II. On a

(^) J /(x)dx=f /(x)dx-^f f{x)dx.

Cette proposition résulte encore immédiatement de la définition, au moins lorsqu'on suppose a <C c <Z b^ soit qu'on se reporte à la règle pour additionner des aires contiguës, soit qu'on regarde les intégrales comme des limites de sommes, en faisant figurer le nombre c parmi les nombres intermédiaires k a^ b que l'on introduit pour évaluer la première intégrale. Ces démonstrations s'appliqueraient aussi au cas où l'on aurait a> c> b. D'ailleurs, si l'on a a < 6 < c, on aura ( * )

mais, à cause de / = — / , cette égalité entraîne celle qu'on veut

démontrer; même démonstration si l'on a c<ia<,b^ etc. \u reste, la formule générale, en introduisant la fonction primitive F(x), équivaut à celle -ci

Quels que soient les nombres rt, 6, c la formule (2) peut s'écrire sous la forme plus symétrique

I /{x)dx-h I /(x)dx-h f f(x)dx = o.

(') Dans les formules de ce genre, on se dispense souvent d'écrire /( jt ) </jr son* les signes j , quand aucune confusion n'est à craindre : il est bien entendu que le:»

signes / doivent porier sur la même fonction /(a?).

m. Si dans l'intervalle (a^b) la fonction f{x) est toujours ftositive, ^intégrale définie

h f(x)dx

est positive ou négative suivant que l'on a b>a ou b <^a.

Gela résulte encore de la définition, ou de ce que la fonction priinilive F(jc) croît avec x. L'intégrale est évidemment nulle si la fonction f{jc) est constamment nulle dans l'intervalle (a, b)] si l'on sait •seulement que f{x) est, dans cet intervalle, positive ou nulle, on peut affirmer que l'intégrale est positive ou nulle; on peut alors affirmer que l'intégrale est positive s'il y a un intervalle (a, ^) compris dans Tintervalle (a, 6) à l'intérieur duquel la fonction /(j:) ne s'annule pas.

I V. Si K et ^ sont des constantes, on a

j [A/(x)-hBg(x)]dx = A I /{xjdx-^-B I g(x)dx.

(^ette proposition apparaît immédiatement en regardant l'intégrale comme la limite d'une somme : elle résulte alors de l'identité

(ar,-a)tA/($0-4-B^({i)]-+-(:r,-x,)lA/({,) + B^(Ç01-^... = A[(x,— a)/({i)-+-(a:,-:r,)/(J,}-H...] -h B[(a:, — a) ^( {, ) -h (a:,- arj) ^(Çt) -+-. . . J.

Elle résulte aussi de ce que AF(x)-t- BG(^) est une fonction primitive de A /(j:) -|- B^(x) si F(j:) et G (x) sont des fonctions primitives de /(x) et de g{x).

L'égalité (4) contient, comme cas particulier, les égalités suivantes :

f X/{x)dx = A f /(x)dx, f [/(x)-^gix)\dx= f /{x)dx-h f g{,x)dx.

V. 5/, pour toutes les valeurs de x appartenant à P intervalle

(a, 6), la fonction f{x) vérifie les inégalités

où m et M sont des constantes, on a, en supposant a < b,

(5) m(b — a)S j /{x) dxSM(b — a)\

en effet, les intégrales

f [fi,x)^m]dx, f iyi-/(x)\dx

sont positives ou nulles; la première est certainement positive, s^îl j a un intervalle (a, p) compris dans (a, b) où la fonction /(j) reste supérieure à m ; de même pour la seconde, s'il y a un intervalle où la fonction reste inférieure à M. Les égalités

/ [/(^) — m\dx — \ f{x)dx—m{b — a),

f [M-/{T)]dx=M(b-a)— f Ax)dx

permettent d'achever la démonstration.

On a admis (n" 215) que la fonction continue /(^) admettait dans l'intervalle {a, b) une plus grande valeur et une plus petite valeur et qu'elle passait par toutes les valeurs intermédiaires : le théorème s'applique en prenant pour m et M cette plus petite et cette plus grande valeur; on voit ainsi que le théorème qu'on vient d'établir peut être remplacé par le suivant : il j a un nombre q appartenant à l'intervalle (a, &)(*)» tel que l'on ait

(6) f /(x)dx=/a)(b^a),

(^ette égalité ne suppose pas a<i b.

( •) Je laisse de côté la démonstralion de ce fait que $ peut être supposé différent de a et de b\ elle est aisée pour les fonctions auxquelles je me borne, qui sont, dins des intervalles finis, ou croissantes, ou décroissantes, ou constantes.

Si F(.r) est une fonction primitive de /(^), Tégalité (6) équivaut à l'égalité

qui n'est autre chose que la formule des accroissements finis.

Je laisse au lecteur le soin d'interpréter géométriquement ces résultats quand on regarde l'intégrale définie comme représentant une aire.

Je lui laisse aussi le soin d'établir la proposition plus générale qu'exprime l'égalité

(7) f A^)gi^)dx=^f{\) f ff{x)dx,

où $ désigne un nombre appartenant à l'intervalle (a, 6) et où g{x) est une fonction qui garde toujours le même signe dans cet intervalle. La démonstration se fait aisément en considérant les intégrales

f ffi^)\A^)-rn]dx, f ^{x)[M-/(:r)]rfa:, dont le signe s'aperçoit de suite.

310» On a vu au n" 229 que, si la série entière en x

ao -+- ai ar -4- . . . -4- a^ rr" -h . . .

est absolument convergente dans l'intervalle (a, ^), sa somme /(j?) avait pour fonction primitive la somme F(^) de la série

a^x -h ai — -h . . . -h a,i ■

qui est absolument convergente dans le même intervalle; si a, b appartiennent à cet intervalle, l'égalité

r /{x)dx=zF(b)-'F(a)

49^ CHAPITRE Wlll.

entraîne les suivantes :

f{,x) dx = OiAb -— o)-4- ai

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