MT=-H^, MN
sinz cosoe
'.Wi. Soit M un point de la courbe de coordonnées polaires p, ia; p est une fonction de o> qui définit la courbe; p' désignera sa dérivée.
Fig. 92.
Soient OA, OB les directions définies par les angles o), (u + -(n"302).
Soient MX, MN la tangente et la normale limitées à la droite indéfinie qui porte Ja direction 06. On a
MT| = |p^.-.-^
|MN| =/p»-+-p'î.
Les lignes OT, 0^ s'appellent respectivement la sous-tangente et la sousnormale.
344. Rayon de courbure et développée de l'ellipse définie par les équations X = acost^ y = bs'int:
de l'hyperbole définie par les équations
de la parabole définie par Téquation
345. Construire la spirale d'Archimède et la spirale logarithmique définie^ respectivement, en coordonnées polaires, par les équations
p = ao), p = ae"*^,
où a et m désignent des constantes.
La spirale d'Archimède est la seule courbe pour laquelle la sous-normale s<iit constante. L'arc compté à partir du pôle est proportionnel au rayon vecteur.
Si Ton fait tourner la spirale logarithmique d'un angle quelconque autour du pôle, on obtient une courbe homothétique à la proposée, le centre d'homothétie étant le pôle. Le rayon vecteur coupe la courbe sous un angle constant : elle est la seule courbe à jouir de cette propriété. Trouver la longueur de l'arr de la courbe compté à partir du point dont les coordonnées sont co = o, p = a.
346. Le mouvement d'un point M sur une spirale logarithmique étant défini par les formules
a? = ae'"' cos /, ^ = a«"*' sin t,
montrer que l'hodographe des vitesses est semblable à la trajectoire; que If quadrilatère dont les sommets sont le point M, le centre de courbure correspondant, les extrémités de la vitesse et de l'accélération en donnant à ce« vecteurs le point M pour origine, reste semblable à lui-même. Quels sont les lieux décrits par les trois sommets autres que le point M?
347. A chaque point m d'une courbe (C), dont les coordonnées x, y soai exprimées en fonction de l'arc s de cette courbe compté à partir d'une origine fixe, on fait correspondre un point M de coordonnées X, Y par les formoks
X = 37 -f- / cos a, Y=^-h/sina,
où / est une fonction de s; montrer que le vecteur qui a pour origine le point M et dont les projections sur la tangente et la normale ont pour équivalents algébriques
dl l "^ds' ïï
est tangent en M à la courbe décrite par ce point.
Déterminer / en fonction de s de manière que la tangente en m à la courbe i <soit normale à la courbe lieu du point M. Cette dernière courbe est dite alvr? développante de la courbe (C). Montrer comment on peut la coosunire géométriquement.
Quel est son rayon de courbure? Sa développée?
348. Former les équations qui expriment les coordonnées d'un point de la développante d*un cercle en fonction de Tare de cercle. Forme de la courbe. Rectification.
349. On a donné au n° 300 l'expression des coordonnées d'un point d'une tractrice sous la forme
exprimer ces coordonnées : i" en fonction de Tangle a ; a" en fonction de l'arc s, compté à partir du point situé sur Tare des j^.
330. Une courbe définie par l'équation y =/(x) est tangente à l'axe des .r â Torigine des coordonnées. Quelle est, pour ce point, l'ordonnée du centre de courbure? Montrer que ce point est la limite du point d'intersection de la normale en O et d'une normale infiniment voisine. On considère deux points de même abscisse infiniment voisins du point O, pris sur la courbe et le cercle osculateur en O; montrer que la différence de leurs ordonnées est un infiniment petit du troisième ordre, quand on regarde l'abscisse comme rinfiniment petit principal.
35t. Considérons deux courbes (C), (C) : Sur la courbe (G), on compte les arcs dans un sens déterminé, à partir du point A ; de même sur la courbe (C), à partir du point A'; on regarde comme correspondant sur les courbes (G) et (C) deux points M, M' tels que les arcs AiVI, A' M' soient égaux; aux points M, M' les deux directions, sur les tangentes, qui correspondent aux arcs croissants, sont regardées comme correspondantes.
Laissant la courbe (G) fixe, on place la courbe (C) de manière que le point A' coïncide avec le point A et que les deux directions correspondantes des tangentes coïncident; on fait mouvoir la courbe (C) de manière qu'elle soit toujours tangente à la courbe (G) et que le point de contact, considéré comme appartenant à la courbe (G') et le même point considéré comme appartenant à ia courbe (G), se correspondent toujours; c'est ce qu'on appelle faire rouler la courbe (G') sur la courbe (G).
La cycloïde, définie au n"" 300, peut être regardée comme le lieu décrit par un point d'un cercle qui roule sur une droite; la normale à la cycloïde, en ce point, passe par le point de contact du cercle et de la droite; la tangente passe par le point du cercle diamétralement opposé.
La développée de la cycloïde est une cycloïde égale.
352. On appelle épicycloïde la courbe décrite par un point d'un cercle mobile qui roule sur un cercle fixe. Les coordonnées d'un point quelconque de
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cette courbe peuvent être mises sous la forme
a? = (r — r')cos(/o-t- ')-l- r' cos (to-ht -,t\y
y =: {r — r') sin (to-\- i) -h r' s\n (to-h t — -, t\ ;
I r I et I r' I désignent les rayons des cercles fixe et mobile; le premier cercle a son centre à Torigine; les deux cercles sont tangents intérieurement si r et r' sont de mêmes signes, extérieurement dans le cas contraire. Montrer que la courbe définie par les deux équations.
( a? = A cos(Xm H- ^) -h A' cos(X' w H- fi'), ( ^ = B sin ( X a -h |jl) -»- B' sin ( X' tt -h fi' ),
où u est un paramétre variable et où A, B, A', B', X, jx, X', ji' sont des constantes, peut, dans le cas où XA + X'A' est nul, être regardée de deui façons différentes comme une épicycloïde, soit en prenant
/• = A H- A', AV-f-A>^
soit en prenant
Les équations (2) représentent encore une épicycloïde lorsque X A — À'A'est nul.
Pour l'étude ultérieure de la courbe, définie parles équations (i), on pourrt supposer ^o = <>•
La normale à l'épicycloïde engendrée par le point P du cercle mobile pa$>e par le point de contact des deux cercles.
Rectifier la courbe : exprimer les coordonnées d*un point de la courbe eo fonction de l'angle a, de l'arc s.
La développée de l'épicycloïde engendrée par un point P du cercle mobile est homothétique à l'épicycloïde engendrée par le point Q du cercle mobile diamétralement opposé, dans ce cercle, au point P; le centre d'homothétie est
à l'origine, le rapport d'homotbétie est ;, •
353. Soient a:, y les coordonnées d*un point d'une courbe, que l'on suppose exprimées en fonction de l'arc s.
Établir les formules
-^ = A;, cosa — B„ sina,
-j^ = A;, sin a ■+■ B,i cosa,
Off'*
où A,|, B/» désignent des fonctions de s définies par les formules
dkn
en sorte qu'on a
Al = o,
A, = --jJî,
B,— pj,
