La série (a) Wi-Ha,-r

à termes réels ou imaginaires, sera convergente ou non si la somme de ses n premiers termes a, ou non, une limite quand n grandit indéfmimenl. Cette limite, si elle existe, est la somme U de la série. Si Ton pose en général «^ = a„-\- bn i\ la somme des n premiers termes de la série (u) est un nombre imaginaire dans lequel la partie réelle est la somme des n premiers termes de la série

(a) ai-t-aj-H. . .-+-a„-h. . .,

et dans lequel le coefficient de i est la somme des n premiers termes de la série

dire que la série (u) est convergente, c'est donc dire que les deux séries (a), (b) sont convergentes; réciproquement, si les deux séries (a), (6) sont convergentes et ont pour sommes respectives les nombres A, B, la série (n) sera convergente et sa somme U sera égale à A -f- /B. Si l'une des séries (a), (b) est divergente, la série (u) est divergente.

Le reste d'une série convergente se définit comme pour les nombres réels.

On dit que la série (u) est absolument convergente, si la série à termes positifs,

<u') tt'j H- a'j-f....H-tt;'4-...,

formée avec les valeurs absolues de ses termes, est convergente.

On est certain que, dans ce cas, la série (u) est convergente ; on a, en effet,

en sorte que les séries (a), (6) sont convergentes (elles le sont même absolument) : la série (u) est donc convergente. Le reste de cette série limitée au terme Un est, en valeur absolue, inférieur ou égal au reste correspondant de la série (//'), comme on le voit de suite, en faisant augmenter^ indéfiniment dans l'inégalité (* )

(*) L'égalité ne peut avoir lieu que si tous les nombres m^^,, a^^„ sont réels et positifs.

La somme d*une série absolument convergente ne dépend pas de l'ordre de ses termes : en effet, les deux séries (a), (b) étant absolument convergentes, leurs sommes ne dépendent pas de cet ordre

Par exemple, la série

où X est un nombre réel ou imaginaire donné, est absolument convergente; en effet, si x' est la valeur absolue de x, x'" est la valeur absolue de x" et la série formée par les valeurs absolues des termes

est

Le reste de la série proposée, quand on la limite au fV^^^ terme, est moindre, en valeur absolue, que