Multiplication des séries. — Si les deux séries

(y) Pi-t- p,-4-...-t- Prt-4-. ..

à termes réels ou imaginaires sont absolument convergentes, il en est de même de la série

iw) Wi-H w,-t-...-»- (V„,

où l'on suppose

et, en général,

sa somme W est égale au produit des sommes U, V des séries (w), (y). Je désignerai par U,,, V», W^ les sommes respectives des n premiers lermes dans les séries (m), (r), {w).

On observera que (v^ contient le produit de deux termes quelconques des séries (w), {v) dont les indices forment une somme égale à A -h 1 : W„ contient tous les produits analogues dans lesquels les indices forment une somme égale ou inférieure à n -+- i ; tous ces termes figurent évidemment dans le produit développé U/jV», avec d'autres, pour lesquels la somme des indices dépasse /i + i . Si, d'ailleurs, on se donne le nombre naturel /;, on peut prendre n assez grand pour que tous les produits qui figurent dans le produit U^Vp développé figurent aussi dans W„ : il suffit évidemment de prendre

n -f- 1 > ip.

Ceci posé, supposons d'abord que tous les nombres m„, v^ soient positifs ( *); il en sera de même des nombres (v^; on a d'ailleurs, par

(') Le raisonncQient et les conclusions subsistent lors même que quelques-uns de ces nombres seraient nuls.

4o CHAPITRE XI.

les remarques précédentes, W/,<; UnV„<; U V; la série (w) est convergente ; sa somme W est au plus égale à U V.

Soient A, B des nombres positifs respectivement plus petits queU, Vj aussi voisins d'ailleurs qu'on voudra de U, V : on peut prendre // assez grand pour que Ton ait U^, > A, Vp> B, U^ V^ > AB et, en prenant n assez grand,

W>W«>U^Vp>AB;

AB pouvant être supposé aussi voisin qu'on voudra de UV, on voit que W ne peut être inférieur à UV : il lui est nécessairement égal.

Supposons maintenant que a», Vn soient des nombres quelconques, positifs ou négatifs, réels ou imaginaires; désignons par i/^, i>'„ leb valeurs absolues de w^, v„ ; les séries à termes positifs

sont convergentes par hypothèses; soient U', V leurs sommes, U^, y„ les sommes de leurs n premiers termes ; la série

où l'on suppose, en général,

est, d'après ce qu'on vient de dire, convergente et sa somme W est égale à U' V : soit W^, la somme des n premiers termes.

Je rappelle que si, dans un polynôme dont les coefficients sont positifs, on remplace toutes les variables par leurs valeurs absolues, on obtient un nombre positif égal ou supérieur à la valeur absolue du polynôme : l'égalité ne peut avoir lieu que si toutes les variables sont réelles et positives ou nulles. Si donc on regarde, pour un instant,

Wn comme un polynôme dont les variables s'appelleraient «i, u^^

Çfj V21 ' • "f on voit que l'on a [«^nl^tv^^ : la série («>) est absolument convergente.

D'ailleurs l'expression UnV;, — W,,, si l'on développe le produit V/iYn et si l'on supprime les termes de ce produit qui figurent dans Wfl, ne contient plus que des termes tels que «a^-'p? où ol -j- p est supérieur à /i -f- i, c'est encore un polynôme en «4, 1/2? . - . , t?|.

i's, .. ., à coefficients positifs; l'expression U^V^, — W^, se déduit de UnVy, — W„ en remplaçant W|, u^^ ..., ^n ^27 ••• par leurs valeurs absolues; on a donc, pour la même raison que tout à l'heure,

iu„v„-w«|iu;,v;.-w;,

le second membre étant positif. Si l'on fait croître n indéfiniment, Urt, V„, W^, []'„j \'„j WJ, tendront respectivement vers les limites U, V, W, U', V, W ; le second membre de l'inégalité précédente tendra vers o, et l'on aura

|UV- W|lo; comme l'inégalité est impossible, on a UV t= W.

191. Prenons pour les séries (w), (v) les deux séries absolument

convergentes

X X* ar'*

où ;r et^ sont des nombres donnés, d'ailleurs quelconques; on aura

xn ^"-1 Y

(n° 43). Ainsi la somme de la série

est le produit des sommes des séries proposées. En particulier le produit des sommes des deux séries

est égal à 1 , quel que soit x.

i^ CHAPITRE XI.

Si l'on prend, en général, pour les séries (i/), (t'), les deux séries

où X est un nombre donné tel que les deux séries soient absolument convergentes; on voit que la série

est absolument convergente et que sa somme est égaie au produit des sommes des séries proposées. On observera que la règle pour former la série produit est la même que la règle pour former le produit de deux polynômes ordonnés suivant les puissances croissantes de x.

Si l'on suppose en particulier, en désignant par /?, q des nombres quelconques

an =■ > On = >

les deux séries seront absolument convergentes, en supposant \x\<C. i. Cn sera un polynôme en />, q\ si /;, q étaient des nombres naturels, les deux séries »e réduiraient à des polynômes, les développements de (i-f-ar)^ et de (ih-xi?; leur produit serait (i -h x)p-^^\ le coefficienr de x'*^ dans le développement de cette dernière expression devrait se réduire à c^; on doit donc avoir, lorsque /^.^ sont des nombres naturels.

(/?-Hy)(/?-^- y — !)...(/? -hy — n>Hi)

mais il est aisé de voir que deux polynômes en /?, q qui prennent des valeurs égales pour tous les systèmes de valeurs naturelles attribuées aux variables, sont identiques; l'égalité précédente doit donc être une identité en /?, q^tn sorte que le produit des sommes des deux séries

P pip — i) . P(P — *)' • '(P — n-hi)

est égal quels que soient les nombres /?, q et quel que soit le nombre a:, plus petit que i en valeur absolue, à la somme de la série

192. Limite de ('-'--) pour n infini. — L'expression (> -h -) >

où n est un nombre naturel, est le produit de n facteurs égaux

à 1 H — . Quand n est très grand, chacun de ces facteurs est voisin

de 1, et il y en a beaucoup; on ne se rend pas compte de la valeur du produit, dont on va montrer qu'il tend vers une limite quand n augmente indéfiniment.

On a, en appliquant la formule du binôme,