hi

= / aoilx-^l rtiarcfo -h. . .-H / aaX*^ dx -h

D'une façon générale, si/(.r) est la somme d'une série

(/) /l (x) -l-/,(ar) -h. . .-h/nix) -h. . .

dont les termes sont des fonctions de a*, et si l'on a

(I) / /{X)dx= f /i(x)dx-h f /t{x)dx-h,.,-^ f fn(x)dX'^...,

la série qui figure dans le second membre étant convergente, on dil que la série (/) est intégrahle terme à terme.

Il en est ainsi lorsque les nombres a, h appartiennent à un intervalle (A, B) tel que, dans cet intervalle, la fonction y), (x) soit continue et moindre en valeur absolue qu'un nombre positif a«, la série

(a) a,-ha,-h...-l-a„-H...

étant convergente.

La démonstration est immédiate en admettant que les fonctions/(a:), /«(x) soient intégrables. Désignons, en effet, parRa^x) et prt les restes respectifs des séries (/) et (a), limitées à leurs /i""''* termes.

On a, d'une part, |Rrt(»r)|<p„ dans l'intervalle (A, B), et, d'autre part,

Ç Kn{x)dx=. f [/{X)—f,{X)^/^{X)—.,.-/n(x)]dx.

La valeur absolue du premier membre est moindre que

f p,tdx = (b — a)pn\

il en est de même de la valeur absolue du second membre ou de

o'esl-à-dire de la dilTérence entre le premier membre de l'équation (i) et la somme des n premiers termes de la série qui figure dans le second membre. Cette différence devenant aussi petite qu'on veut, en valeur absolue^ quand n augmente indéfiniment, la convergence

de la série, l'affirmation que sa somme est égale à / ./(^•), sont éta-

blies. Enfin l'expression (6 — ^) ?n fournit une limite supérieure de la valeur absolue du reste.

3H. L'intégrale définie

J f{x)dx

dépend de ses limites a, 6. Si on la considère comme la différence F(6) — F(«) entre les valeurs que prend pour j: = 6 et x = « la fonction primitive F(a;) de/(j:), il est clair que sa dérivée par rapport à sa limite supérieure est f{b) (*), que sa dérivée par rapport à sa limite inférieure est — f{ci)^

Lorsqu'on regarde une intégrale définie comme une fonction de sa limite supérieure, par exemple, il arrive souvent qu'on la représente par un symbole tel que

f{x)dx\

(^) On arrive aisément à ce résultai sans passer par l'intermédiaire de la Tonction primitive F(j7); si, en effet, on donne à 6 un accroissement p, Taccroissement correspondant de Tintégrale définie est

/ f{x)dx- /{x)dx= f{x)dx = ^f{\\

J ,1 %J ,1 J If

en désignant par \ un nombre appartenant à Tintervalle (6,6 + ^). Le rapport de l'accrolsseiiient de l'intégrale à ^ est /(^) ; il a pour limite /( 6) quand p tend ▼ers 0. Ce raisonnement ne diffère pas de celui du n* 222, qui conduit à l'évaluation de Taire.

T. - II. 3a

il faut observer que la lettre x figure dans ce sjmbole avec deux sens essentiellement différents, comme variable d^ intégration dam f{x)^ et comme limite supérieure de l'intégrale définie. Il doit èire bien entendu que le précédent symbole a le sens de

où l'on a remplacé b par x : c'est l'aire limitée par la courbe représentative de la fonction, l'axe des x, les deux parallèles à l'axe des v dont tous les points ont pour abscisses a pour la première, x pour la seconde. x\u contraire, l'élément d'intégration /(.r) ^x doit être regardé comme l'un quelconque des éléments

(x, — a)/(Çi), (a:, — ar,)/(Çt), ..., (x — ar„, )/(?„), dont la somme est à peu près égale à l'intégrale définie.

312. Les deux remarques que voici, relatives l'une au cas où la fonction /(a:) est paire, l'autre au cas où elle est impaire, sont souvent utilisées.

Supposons que la fonction /(x) soit paire et, dans l'expression

approchée de l'intégrale / /{x)dxj changeons de signe tous le»

nombres «, j:,, 0:2, ..., x,t ij ^, ii, 52» •••5 Ç//* on voit de suite que tous les éléments de la somme sont changés de signe, de là résulte immédiatement l'égalité

J f{x)dx=-j f(x)dx;

de même, quand la fonction /"(x) est impaire, on a

f /(x)dx = f f(x)dx.

La vérité de ces deux égalités apparaîtra aussi bien au lecteur s'il pense à la représentation géométrique et aux conventions conceruanl les signes, qu'on a adoptées au n® 222. Ces égalités, lorsqu'on suppose que a est nul, peuvent s'exprimer de la façon suivante : l'intégrale

f{x) dx est une fonction impaire de x quand f{x) est une fonc-

lion paire; elle est une fonction paire de x quand /(a:) est une fonction impaire. Ces propositions peuvent être regardées comme les réciproques de celles-ci : la dérivée d'une fonction impaire de x est une fonction paire; la dérivée d'une fonction paire de x est une fonction impaire.

Notons encore les égalités suivantes : si la fonction /(x) est paire

f^Ax)dx= f\ r =- f \ f* =^1 f /ix)dT, t/.j. »' — .»• «'^O *^0 *^'o «^0

Si la fonction /(jc) est impaire, on a

j f{x)dx = o,