l rt-f-I — X
en désignant par x' la valeur absolue de x^ supposée moindre que n ~ i.
Considérons encore la série
où m et J7 sont deux nombres donnés quelconques; désignons par m! et jc' les valeurs absolues de a? et comparons la série précédente à la série, à termes positifs,
rn , m'(m'-+-i) ,^ m'(m'-4- i)...(/?i'h- /i — i) ,
dont nous savons qu'elle est convergente si x' est plus petit que i.
f^es termes de la série proposée sont manifestement moindres, en
valeur absolue, que les termes de cette dernière : la série proposée est
donc absolument convergente quels que soient les nombres x et m, pourvu que le premier soit moindre que i , en valeur absolue.
11 est à peine utile de dire que les critères du n" 181 s'emploient pour reconnaître si une série
(a) «i-h Mj-f-, . .-*- ««-h. . .
est absolument convergente ou non : on étudiera comment se comportent, quand n augmente indéfiniment, les expressions s/û^'i "T^ *
en désignant, en général, par u'^ la valeur absolue de //„; si Ton est amené à conclure la convergence de la série, à termes positifs,
on sera assuré de la convergence absolue de la série (m).
Remarquons, en particulier, que si le rapport -^^tend, lorsque n
augmente indéfiniment, vers une limite /, le rapport — ^ tendra, dans
les mêmes conditions, vers la limite /'= | / 1 ; en sorte que, si /' est plus petit que i, la série est absolument convergente. Par exemple, pour la série
dont on vient de s'occuper, au lieu de raisonner comme on a fait, on aurait pu prendre le rapport du (/i H- !)'«•"« terme au /i**"*, qui est
constater que ce rapport tend vers la limite — x quand n augmente indéfiniment, et en conclure que la série est absolument convergente lorsque le nombre x est, en valeur absolue, plus petit que i .
Cette série, quand m est un nombre naturel, se réduit évidemment à ses m-hi premiers termes, les suivants étant tous nuls; elle n^esi autre chose alors que le développement limité de (i -f- x)"*; on verra plus tard que sa somme est encore (i H-x)'", quel que soit le nombre /?^, lorsque la valeur absolue de x est plus petite que i .
Une série peut d'ailleurs être convergente sans l'être absolument:
on va trouver des exemples de telles séries en étudiant les séries alternées.
187. Séries alternées. — On appelle série alternée une série dans laquelle les termes sont alternativement positifs et négatifs; telle serait la série
u, — «î-i- Mj— M^-H. ..-h(— i)'*-*Wn-^. -M
en supposant tous les nombres Us^ u^, ..., Un^ ... positifs.
Une telle série est convergente sous les conditions suivantes, dont la dernière d'ailleurs est seule nécessaire :
On a
lim Un= o.
Supposons, en effet, que ces conditions soient vérifiées, et considérons la somme s-nt des 2/2 premiers termes de la série; elle peut s'écrire sous les deux formes
(Ml— M, )-+-(//,— Wi )-+-... 4-(M,„i—ttj„), a,— (m,— Mj) — (liv— 1*5) — . . . — ('/i«-J— M„|i)— W,„,
où les quantités entre parenthèses sont positives ou nulles. La première montre clairement que l'on a
Sin=0
et
la seconde montre que l'on a 52«<; m«. Les sommes 82» vont en augmentant quand n augmente, elles restent inférieures à Ui] elles tendent, quand n augmente indéfiniment, vers une limite positive ou nulle S, inférieure ou égale à u^ ; d'ailleurs l'égalité
OÙ «2//+! tend vers o quand n augmente indéfiniment, montre que, dans ces mêmes conditions, 52//+i tend vers la limite S; en résumé, 5« tend vers S quand m croît indéfiniment; la série proposée est convergente, a pour somme S, et l'on a o ^^1 Wi ; la supposition 5 = 0 T. — II. 3
doit être rejetée, si l'on écarte le cas insignifiant où l'on aurait
Le reste de la série, si on la limite au terme ( — i)'^~* «„, peut se représenter par ( — i)"r„, en désignant par /•;, la somme de la série alternée
qui satisfait évidemment aux mêmes conditions que la proposée; r^ est positif, si l'on écarte le cas insignifiant où l'on aurait
W/iH-i = Un-^t, Wrt-Kj = U/,+3, ....
Il est inférieur ou égal à u,,^^ . L'égalité
montre que 5„ est une valeur approchée de S par défaut ou par excès, suivant que le dernier terme conservé est négatif ou positif* que le premier terme négligé est positif ou négatif.
L'erreur commise en prenant s„ au lieu de S est moindre, en valeur absolue, que le premier terme négligé; elle est du même signe que lui. S est plus grand que n'importe quelle somme s„ d'indice pair, plus petit que n'importe quelle somme s„ d'indice impair. Les sommes d'indice impair sont donc plus grandes que les sommes d'indice pair; c'est ce qu'il est aisé de reconnaître directement; elles vont en diminuant quand l'indice va en augmentant; c'est ce qui résulte de la formule
La série alternée
est convergente sans l'être absolument, puisque la série
est divergente. Elle est d'ailleurs très peu convergente.
La série
où X est un nombre positif donné, est une série alternée dont on sait, autremeoi que par les règles précédentes, qu'elle converge absolument. Elle ne satisfait d'ailleurs complètement aux conditions du présent numéro, que si x est plus petit que i. Si ^7 est plus grand que i, les valeurs absolues des premiers termes ne vont pas en décroissant; ils décroissent certainement dès que n est plus grand que x ; à partir de ce moment, les conditions sont vérifiées ; elles le sont, en particulier, pour le reste, dont le premier terme négligé fournit une limite supérieure de l'erreur commise, tandis que le signe de ce premier terme fournit le sens de Terreur.
Si l'on suppose, par exemple, x = lo, les premiers termes de la série sont assez grands; pour trouver un terme plus petit que i (^), il faut aller jusqu'à /i = 25; la somme des vingt-cinq premiers termes de la série fournira une valeur approchée, par défaut, de la somme de la série avec une erreur moindre que I. Le calcul sera assez pénible. Pour les petites valeurs de a?, au contraire, on pourra calculer trè^ aisément la somme de la série, avec une grande approximation.
188. Séries à termes imaginaires. — On peut considérer des suites et des séries à termes imaginaires.
Considérons d'abord une suite de nombres réels ou imaginaires tti, Ma? • • -9 W/î? • • • 5 et supposons, en général, que l'on ait
an et b,i étant des nombres réels.
On dira que a„ tend vers la limite a+ e^, où a et ^ sont deux
nombres réels fixes, si la valeur absolue de la différence u„ — (a-hfp)
tend vers o quand n augmente indéfiniment, si, en d'autres termes,
quelque petit que soit le nombre positif s, cette valeur absolue est
moindre que e, à partir d'une valeur de n suffisamment grande. On
écrit alors
lim Urt = a-^ t'P
OU
lim (m« — a — «P) = o.
{ ' ) Voir dans le Recueil de formules et de tables numériques de HoUel ( Paris, Oauthier-Villars), la table des logarithmes des produits i .2. ..n jusqu'à 100.
En se reporlant à la représentation géométrique des imaginaires, en figurant le point a -|- i^, de coordonnées a et 3, et le cercle décrit de ce point comme centre avec le rayon e, on voit que tous les points //„, à partir d'une certaine valeur de /?, devront être situés à l'intérieur de ce cercle. Quelque petit que soit e, cela devra arriver à partir d'une certaine valeur de /i, qui, naturellement, change avec s. On dit, aussi, dans ces conditions, que le point u^ a pour limite le point a -)- '^f quand n augmente indéfiniment.
Chacune des différences a„ — a, 6„ — ^ est, en valeur absolue, au plus égale à la valeur absolue de «;,-!- 6«/ — a — ^i\ si donc on a
lira M„ = a -h p«,
on aura
lim a/i= a, lim 6„= ^.
Réciproquement, ces deux égalités entraînent
lim M/, = a H- pi ;
il est bien clair, en effet, que, si elles sont vérifiées, le point de coordonnées a^, 6« finit, pourvu que n soit assez grand, par être et rester aussi voisin qu'on le veut du point de coordonnées a, ^. Au reste, on a
et les suppositions limart = a, lim6„=,3, exigent que les nombres
/tr= «0 n -- ao
\an — a| et | 6,^ — ^j puissent devenir et rester plus petits que -,
pourvu que n soit assez grand ; dans ces conditions, le premier membre sera plus petit que s.
On voit donc que la recherche de la limite d'une suite à termes imaginaires revient à rechercher des limites de deux suites à teruies réels.
11 est clair que, si Ton a lim w„= a -+- ^/, on aura
lim \Un\ = |a-»- ^pi\ = ^%*'^ [i«.
