R'«— RR'— 1 ^»= R

Si Ton suppose que les coordonnées x^ y soient développables suivant les puissances de 5, on aura en désignant par ^o» ^o, «o, «n* ^n» ''i '*'» ••• le» \aleurs de jr, ^, a, A^, B„, R, R', ... pour * = o,

X = Xq-\- X cosa© H- Y cos ( «qH — U y —y^-^- X sinao+ Y sin (^-\ )>

en posant

X = ai — K fli 1- «3 ■

Ces dernières formules qui peuvent s'écrire explicitement __ 5* r'5' 2r'* — rr' — i ,

peuvent être regardées comme exprimant, en fonction de l'arc s^ les coordonnées d'un point d'une courbe rapportée à des axes rectangulaires, l'origine des coordonnées O coïncidant avec Torigine des arcs sur la courbe et la tangente en ce point étant prise pour axe des X.

Trouver les premiers termes du développement, suivant les puissances de *, de /X«-+- Y*, de tanga, de a,

354. On se donne une courbe et sur cette courbe un point ^\e G; soient M un point de la courbe infiniment voisin du point O, P la projection de M sur la tangente en O, T le point où cette tangente rencontre la normale en M, Kle point où la normale en M rencontre la normale en O, C le centre de courbure relatif au point O, on demande, en regardant l'arc OM comme Tinfiniment petit principal, d'évaluer les parties principales des infiniment petits

OM, PM, OT, TM, GK, arcOM — OM,

OK — MK, OT-f-TM-OM, angle TOM, angle MTP,

angle TMO, angle TOM — angle TMO.

355. Soient /, ^, h trois polynômes homogènes en x, y, z. du même degré. Démontrer que le jacobien de /^ g. h s'annule ainsi que ses dérivées partielles du premier ordre pour tout système de valeurs de x^ y, z qui annulent/, g^ h.

356. Déterminer la constante a de manière que le hessien du polynôme

x^-k- y^-^ z'^ — 3 a xyz

soit divisible par ce polynôme; a étant ainsi déterminé, montrer que le polynôme x^-h y^-&- z^ — Sa xyz se décompose en facteurs linéaires.