INTÉGRALE DÉFINIE

303. On a indiqué au n** 26 la définition de l'aire d'une courbe, et Ton a montré au n" 222 comment on pouvait calculer l'aire d'une courbe comprise entre les deux parallèles à l'axe des^ dont les équations sont x = a^ a? = 6, l'axe des x lui-même et la courbe dont l'équation est r = /(.r), lorsque f{x) est une fonction, continue dans l'intervalle (a, A), dont on connaît une fonction primitive ¥{x) : cette aire est F(b) — F(«)7 en adoptant certaines conventions relatives aux signes, qui ont été précisées au n° 222.

Je vais maintenant montrer comment l'on peut évaluer approximativement une pareille aire, lors même qu'on ne connaît pas de fonction primitive de /(x) ; nous parviendrons ainsi à l'importante notion de V intégrale définie.

Je supposerai d'abord a<ib\ je supposerai en outre, pour éviter toute complication concernant les signes, que dans l'intervalle (a, 6) la fonction y(j:) soit positive. Je supposerai enfin que, dans ce même intervalle, la fonction fi^x^ varie toujours dans le même sens; je raisonnerai dans le cas oii elle est croissante.

Intercalons entre les nombres a, b les nombres croissants ^4, Xj, . . . , Xn s \ en d'autres termes, subdivisons l'intervalle (<if, b) en n intervalles partiels (a, J7|), (^M^a), . . . , (^«-i, 6). Soient A, M,, Mo, ..., Mw.|, B les points de la courbe définie par l'équation >'=y(ic), dont les abscisses sont ai, x^, Jt'29 • • • ■> -^^w-i? b\ dans la figure on a pris /î = 4.

Par chacun des points A, M4, . . . , M;/|, B on a mené, jusqu'à Taxe des x^ les parallèles AA', M,M'j, ..., M,;., M',,,, BB' à l'axe

48o CHAPITRIi: XVIII.

des y et l'on a figuré les rectangles A'AP,M'^, M'.MiPaM',,

M„^M,/|P«B' dont aucun point n'est extérieur au contour i^S»

Fig. 93.

Os

Pw

formé par la droite A' A, l'aie de courbe AB, les droites BB\ B' V, en sorte que le polygone A'AP, M| . . . M,,, P,|B', constitué par la réunion de tous ces rectangles, n'a aucun point extérieur à (S): je désignerai ce polynôme par (9?) et son aire par $. On a figuré aus>i les recUngles A'Q^M.M',, M'^Q.M.M;, ..., M;,Q„BB' dont les sommets Qi, Q2, ..., Q/i sont extérieurs au contour (^S), lequel a tous ses points situés à l'intérieur ou sur le périmètre du polvgone AQ4 M4 Q2 . . . Q//BB', formé par la réunion des rectangles; je désignerai par(^) ce dernier polygone et par ^ son aire. Le polygone (y?) est ce qu'on a appelé au n" 26 un polygone intérieur à «^S 1. le polygone (^) est extérieur à (S).

La différence ^ — ^J? n'est autre chose que la somme des aires de-^ rectangles AQ,M|P,, M, QaMjP,, . . ., M„,Q„BPfl que la courbe traverse diagonalement.

L'aire S limitée par le contour (S) est plus grande que *, plus petite que ^; ^ est une valeur approchée de S par défaut, ^ est une valeur approchée par excès; pour l'un ou l'autre nombre l'erreur esi moindre que ^ — ^\ on prévoit qu'en prenant les nombres x^. ^2, . . . , .r,, suffisamment approchés, cette erreur pourra être rendue aussi petite que l'on voudra : c'est ce qui va d'ailleurs être établi rigoureusement.

Remarquons en passant que cette démonstration même donnera à ]a notion de Faire S une entière clarté. On a expliqué au n" 26 que cette aire devait être définie comme plus grande que l'aire de tout polygone intérieur à (S), comme plus petite que l'aire de tout polygone extérieur à (S), et que cette double inégalité suffisait à définir le nombre S d'une manière précise, pourvu qu'on ail établi qu'il se trouve des polygones extérieurs et des polygones intérieurs dont les aires aient entre elles une différence moindre que tel nombre positif que l'on voudra : or c'est ce qu'on va prouver pour les polygones ($), ( ^) dont on vient de décrire la construction.

En pensant à l'expression des aires des rectangles dont la réunion forme, d'une part, le polygone (tf), d'autre part, le polygone (^), (in voit de suite qu'on a

^ = (xi—a)f{a) -h (a?i— ar,)/(ar, )H-...-h(6 — ar„,)/(ar«,), ^- <f = (a:i- a) [/(or,) -/(a)] -h (a:,- ar, ) [/(:r,>-/(:r, )] -h. . .

Désignons par r\ la plus grande des différences jt, — a, x.^ — d7|, ..., b — J"«.i ; puisque ces différences sont toutes positives, comme aussi

les différences/(x,)— /(a), y(j?2)— /(^i), - -> f{b)— f{xn^i), cm aura évidemment

Or la quantité entre crochets n'est autre chose que f{b) — /(«); en sorte que l'on a

^^^UU{b)^f{a)],

Cette inégalité apparaît d'ailleurs en imaginant que les petits rectangles dont la somme est égale à ^^ — ^ soient empilés les uns audessus des autres de manière que leurs côtés de gauche soient tous sur une parallèle à l'axe des y^ ils seront tous intérieurs au rectangle avant deux côtés (parallèles à l'axe des j^) de longueur f{b) — /(«} et deux côtés (parallèles à l'axe des x) de longueur t^.

Il suffit de prendre les nombres j^i, X2^ . . . , Xn-\ de manière que T. — II. 3i

la plus grande des différences X| — «, x-j — x^^ . . . , h — x„% soil

égale ou inférieure à ^ , ^ — r> pour être sûr que la diflerence ^ — ^

soit moindre que le nombre positif e, que Ton peut choisir arbitrairement. C'est ce que Ton avait annoncé.

On exprime ce même résultat en disant que S est la limite des nombres i\ ou ^, quand on fait grandir n indéfiniment de manière que les intervalles partiels dans lesquels on a divisé l'intervalle (a, 6) décroissent indéfiniment. Cette façon de parler demande quelque explication :

A chaque mode de décomposition de Tinlervalle (a, b) en intervalles partiels, par Tintercalation de nombres intermédiaire^ X|, x^-i ..., ^«i7 correspond un polygone (tf), un polygone (^), un nombre tj, à savoir la plus grande des différences entre deux consécutifs des nombres a, x<, . . . , Xn^t, b. Quand on change le mode de décomposition, les nombres tJt\ ^, r\ varient; il faut entendre que la différence entre le nombre fixe S et les nombres variables ff, ;J peut être supposée aussi petite qu'on le veut, pourvu que t^ soit suffisamment petit.

Si Ton considère le mode spécial de décomposition de Tinlervalle (a, b) qui résulte de Tintercalation des nombres croissants j*«, x>2j . . . , x„,^ entre a et b, et si Ton désigne par $4, $2^ . • • * 5« d<^» nombres qui appartiennent respectivement aux intervalles (a, ari), (a?,, X2), . . . , {x„i^ 6), il est clair que le nombre

2 = (:r, — a)/( $,)-+- (ar,— ar,) /•($,) -h. . .n- (6 - :r«, )/({„),

qui mesure évidemment la somme des aires de n rectangles respectivement compris entre les rectangles dont se composent (ff) et(^)* est compris entre ^Jt^ et ^, en sorte que ce nombre peut, lui aussi, être regardé comme une valeur approchée de S avec une erreur

moindre que -jt-t — -5— ^r — -.

304. On peut aussi, dans la somme S, remplacer les nombres /i'?iV /(52), . . • i/(S/0 paï* des nombres/, /a, ...,/,/ qui en diffèrent 1res peu; on aura ainsi une somme

2'= (a:, — a)/, -h (xt — Xx)Jt-^ . ^ .-^ {b — Xn^x)/n,

qui, pourvu que les différences

soient aussi petites qu'on le veut quand les intervalles partiels sont suffisamments petits, différera aussi peu qu'on le voudra de S ou de S et fournira ainsi une valeur aussi approchée qu'on voudra de S, toujours sous la condition que les intervalles partiels soient assez nombreux et assez petits. La différence S — S' est en effet égale à

(Xi — a) El -4- (a7î— J?i )SjH-. . .H- ( 6 — J7n-1 )s«.

Puisque toutes les différences x^ — a, x^ — ^i , . . . , b — x„^i sont positives, on aura, en désignant par £ la plus grande des valeurs absolues des nombres s, , £2, . . . , t„,

[S — S'|<£(a?i — a -Ha^î— T|-h. ..-h 6 — aT/i-i) ou e(6 — a);

il suffit de prendre les intervalles assez petits pour que t(b — a) soit inférieur au nombre qu'on veut. La proposition, dont on verra l'utilité dans les applications, est démontrée.

Il n'est pas inutile de faire remarquer ce qu'il y a de général dans le procédé que l'on a employé pour obtenir des valeurs approchées de l'aire S. On a commencé par la séparer en bandes étroites par des parallèles à l'axe des j^ : S est la somme des aires de ces bandes; à chaque bande on a ensuite substitué un petit rectangle soit intérieur, soit extérieur : la somme des rectangles intérieurs fournit une \aleur approchée de S par défaut, la somme des rectangles extérieurs fournit une valeur approchée par excès.

La demi-somme des rectangles intérieurs et extérieurs, ou, ce qui revient au même, la somme des trapèzes

A'AMjM'j, m; M, M, m;, ..., M'„i ]VI„i B B',

fournirait évidemment une meilleure approximation : l'erreur commise serait la somme des aires manifestement très petites comprises entre la courbe et les cordes MM^, Mi M^, . . . , M.,t^^ B. Dans le cas de la figure, où la concavité de la courbe est tournée vers le haut, la somme des trapèzes fourniniit évidemment une valeur approchée de S par excès; ce serait Tinverse si la convexité était tournée vers le

haut. La valeur approchée de Taire, ainsi obtenue, quand on suppose les bases de tous les trapèzes égales à > est

Je reviendrai plus tard sur cette formule, pour en donner de> applications numériques.

On a ensuite expliqué qu^on pouvait substituer aux petites bande> d'autres rectangles que les rectangles intérieurs ou extérieurs, ayanl mêmes bases que ces derniers et des hauteurs peu différentes : une idée assez naturelle et qui fournit une assez bonne approximation consiste à prendre pour hauteur de chaque petit rectangle l'ordonnée de la courbe relative au milieu de l'intervalle; en supposant encore

tous ces intervalles égaux à > on parvient ainsi à l'expression

approchée de l'aire

Au lieu de décomposer l'aire S en petites bandes qu'on remplace par des rectangles ou des trapèzes, on aurait pu la décomposer en un grand nombre de petites parties o"i, 0*2, . . . , o",,, aux<|uelles on aurait substitué des valeurs approchées o-',, o-^, . . . , t,,, en commettant les erreurs ai, aj, . . . , a,^. Si l'on désigne par ^ la valeur absolue de la plus grande des erreurs relatives

ai aj 7,n

l'erreur commise en substituant la somme o", -f- o-.j -h . . . -h ^ix à S = 0*1 4- <y2 + . . . + S",, sera moindre que

I «1 I -*- I «ï I -H. . .-H I «« l< H'^i -»- <ït-*-. . .-H »«)< PS;

si donc on peut s'arranger pour que ^ soit plus petit que tel nombre qu'on voudra, on pourra, de cette façon, obtenir S avec telle approximation qu'on voudra.

303. Laissons ces généralités pour revenir aux modes d'évaluation de S que nous avons considérés tout d'abord, et nous affranchir de quelques restrictions imposées à la fonction y(j;).

On a supposé que cette fonction variait toujours dans le même sens quand x croissait de a à 6; s'il n'en était pas ainsi, si l'ordonnée de la courbe allait tantôt en croissant, tantôt en décroissant, mais si l'on pouvait décomposer l'intervalle (a, 6) en un nombre fini d'intervalles partiels tels que, dans chacun d'eux, l'ordonnée allât toujours en croissant ou toujours en décroissant, ou restât toujours constante, il est clair que le raisonnement du n" 303 s'appliquerait à chacun des intervalles partiels. L'aire limitée par la courbe, l'axe des x et les deux parallèles à l'axe des y^ serait alors la somme d'aires partielles relatives chacune à l'un des intervalles partiels et il est clair qu'elle pourrait être encore obtenue approximativement par l'une ou l'autre des formules

{x^ — a )/( a) -h ( j:, — a-, )/( Xi ) -h . . . -f- ( 6 — Xn-x )f{ Xn-\\

(ar,-a)/(t,) -h (ar,— arO/Cîi) -^ ...-+- (^ -ar,, .,)/($«),

en désignant par X\^ x^^ . . . , x^-x des nombres croissants intercalés entre a et 6, par $,, $2^ • • • ? \n-\ des nombres appartenant respectivement aux intervalles (a, 2:,), (j:.j, Xs\ . . . , (:r„j, 6), et cela avec une approximation aussi grande qu'on voudra, pourvu que les nombres intercalaires soient suffisamment nombreux, et les différences x^ — a, X2 — X\^ . . . , 6 — .^/i i, suffisamment petites.

On a supposé que la fonction /(ic) était toujours positive dans l'intervalle (a, b)\ s'il n'en est pas ainsi, augmentons toutes les ordonnées de la courbe d'un même nombre positif A assez grand pour que, dans l'intervalle (a, 6), la fonction A-f-/(:r) soit toujours positive; cela reviendra à faire subir à la courbe primitive une translation parallèle à l'axe des y, à l'élever de manière que toutes ses ordonnées soient positives. L'aire primitive S, délimitée par la courbe y = /(j:), l'axe des X et les deux parallèles à l'axe des r, se trouve alors augmentée d'un rectangle dont la surface est A (6 — a), il est à peine besoin de dire que, pour l'évaluation du nombre S, on doit adopter les conventions relatives aux signes que l'on a précisées au n^ 222, c'est-à-dire regarder comme positives les parties de l'aire qui sont au-dessus de Taxe des x^ comme négatives celles qui sont au-dessous.

486 CHAPITRE XVUl.

Soit mamtenant S = Al(6 — a) H- S raîre de la courbe limitée par l'axe des x^ la courbe dont l'équation est y = A -|- /(-r), et les deux parallèles à Taxe des r. En supposant les nombres intercalaires croissants x% , X2', . . . , Xn-\ assez nombreux et assez rapprochés, le nombre

(ar,-a)[AH-/(Ç,)]-^(^î-^i)IA-+-/(Ç,)]-f-...-H(6-a?„.,)[A-h/<{„)]

différera aussi peu qu'on voudra de S : or, ce nombre est la somme de

A(iFi — a-+-arj — Xx-\-. . .-h 6 — ar«-i) =^ib — a) A et de

(ar, — a) /(J,) -H (arj-x, )/({,)-+-... H- (6 — Xn-,)/(î«,);

par conséquent, dans ce cas encore, cette dernière quantité diffère aussi peu qu'on le veut de S, qui est égal à S — A(^ — a).

Supposons enfin âr>>6; intercalons entre les nombres a, b les nombres décroissants x^^ x^^ ..., x„x] les nombres ^, jr«|. ^«-29 • • •? ^i> <^ formeront une suite croissante, et en désignant toujours par Ç;,, S/,i, ..., $1 des nombres quelconques appartenant aux intervalles (6, ^/,i), {Xn-\', Xn-n)^ •••? (*^i? ^)î le nombre

pourvu que n soit assez grand et que les différences positives Xn-\ — b^ Xn 2 — -a?/i M ..., a — Xfy soient assez petites, différera très peu de l'aire limitée par l'axe des x, la courbe et les deux parallèles à Taxe des y, en regardant toujours comme positives les portions de celle aire qui sont situées au-dessus de l'axe des x et comme négatives celles qui sont au-dessous; le nombre

(^i-a)/(îi)-+-(^i-^i)/({i)-+-...-4-(*-a7«.)/(t„)

différera donc très peu de la même aire, changée de signe. Or, danî> le cas où l'on suppose a > 6, la convention adoptée au n*" 222 consiste précisément à regarder comme positives les parties de Taire situées au-dessous de l'axe, comme négatives celles qui sont au-dessus. Si donc on continue d'adopter cette convention, l'expression précédente représentera, dans tous les cas, l'aire considérée, avec Tapproximation qu'on voudra, pourvu que n soit assez grand et que les différences j:, — a, Xâ — jc,, ..., b-^Xn^x', toutes positives ou toutes

négatives, soient suffisamment petites en valeur absolue; l'expression précédente, par conséquent, différera aussi peu qu'on voudra de l'expression F(6) — F(«), où F(x) désigne une fonction primitive de /(x).

ÎM)6. Ce dernier résultat peut d'ailleurs s'établir directement : on a, en effet, en supposant que les nombres a, x^^ . . ., d?«i, b se suivent par ordre de grandeur croissante ou décroissante,

F(6;-F(a) = F(:F,)-F(a)H-F(^5)-F(^t)-»- . .h- F(6) - F(ar„,), oïl, en appliquant la formule des accroissements finis,

5m ^2? --î? 5/i désignent des nombres convenablement choisis, appartenant respectivement aux intervalles [a^Xs) (j:,, jc^), ..., (X/,i, 6); la différence o entre le second membre de l'égalité précédente et l'expression

(jr,-a)/({,)-*-(a7,— 37, )/({,)-+-... -h (6- a7„i)/fî,*)

où Ç|, $2, ..., \n désignent des nombres quelconques appartenant respectivement, comme £,, Ç^, ..., ç),, aux intervalles (a©, X|), (x,, Xa), ..., (x„,,fe), est égale à

Or, pourvu que les intervalles partiels («, X|), (Xi,^^), ..., (.!:« I, 6) soient suffisamments petits, les différences

peuvent être supposées moindres, en valeur absolue, que tel nombre positif que l'on voudra (*). Les quantités x, — «, x^ — X|, ..., b — x„i sont toutes positives ou toutes négatives : dans les deux cas.

(*) Ceci est vrai, pourvu que la fonction /( j? ) soil continue, et a été démontré au n* 215 dans le cas où cette fonction, dans Tintervalle (a, b), admet une dérivée qui reste, en valeur absolue, moindre qu'un nombre positif fixe.

on a

I 8 I ^ a I a^i — a -h .r, — .r| -h ... -h 6 — x^-x \ ou a | 6 — a . ;

pour que la différence entre F(6) — F(«) et

(.r, — a )/( t, ) -h (J^i— ^1 )/(îî) -h. . .-h ( 6 - .r,,, )/( t„)

soit moindre que le nombre positif (5, arbitrairement donné, il suffira donc de prendre

307. On dit que la fonction /(^), définie dans l'intervalle {a,b). est intégrable dans cet intervalle s'il existe un nombre S jouissant de la propriété suivante :

Quels que soient les nombres x^^x^^t • • •? ^n-\ intermédiaires entre a et b et rangés par ordre de grandeur croissante si l'on a a << 6? pr ordre de grandeur décroissante si l'on a a >- i, quels que soient les nombres $1,^27 • • •? 5« appartenant aux intervalles (a, ^i), (X|, Xj), ..., {xn-\^ b), la différence entre S et l'expression

(^i-<»)/(îi)-+-(a7,-ari)/(t,)H-...-h(è-a?„i)/(Ç„)

est moindre, en valeur absolue, que tel nombre positif e que Ion voudra, pourvu que les différences, toutes positives ou toutes négatives, J7, — «, X2 — x^J ..., b — x„i soient moindres en valeur absolue qu'un nombre positif, convenablement choisi, d'après e. Le nombre S, s'il existe, se représente par le symbole

f{x)dx,

qui s'énonce somme de a à h de f{x) dx.

Le signe / (somme) est un S déformé, il rappelle qu'on a affaire à la somme des éléments

(:r,-û)A$,), r.rs-.ri)/(?,), ..., (^» - .r«-i) /( t„):

//' f{x)dx, Télément de l'intégrale, f{x)dx, esl

la irace de ces éléments; dx^ en particulier, où la lettre d est la lettre initiale du mot différence, est la trace des différences Xt — a, Xj — j:, , . . ., b — x„.i] dx n'est pas la différentielle de la variable Xj définie comme on Ta fait au n° 290; toutefois, on verra bientôt qu'il est avantageux d'employer le même symbole ici et pour cette notation différentielle, qu'on a expliquée au Chapitre XVII.

Les nombres a et b sont la limite inférieure et la limite supérieure de Vintégrale définie

• fi

L'intervalle (a, b) est V intervalle d'intégration.

Supposons qu'on prenne les n intervalles partiels (a, 6), (xtjXa). ..., (iP/i i,6) dans lesquels on subdivise l'intervalle (a, é) pour obtenir une valeur approchée de l'intégrale définie, égaux à = A; on voit que la valeur de l'intégrale définie sera la limite

vers laquelle tend l'expression

— ^— ! f(^)-^f{^ -^- ^) -^-/(a^ -^ 2/1) ^-. . .-t-/lar -♦- (/i — i)/i | {

lorsque n augmente indéfiniment et que, par conséquent, h tend vers o. L'existence de cette limite résulte de celle de l'intégrale définie.

On appelle valeur moyenne de la fonction f{x) dans l'intervalle (a, b) la limite de l'expression

/ia)^f(a-^ h)^, ..-^f\a -h(n — i)h\

quand n croît indéfiniment (et que h tend vers o), cette limite est évidemment égale à

*^ Il

308. Il résulte des explications données au commencement du précédent numéro que l'intégrale

T) dar,

c'esl-à-dire le nombre S dont s'approche la somme

(a:,-a)/(Ç,)-h(x,— a:,)/(Ç,)-h...H-(6-jr„-,)/(Ç,),

dans les conditions que l'on a dites, existe bien quand la ionction/(a:) est continue dans l'intervalle (a, 6) et que cet intervalle peut être décomposé en un nombre fini d'intervalles partiels, dans chacun desquels la fonction est soit croissante, soit décroissante, soit constante; l'intégrale est alors égale à F(6) — F(a), en désignant par F(x) une fonction admettant /{x) pour dérivée dans Tiiitervalle (a, b).

Si l'on avait a = h^ l'intégrale définie serait regardée comme nulle.

On prouve l'existence de cette intégrale définie dans des cas beaucoup plus étendus : en particulier, on démontre qu'une fonction y(x> est intégrable dans tout intervalle (a, 6) où elle est continue, dans tout intervalle où, sans même être continue, elle est soit croissante, soit décroissante.

La notion géométrique d'aire, qui a été mon point de départ, suffit pour qu'on se rende compte que la continuité de la fonction f{x). dans l'intervalle (a, 6), n'est pas nécessaire pour que l'intégrale définie ait un sens.

Supposons, en effet, que la fonction/(j7) soit représentée de a à c

Fig. 94.

par l'arc AC, de c à 6 par l'arc C| B, en sorte que, pour x un peu plus petit que c, la fonction f{x) soit très voisine de C'C et que, pour x un peu plus grand que c, cette même fonction soit très voisine

de CCi; le symbole/ f{x)fix représente naturellement l'aire

limitée par le contour -VACC,BB', aire qui est la somme des aires

-VACC, C'C| BB', représentées respectivement par

f f(x)dx, f f{x)dx.

II n'importe pas que, pour j? = c, on attribue à la fonction /(^) la valeur C'C ou la valeur C'C|, puisque cette valeur, quand on envisage l'intégrale définie comme limite d'une somme, n'intervient que

dans le dernier élément de / f[x)dx. ou dans le premier élément

de / f{x)dx : ces deux éléments, qu'on peut supposer aussi petits

qu'on veut, n'ont pas d'influence sur la valeur exacte des intégrales. On peut, dans la première intégrale partielle, regarder CC comme la valeur Aef{x) pour x = c et, dans la seconde, adopter la valeur C'C|. On ramène ainsi, par une décomposition de l'intervalle (a, b) en deux intervalles partiels (a, c), (c, 6), l'intégrale proposée, où le

signe d'intégration / portait sur une fonction discontinue f{x), à

deux intégrales où ce signe porte sur une fonction continue dans l'inlervalle (a, c) et sur une fonction continue dans l'intervalle (c, 6). La seconde fonction ne continue pas la première.

Les mêmes considérations s'appliqueraient évidemment au cas où la fonction y(j:) admettrait, entre a et é, un nombre fini de discontinuités. Elles supposent toutefois essentiellement que la fonction /(:r) soit finie; le cas où cette fonction devient infinie dans l'intervalle (a, 6) demande une étude particulière^ j'en donnerai plus loin quelques exemples simples.

309. Bien que quelques-uns des théorèmes qui suivent n'impliquent pas cette restriction, je supposerai que les fonctions sur lesquelles

porte le signe / soient continues dans l'intervalle d'intégration et

satisfassent aux conditions énoncées plus haut, sous lesquelles l'intégrale définie apparaît nettement comme l'aire d'une courbe.