l^ intérieur de cet intervalle^ la fonction continue fix) ne s'annule pas, elle conserve son signe; je suppose en outre que la fonction f {x)^ dans cet intervalle, ne puisse s'annuler quUin nombre fini de fois.

Dans ces conditions on peut affirmer que, lorsque x croit de a à 6, la dérivée f {x) change de signe un nombre impair de fois.

Supposons eu efFet que le nombre positif s soil assez petit pour que, à rintérieur des intervalles (a, a + g), (b — s, 6), les fonctions f{x), f{x) ne S'annulent pas; elles sont de mêmes signes dans le premier, (le signes contraires dans le second; la fonction f(x) garde le même sigue dans tout l'intervalle (a, b)\ la fonctiony'(.r ) a donc changé de si^ne quand on passe de a H-e à 6 — s, elle a changé de signe un nombre impair de fois; puisqu'elle garde le même signe à l'intérieur (les intervalles ( «, (i-[- z)^ {b — s, 6 ), elle change de signe un nombre impair de fois quand x croit de a à è. Si Ton peut attribuer un ordre (le inullipiicité a chacune des racinesde/'( j: ) contenues à Y intérieur (le rintervalle (a, b)^ on peut dire que le nombre de ces racines est impair, en comptant chacune des racines distinctes pour autant de racines qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité (^* ).

Cette pnjposition, avec le sens précis qu'on vient de lui donner, s applique en particulier quand f(x)^ /'(^) ^^^^^ ^^'^ polynômes en x.

Entre deux racines consécutives a, b d'un polynôme^ il y a un nombre impair de racines de sa dérivée.

Si le polynôme f(x) a toutes ses racines réelles, il en est de même de sa dérivée /'(x).

Soit /i, en eflTet, le degré de f(x)^ /'(•^) ^^i*^ ^^ degré n — i. Supposons d'abord que les n racines de f{x), qui, par hypothèse,

( ' ) Lorsque \h foiM:lioii /( J?) s'annule |»our x — — x, ou pour x = -Hoc, la proposition précédente et sa démonstration s'étendent aisément aux intervalles ( — oo, ot), (^. -^x) en désignant par a et ^ la plus petite et la plus grande des racines de /(j:). On !)uppose bi^n entendu que. pour toutes les valeurs de x supérieures à p, par exemple, la dérivée /'(j?) soit continue. On reconnaît alors sans peine que, pnur les jsraiides valeurs positives de x,f{x) et /'(x) sont de signes contraires, si f{x) tend ^ers o quand x tend vers -hao. Le raisonnement s'achève ensuite de la même façon.

300 CHAPITRK XV.

sont réelles, soient toutes simples, et désignons-les, en les ranjreani par ordre de grandeur, par <7|, a^^ . . ., a,,.

La suite qu'on vient d'écrire comporte n — i intervalles; dans chacun de ses intervalles, il y a une racine àef'(x).

Ce dernier polynôme a donc ses n — i racines réelles et distinctes Entre deux racines consécutives de Fun des polynômes ^/"(xu/'iJ ir j a une racine, et une seule, de l'autre.

Considérons maintenant le cas où Téquation f(x) = o, dont on suppose toujours que les n racines soient réelles, admet des raclnen multiples. Si ai racines sont égales à a^ et si, en conservant les notations précédentes, on suppose ai ^= ^a ==. . .= a^^^^ a, — i intervallp>, de ce fait, disparaissent de la suite précédente; mais, d'un autre coté. Téquation dérivée /'(x) = o admet a, — i racines égales à rtr. on voit que les conclusions relatives au nombre de racines réelles de la dérivée ne sont pas changées; le polynôme f'{x), en dehors de> racines qui lui sont communes avec f{x) et qui sont multiple> pour f{x)^ admet autant de racines, forcément simples, qu'il v a d'intervalles dans la suite formée par les racines distinctes de fix . c'est-à-dire p — i , siy^j") admet p racines distinctes.

Il est à peine utile de dire que les polynômes f"{x). f"(x), ..» /^"~*^(jr) ont tous leurs racines réelles.

Réciproquement, si l'équation /'( .r) = o n'a pas toutes ses racine> réelles, ou si elle a des racines multiples qui ne sont pas racine^ de ./(-p), Téquation /{x) = o a forcément des racines imaginaire>. Le lecteur pourra retrouver et préciser ce résultat, en comptant le nombre d'intervalles formés par la suite des racines réelles distincle-^ de f'{X) précédées et suivies de — x> et de -j- x (suite de RoUei, intervalles dans chacun desquels il ne peut exister qu'une racine réelle de f{x),