CALCUL APPROCHÉ DES RACINES D'UNE ÉQUATION

2o4. Une équation numérique /(x) = o étant donnée, on devra d'abord séparer ses racines, c'est-à-dire déterminer autant d'intervalles (/>, q) qu'il y a de racines, chacun d'eux contenant une racin»* et une seule. Les bornes d'un intervalle peuvent être regardées coinm»* des valeurs approchées de la racine correspondante, mais celte qualification ne convient que quand ces bornes diffèrent peu.

APPLICATIONS A L KTUDE d'uNK FONCTION, ETC. 3oi

On a vu plus haut le rôle que tiennent dans cette séparation Tétude (le la dérivée (théorème de Rolle) et la représentation graphique.

Celle-ci, quand elle est faite avec soin, permet d'obtenir des valeurs vraiment approchées des racines.

On se servira pour cela de papier quadrillé, de papier millimé- Irique par exemple; les axes de coordonnées seront placés suivant des lignes (perpendiculaires) du quadrillage, et l'unité de longueur sera choisie dans un rapport simple avec les dimensions des petits carrés, de manière à pouvoir placer de suite le point dont on donne les coordonnées et à lire immédiatement les coordonnées d'un point du dessin.

La représentation graphique, si l'on veut en tirer parti pour le calcul approché des racines, devra être faite avec grand soin dans le voisinage de ces racines, et il conviendra, dans certaines régions, de déterminer un bon nombre de points de la courbe qui représente la fonction. Il est naturel de prendre, pour abscisses de ces points, des nombres en progression arithmétique, des nombres entiers consécutifs, des nombres entiers de dixièmes, etc. Lors même qu'on ne fait pas de représentation graphique, ces calculs n'en sont pas moins utiles pour séparer les racines (*), et pour rétrécir chacun des inter-

(' ) Ils donnent lieu à une théorie intéressanle, celle des diiïérences, que je ne puis développer. Je me borne à quelques définitions et à quelques remarque» immédiates.

Considérons une suite de nombres m, rangés dai»s une colonne verticale (comme les loçariilimes des nombres entiers). Les différences entre les Icrmes consécutifs forment une autre colonne, la colonne des différences premières au; celle-ci engendre de même la colonne des différences secondes A-i/, etc. Chaque colonne se déduit de la précédente par des soustractions. Inversement, connaissant un terme d'une colonne, tous les termes de cette colonne se déduisent de la suivante par des additions.

Supposons que les nombres u de la première colonne soient \e< valeurs d*une l'onction f'yX) pour des valeurs de la variable en progression «arithmétique, . . ., a, a 4- A,

a-t- 2 A, Les différences secondes pourront être regardées comme les différences

premières, pour les mêmes valeurs de la variable, de la fonction/(ar-hA) — /(j?)» etc.... La formule des accroissements linis suffît à faire comprendre eomment les différences premières sont, en général, petites par rapport aux valeurs de la fonction, lorsque U raison h de la progression arithmétique est petite, comment les différences secondes sont petites par rapport aux différences premières, etc.

Si les différences secondes étaient nulles, les différences premières seraient constantes. Le lecteur s'explique comment, dans les Tables numériques qu'il pratique, les différeoces premières sont à peu prés constantes dans des intervalles relativement as^z étendus, et doit comprendre que, dans des tabies plus étendues, il y a lieu d'introduire les différences secondes. Remarquons encore que, si la fonction f{x)

302 CHAPiTRK XV.

valles qui contieiiiient iiae racine et parvenir à des valeurs qu'on puisse regarder comme étant vraiment approchées.

2o5. Méthode d'approximation de Neiwton. — Soit f{jr) = o une équation numérique donnée, soit, en supposant /> <! ç, un interxalle {p^ (]) qui comprenne une racine a de f{x) et une seule.

Je suppose que dans l'intervalle { p, q) la fonction f{x) soit continue, ainsi que ses deux j)remières dérivées y (jr) et f"{x): je suppose enfin que dans l'intervalle (p^ q) la dérivée /(x) ne s'annule pas, en sorte que la racine a est simple (* ) et que, dans l'intervalle (/?. 91. la fonction /{x) varie toujours dans le même sens : ./(/>) et fiq) sont de signes contraires; on a vu, plus haut, comment, en intercalant des nombres entre p et q, et en examinant le signe des résultais de la substitution de ces nombres dans f{x)^ on peut s'approcher autant qu'on veut de a; toutefois, ce procédé, qui permet de resserrer autant qu'on veut l'intervalle ( />, y), est assez long, et, lorsque, en l'appliquant, on est parvenu à une valeur a que l'on juge suffisamment approchée de a, il y a lieu d'employer, pour avoir des valeurs encore plus approchées, un autre procédé plus rapide.

La recherche d'une racine de./*(x) revient à la recherche des poinb d'intersection de l'axe des x avec la courbe qui représente J{x), Dire qu'on connaît une valeur approchée d'une racine revient à dire qu'on connaît les coordonnées a et ./(«), d'un point A de cette courbe, voisin d'un point d'intersection avec l'axe des x. La courbe aux environs de A se confond presque avec sa tangente, dont Téquation est

est un polynôme de degré n^ la fonction /(ar -1- /*) — f{x) sera un polynôme du degré n — 1. la différence suivante sera du degré n — 2, . . ., les différences /!'*■•* seront rigoureusement constantes; d'où un moyen évident de calculer par de simples aiiditions les valeurs que prend un polynôme pour une suite de valeurs de la variable eo progression arithmétique; de là aussi, lorsque Ton a constaté que les différences/}'*''** d'une fonction peuvent, à une certaine approximation, être regardées comme constantes, dans un certain intervalle, le moyen de construire un polynôme du /)'*"' degrr qui, dans cet intervalle, représente approximutiveinent la fonction.

(') La méthode que je vais exposer s'appliquerait si a était une racine mullif^lf ( n« 249) et si f'{x) ne s'annulait pas dans Tintervalle {p^ q) pour d'autres valeurs de X que a. Toulefoi>, certains points de l'exposition devraient alors être modiliés. Je laisse ce cas de côté.

APPLICATIONS A l'ÉTUDK d'UXE FONCTION, ETC. 3o3

11 est donc naturel de substituer, au point d'abscisse a où la courbe coupe l*axe des x^ le point d'abscisse

ai = rt —

fia)

où cet axe est renconlré par la tangente en A; a\ sera, en général, une valeur plus approchée que a ; les nombres

ai= «1

«3= rtj —

approcheront de plus en plus, et très rapidement, de la racine a, sous certaines conditions qui seront précisées tout à T heure.

Il convient d'observer que, en vertu des hypothèses, la quantité f'(a) est certainement diflerente de zéro en sorte que l'expression lie a, a un sens; les quantités /' («i ), /'(«a)^ • • • seront aussi différenles de zéro, si «i, ^2, ... appartiennent à l'intervalle (/?, q). Au cas où l'un des nombres «i, «a? • • • tomberait en dehors de cet intervalle, on serait prévenu, par là même, que la méthode ne s'applique pas et que l'on est parti d'une valeur a insuffisamment approchée.

Fig. 82.

On a figuré ci-dessus une courbe rencontrant l'axe des a? en a et le point A, d'abscisse a; la tangente en A rencontre l'axe au point A', d'abscisse a« ; la tangente au point A|, de même abscisse a^, rencontre l'axe au point A^ d'abscisse «2, etc. On voit assez, sur la figure, comment les points A', A',, A'^, ... s'approchent du point d'intersection de l'axe et de la courbe.

304 CIIAPITBE XV.

Les mêmes résultats apparaissent analytiquemenl ; soit a-^h — i la racine exacte; on peiil érrire, en désignant par 6 un nombre compris entre zéro et i ,

I^a méthode de Newton consiste à supprimer dans le dernier membre le terme en h^, parce que, // élant supposé très petil, A- est beaucoup plus petit ; on obtient alors l'équation /{a) -h /i f'{a ) = o.

d'où l'on tire /* = — -. -; c'est le même résultat que tout à l'heure.

Ce procédé nous fournit une évaluation de l'erreur commise eo prenant a, pour a. On a, en ellet, exactement,

. fia) .r(g-^o/o.

l'erreur commisr en remplaçant a par a\ est

A la vérité on ne connaît pas le nombre 6; mais, si h est In's petit, f"{ct H- 6 A) sera voisin de f'{a) et il sera, d'ordinaire, aisé à^

trouver un nombre positif M auquel la valeur absolue de — - — j^

sera notoirement inférieure, et même tel que Ton ait

'if'(y)

lorsque x et y restent dans l'intervalle (/>, q) que je suppose siifii-

samment petit. On pourra, par exemple, obtenir ce nombre nomm

p le rapport ^ de deux nombres dont le premier P est une valeur jr^»'^-

sièrement approchée, par excès, de \/"{x)\, quand x appartient ^ Tintervalle ()y, çr), dont le second Q est, de même, une valeur gr^'v sièrement approchée de \^f'{x)\^ par défaut. Si, dans rinler^all^ {Pi y)î /'{^) ^^ /"{^') ^ont toujours en croissant ou toujours en décroissant, on pourra prendre pour P le plus grand des nonibn*^ \/"{\)\, 1/"(B)|, pour Q le plus petit des nombres |2/\^' l2/(B)|.

APPLICATIONS A l'ÉTUDK D*UNK FONCTION, ETC. 3o5

Ceci posé, l'erreur commise en substituant a^ k a sera moindre, en valeur absolue, que Mh'^ ; à la vérité, on ne connait pas A, mais si Ton sait que h doit être inférieur, en valeur absolue, à un nombre positif Tj, on sera assuré que Terreur est moindre que My^^. Or on peut prendre ri = {/ — a ou a — p suivant que la racine a est comprise entre a etq tm entre p et «, ce que Ton sait reconnaître par le signe des quantités /(p)'> /{^)^ /{y)' ^^^ arrive ainsi à une conclusion certaine. Si par exemple Tj est égal à io~", l'erreur sera moindre que M io"'''";.d'où la règle pratique suivante, qui peut se trouver en défaut quand M est grand : A^ant calculé une valeur approchée a de a avec n décimales, on calculera ai avec 2/1 décimales, a 2 avec ^n décimales, etc. Sans doute, les résultats ainsi obtenus ne sont nullement certains; mais si, dans les calculs successifs, les décimales antérieurement calculées ne >ont pas modifiées, on est par cela même rassuré, au moins dans une certaine mesure, sur leur exactitude; au reste, si l'on procède de cette façon, on devra s'assurer de la valeur du résultat auquel on s'arrête, en le substituant dans /(^), en constatant l'ordre de petitesse du résultat et son signe : si le nombre que l'on essaie a donné un résultât d'un certain signe et si ce même nombre, augmenté ou diminué d'une unité du dernier ordre décimal, donne un résultat de signe contraire, on sera certain que l'erreur est moindre qu'une unité de ce dernier ordre décimal. Un autre procédé consiste à regarder A comme

étant égal à sa valeur approchée — jr — :? à évaluer grossièrement

l'ordre de petitesse de MA-*, et à ne conserver dans l'évaluation de a, que des chiffres qui soient ainsi à peu près assurés; la vérification qu'on a expliquée tout à l'heure conduira à la certitude.

J'ajoute les remarques suivantes : on se trouve dans des circonstances d'autant plus favorables que M est plus petit. M peut être assez petit pour que la méthode de Newton s'applique lors même que A est plus grand que i en valeur absolue, auquel cas A^ étant plus grand que //, on n'est pas, tout d'abord, tenté de l'appliquer. Cette circonstance peut en particulier se présenter quand /(a) est un polynôme qui comporte de grands coefficients, auquel cas [/'(«) | peut être grand relativement à |/(a)|.

Par contre, les circonstances seront mauvaises si f'{x) reste très petit dans l'intervalle considéré, c'est ce qui arrivera s'il y a une racine de f'{jc) voisine de a ; cette dernière circonstance se présentera, T. - II. ao

3o6 CHAPITRE XV.

en vertu du théorème de RoUe, s'il y a une racine de f{x) qui soil elle-même voisine de a : on peut alors être obligé de beaucoup resserrer l'intervalle (/>, y), ou d'employer une précaution qui sera indiquée tout à l'heure.

La méthode de Newton est d'autant plus avantageuse que A est plus petit, comme le montre la limite MA* de l'erreur : il y aura donc avantage, en général, lorsqu'on possède deux valeurs a et 6 qui comprennent la racine a, de choisir, pour appliquer la méthode, celle que l'on juge être la plus approchée, c'est-à-dire celle pour laquelle /(j) a la plus petite valeur absolue.

On a fait remarquer au n° â50 que l'équation j->— nvox + i = o avait une racine positive très petite x, une racine voisine de lo, une racine voisine de — lo. Calculons la première; on a ici

/(x) = x^ — looar-hi, /'(ar) = 3x«— loo, -/'(x) = ^x.

La racine positive étant très petite, son cube est à peu prés négligeable; elle doit donc être à peu près égale à 0,0 1 ; c'est là d'ailleurs une première application de la méthode: si l'on prend a = 0,01, on aura

/(a) = 10-*, /'(«) = — ioo-ho,ooo3, -/•(«) = o,oi;

/(x) étant positif et décroissant pour j^ = a, on voit de suite que la racine « doit être un peu plus grande que 0,01 et qu'elle est plus petite que 0,0a; on peut prendre ici p = a == 0,01 et 9 = 0,02; dans l'intervalle (p,q),/'i^^

reste très voisin de — -luo, -f'(x) reste inférieur à 0,06; on peut prendre M = io-«; les circonstances sont très favorables, parce que M est petit : l'application de la méthode de Newton donne pour valeur aporochce

100 — o,oo3 '^ ^^

de A; on aurait, en adoptant cette valeur,

io»(ioo — o,oo3)« ^ '

il est assez clair qu'une seule application de la méthode fournira une valeur très approchée de a. On a d'ailleurs

ioo-o,oo3= , J3.io-^='^"'('"^^''^"'-^9''^^''^--)-

APPLICATIONS A L* ÉTUDE d'LNE PONCTION, ETC. 3oy

On peut prévoir que

lo-'-H io-» = 0,01000001

constitue une valeur très approchée de a. Le lecteur n'aura pas de peine à trouver des valeurs aussi approchées des autres racines.

Les règles qu'on vient de donner et qui suffisent d'ordinaire dans la pratique comportent des exceptions ; elles ne permettent pas d'assurer que ai, calculé comme on l'a expliqué, soit plus approché de a que a. H y a intérêt à avoir une méthode tout à fait régulière et qui permette d'approcher sûrement de la racine a, avec ime approximation indéfinie.

Je suppose que les nombres «, b appartenant à l'intervalle (/?, q) comprennent entre eux la racine a; les conditions énoncées plus haut pour l'intervalle (/>, q) sont évidemment réalisées pour l'intervalle (0, b); je suppose en outre que, dans cet intervalle, la dérivée f{x) ne change pas de signe : des trois nombres

fia) fia) fin^^h)

fia) f {a) '^fia)

le dernier est la racine cherchée; le second sera une valeur plus approchée que le premier si les trois nombres sont rangés par ordre de grandeur (croissante ou décroissante), c'est-à-dire si les deux

nombres

fia) /'(a-^^h)

fia)' 2fia) '

ou les nombres /(a), f"{a -\-^h), sont de mêmes signes, ou encore, puisque a -h ^h appartient à l'intervalle (a, é), si f(ci) et f\a) sont de même signe. Observons que si /{a) ei/'^{a) ne se trouvent pas être de mêmes signes, f{b) et f"{b) seront de mêmes signes, puisque /(a) et f{b) sont de signes contraires.

On choisira donc pour appliquer la méthode de Newton celui des deux nombres a et b pour lesquels f{x) et f"{x) sont de mêmes signes.

Cette règle est due à Fourier. Elle peut être en contradiction avec celle qu'on a donnée plus haut; elle a l'avantage de donner un résultat certain.

3o8 CHAPITRE XV.

Supposons que la règle de Fourier s'applique au nombre a; elle s'appliquera à tous les nombres compris entre a et a, puisque pour tous ces nombres, /{x ) garde le même signe, comme f^{x)\ elle s'appliquera donc aux nombres «i, a^^, ...; chacun d'eux sera sûrement compris entre le précédent et a.

Il est aisé de déduire de là que la suite illimitée a, ai, a^. . . ., fournie par l'application successive de la méthode de Newion, a pour limite a.

En effet, si, pour fixer le langage, on suppose a < x, les nombres a\. af, . . ., Uny ' ' . vont en croissant, ils restent inférieurs à 2; ils tendent donc. quand n augmente indéfîniment, vers une limite ^ inférieure ou égale à a. Il en résulte que, dans les mêmes conditions, la différence

et, par suite, le numérateur /(«/») du second membre tendent vers la limite 0: d'autre part, puisque /(j-) est une fonction continue, /(a„) tend, quand n croît indéfiniment, vers la limite /(P). On a donc /(P) = o et, par suite.

Le sens géométrique de l'addition apportée par Fourier à la méthode de Newton est aisé à reconnaître.

Dire que f"{x) ne change pas de signe entre a et 6, c'est dire que le sens de la convexité de la courbe entre les points A, B dont les abscisses sont respectivement a et é, ne change pas sur l'arc AB; on choisira, pour appliquer la méthode de Newton, celui des deux poinl> qui est tel que la tangente à la courbe soit comprise entre l'arc de courbe et la parallèle à l'axe des y qui va vers l'axe des x\ sur la figure, où la concavité est tournée vers le bas [/"(^) < o], où la tangente est au-dessus de la courbe, c'est le point A [/(a) -< o] qu'il faut choisir, de manière que la droite AA' soit au-dessus de la tangente. I^'examen des différents cas de figure, qui est aisé, conduit toujours à la règle de Fourier.

Il ne faut pas s'exagérer la portée de cette règle : la figure 83 montre, et il est aisé de voir analytiquement, que si l'on choisissait le point B au lieu du point A, la tangeate en B couperait l'axe des x en un point B'^ , qui serait, par rapport au point a où la courbe coupe Taxe, du même coté que A'; il en résulterait que l'abscisse b^ du point B, serait du coté qu'indique la règle de Fourier. La seconde application

APPLICATIONS A L'rTUDE d'L'NB PONCTION, ETC. Bog

sera donc, d'elle-même, conforme à cette règle. Ce dernier raisonnement tomberait en défaut si B, n'était pas compris entre V et B'; mais, de cela, on sera immédiatement prévenu par le calcul même; on abandonnerait alors la valeur approchée b.

Od a vu au n*" 252 que l'équation

Ht:

COlX -\- X = o

avait une racine comprise entre 0,139— et o,i^ -• Gela revient à dire que l'équation

TZX TZT 3t

ofa:) = cot 1 =0

a une racine comprise entre i3,9 et 1 î : on a

cp(ri,9) >o, 9(i4)<o,

et, d'un autre côté,

^'ix) = 1 = cot» ,

• ^ ' 20» . . T^x aoo 200 200

sin»

TZX

cos

sin*

pour X compris entre o et 100, f'(.r) est positif; c'est donc de la valeur a = i3,9 qu'il convient de partir si Ton veut appliquer la règle de Fourier; on ne doit pas compter sur une grande approximation en appliquant une première fois la méthode de Newton, on pourra se servir de tables à quatre décimales. On trouve ainsi

cot -^-^^— =4,5070, ç(i3,9J = o,oi3o,

ç'(i3,9) = cot* — ^^— = — 0,3192, •/ .3 ^' = 0,0^07.

Ce qui donnerait ai = 13,9407; il n'y a aucune raison pour conserver les quatre chiffres décimaux; si l'on veut en garder trois, on peut hésiter entre les valeurs i3,94o et i3,94i)et la rè;:le qui consiste à forcer le dernier chiffre décimal quand le premier chiffre négligé dépasse 4 conduirait à choisir la seconde; mais, si l'on veut être certain de rester du même côté de la

3lO CHAPITRE \V.

racine, afin d'appliquer la règle de Pourier, on est amené à choisir le premier, qui est sûrement approché par défaut. On devra, pour continuer les calculs, se servir d*une table à cinq décimales (au moins): on trouve ainsi, en supposant ai = 13,9^0,

cot^ = 4,4936; on a d'ailleurs, au même ordre d'approximation,

-^ =o,ai90, -^ = i, 71-^.4, o(rti) = 0,0002.

L'incertitude relative au dernier chiffre ne permet guère de continuer à appliquer la méthode de Newton, et le calcul précédent ne constitue qu'uoe vérification qui montre, parla petitesse du résultat obtenu, que la valeur i3.94o est très près de la racine. Si Ton fait les calculs analogues en conservant le même nombre de chiffres décimaux, pour 01 = 13,941, on trouve îp(ai) = o. De ce résultat, pris en lui-même, on ne peut pas conclure que i3,94i est une valeur approchée par défaut ou par excès; que cette valeur soit effectivement approchée par excès, c'est ce qu'il est aisé de reconnaître, en se servant de tables plus étendues.

La racine correspondante de l'équation tangj? — a? = o est comprise entre

et

En prenant 07 = 4) 4934» on a donc la racine cherchée avec quatre décimales exactes.

L'application de la méthode de Newton donne lieu aux observations suivantes.

Quand on veut calculer a — ^t\^ ^^ ^^ P^"^ P*s> ^^ pl"s souvent, calculer exactement /(a) et / (a); il est d'ailleurs inutile de calculer ces quantités avec plus de chiffres qu'il n'est nécessaire pour l'approximation à laquelle on veut se tenir. L'erreur qui résulte, pour le quotient, des erreurs s, e' commises sur /(«), y*'(a) est donnée parla formule

6 t' fia),

fia)-^f f{a)-^t' /'{a)'

en j;énéral, yn — est très petit, en sorte que c'est le premier terme de

APPLICATIONS A L ÉTUDE d'lNE FONCTION, ETC. 3 II

la formule qui importe le plus. Il suffira d'avoir une valeur grossièremenl approchée, par défaut, de \/\a)\ pour se rendre compte de l'ordre de grandeur de Terreur s que l'on peut se permettre dans Tévaluaiion de /(«), puis de l'erreur t' que l'on peut se permettre dans l'évaluation de f'{a) de manière que la somme des valeurs absolues des deux termes de la formule précédente soit notablement inférieure à l'erreur que l'on veut se permettre sur le quotient.

En appliquant la méthode de Newton, on se trouve avoir à calculer f{x) et f'{x) pour plusieurs valeurs de a; voisines de a; il peut être commode de se servir pour cela des formules

en négligeant les termes, aux seconds membres, qui n'ont pas d'inlluence sur le résultat : le calcul, une fois fait, de /(«j, /'(«), /'(«), . .. servira ainsi pour plusieurs essais.

!2o6. La méthode de Newton consiste au fond, quand on a une valeur approchée a d'une racine a d'une équation, à prendre pour inconnue A = a — a, à former l'équation en A, et à lui substituer une

équation du premier degré, en supprimant les termes en A^, A*,

La même méthode s'applique à des systèmes d'équations à plusieurs inconnues, lorsqu'on a une solution approchée : c'est ce que j'expliquerai en me bornant au cas d'un système de deux équations à deux inconnues o(x,y) = o, '\{oc^y) = o, dont je suppose qu'on connaisse une solution approchée rt, é ; on posera x = a -h h, y = b -\- ky et Ton sera ramené à la résolution des deux équations

-+- k'^'y{a -h ÔA, 6 H- eA- ), u = <^( a -H /i, 6 -h Ar) = ;

^^(a -4- OA, ^-l-SA-), !p'j.(a-+-6A, h -h 9Ar) désignent ce que deviennent les dérivées partielles (p'^, -J^^ quand on y remplace x^ y par a + 6A, b-i-Hk] on remplace, dans ces équations, 'f^(a + 6A, 6 -h SA"), ... par ^j.(ci, 0)^ ..., ce qui revient à supprimer dans les équations

en A, k les termes en h^^ hk^ A-^, A^, ... (*), et Ton parvient aux équations du premier degré en A, A,

Aîpi(a, b) -\- A:cp^(a, b) -+• cp(a, b) = o, h^'j,{a, b) -h AfyU, b)-\- 4^(a, 6) == o,

qui fourniront, en général, des valeurs approchées pour A, k. On aura soin de vérifier les résultats ainsi obtenus en les substiluanl dans <p(:r, /), ^(^,^r), de façon à s'assurer de la valeur du résultat obtenu.

Sur ces équations, je me bornerai à remarquer que leur déterminant est la valeur pour x = a, y = é, de l'expression

?'.Vy-'?'rV- =

f'y Vy

à laquelle on donne le nom de déterminant fonctionnel des fonctions <f, A. Lorsque ce déterminant est nul pour x = a, y = b, il n'y a rien à tirer des équations en A, A', pas plus que de la méthode de Newton quand la dérivée est nulle pour x = a. Lorsque la valeur du déterminant pour x = a, y = b se trouve très petite, il y a lieu de se défier beaucoup des résultats que donnerait la méthode que je viens d'indiquer.

257. Méthode d'interpolation. — Revenons aux équations à une inconnue. Supposons que l'on ail séparé une racine a d'une telle équation y(j7) = o et qu'on en ait deux valeurs approchées a, b. l'une par défaut, l'autre par excès. Une méthode tout aussi naturelle que celle de Newton pour approcher de la racine a conàisle à substituer à la courbe qui représente la fonction f{x)^ non plu» la tangente en l'un des points \, B dont les abscisses sont a et h, mais bien la corde AB, dont Téquation est

(*) Le lecteur, pour s'en convaincre, n'a qu'à penser au cas où ©(x, .>) Cî^l un polynôme en x, y.

APPLICATIONS A l'ÉTUDE D UNE PONCTION, ETC.

celle-ci coupe l'axe des x au point dont l'abscisse est

Ab)-f(a)

on prendra a' pour valeur approchée de a.

Il suffît de jeter les yeux sur la figure 83 pour reconnaître que, lorsque la convexité de la courbe ne change pas de sens sur l'arc AB,

Fig. 83.

la méthode précédente, dite méthoHe d'interpolation, donne un résultat approché dans l'autre sens que la méthode de Newton, appliquée suivant la règle de Fourier. L'emploi des deux méthodes fournira donc non seulement une vérification, mais un renseignement sur l'ordre de l'approximation.

Il convient de remarquer que les approximations obtenues par les deux méthodes sont du même ordre de grandeur; en effet, la précédente valeur de a\ obtenue par la méthode d'interpolation, peut sécrire, à cause de la formule des accroissements finis,

en désignant par ^ un nombre compris entre a et 6; on voit assez que cette valeur doit être très voisine de

3l4 CHAPITRE \V.

pourvu que /'(x) ne soit pas petit pour les valeurs de x comprises entre a et 6 ( ').

Considérons par exemple Téquation

l'iix* — 3i5a7*-i-io5j7 — 5 = 0;

en substituant dans le premier membre les nombres o, o, 1 , 0.2, . . ., 0,9, I , on trouve qu'il y a une racine entre o et o, i , une autre racine entre o,4 et o,5, une autre enfin entre 0,8 et 0,9. Occupons-nous de la seconde ; on a

I^a règle précédente donnera pour la valeur approchée

Il est clair qu'il n'y a pas lieu de chercher à évaluer le second terme du second membre avec une grande approximation; on trouve

pour les premiers chiflfres 0,03-; On pourra prendre, pour a\

0,43 ou 0,44 • On trouve d'ailleurs

/(o,43) = o,'2;afii7, /(o,44) = — o,io649<>i

et l'on est par conséquent conduit à la seconde valeur approchée

Prenons «^'=0,4372; il restera, si même on ne veut pas pousser l'approximation plus loin, à essayer cette valeur et à se rendre compte du degré d'approximation qu'elle comporte. Jusqu'ici on a calculé exactement les résultats de substitution, et l'on a pu observer, à chaque fois, que ces résultats comportaient notablement plus

( ' ) L'expression a — ' est l'ubscisse du point où Taxe des j? est reocoDtré|Mr

\h parallèle menée par le point A à la tangente à la courbe au point d'abscisse ^; on peut remarquer, à ce propos, que, dans le cas où /'( j?) ne s'annule pas dans Vin-

tervalle (a, 6), la racine a est comprise entre a — ~ — - et a — •{, »

APPLICATIONS A l'ÉTUDë u'UNK FONCTION, ETC. 3l5

(le chUfres qu'il n'était utile pour l'approximation suivante. Les calculs exacts seraient maintenant assez fastidieux.

Convenons de ne conserver que sept décimales. Pour substituer 0,4372 dans y(^), on appliquera la règle du n" 54, on multipliera 0.4372 par 23 1, ce qui donne 100,9932; on retranchera 3i5, ce qui donne — 214,0068; on multipliera par 0,4372; en ne conservant que les sept décimales et en ajoutant io5, ce qui ne change pas l'erreur, on trouve 1 1, {362270, avec une erreur moindre que - io~^ ; en multipliant par 0,4372, ne conservant encore que sept décimales, et ajoutant — 5, on trouve — 0,0000810 avec une erreur moindre <[ue io~' ; le résultat de la substitution est négatif, le nombre 0,4372 est approché par excès.

On pourra essayer de même le nombre 0,437 1 et constater qu'il est approché par défaut; il est d'ailleurs aisé de s'en rendre compte avec des calculs insignifiants ; dans l'intervalle de 0,4 à o,5, la dérivée /'(j:) < st à peu près égale à ^ — Lii IlZ^iii j elle est négative et reste manifestement plus grande que 3o, en valeur absolue; on a d'ailleurs

en désignant par \ un nombre compris entre 0,4371 et 0,4372 : or, comme on a évidemment

il est clair que /*(o,437i) est positif; la racine cherchée est donc connue avec quatre décimales exactes.

EXERCICES

â63. Construire les courbes qui représentent les fonctions

, - swkx . -. sinjr

JT^, X\%X~ \, -C^ —^y (l-hX)*, — -1

xe^\ a7*e'"', a?**', tf*V^-i-4.

3l6 CHAPITRE XV.

Reconnaître le nombre de racines de Tëquation obtenue en égalant Tune quelconque de ces fonctions à une constante donnée. Forme des courbes qui représentent les fonctions