nP

On transforme le terme général en divisant par n chacun des p facteurs /i, n — I,. .., n — /^-|-i,qui figurent dans le numérateur de la première fraction, et l'on obtient

(I) (n-i ) =H--Î.-+- (i — l)-L-+-(i— i) M — -) — ^ -H... \ n) I \ nj \,i \ n/ \ n/ i.i.S

\ n/ \ nj \ n I 1.2.../?

Le second membre est un développement limité, contenant (n-h ») termes, évidemment positifs.

Soit p un nombre naturel fixe, d'ailleurs quelconque, et supposons n >p- La somme des p -h i premiers termes

I \ n) \ ,1 \ n/ \ nJ \ .2.3

\ n,] \ nJ \ n I i.2.../>

du second membre de l'égalité (i) peut être regardée comme un poly-

nome en -> dont la valeur, si l'on y remplaçait - par o, serait

dont la valeur diffère donc aussi peu qu'on le veut de Sp^ pourvu

que - soit assez petit, que n soit assez grand : la différence est moindre

que tel nombre positif s que l'on voudra, pourvu que n dépasse un nombre positif convenablement choisi.

On est ainsi amené à comparer ( i 4- - j à la série indéfinie

dont on a établi la convergence, et dont on désigne habituellement la somme par e : la limite, pour n infini, de la somme des p -4- i premiers termes du développement de (i-\ — ] est égale à la somme «^

des p -h I premiers termes de cette série.

Dans le second membre de l'égalité (i), on retrouve les premiers termes de la série {e), respectivement multipliés, à partir du troisième, par les facteurs i — ->(i j (i — -\,... qui sont tous positifs et plus petits que i ; chaque terme de ce second membre eàl plus petit que le terme correspondant de la série (e); le second membre est plus petit que la somme des n -4- i premiers termes de la série {e)', il est, a fortiori, plus petit que e. On a

Mais, quand n augmente, - diminue, les facteurs (t )'

(i j> ... augmentent, le nombre des termes, dans le second

membre de (i), augmente aussi; leur somme (i-\ — j augmente

avec n; elle reste inférieure à e, elle a donc, quand n augmente indéfiniment, une limite E, inférieure ou égale à e.

D'un autre côté, si Ton se donne le nombre naturel /?, on a, en

SÉRIBS. 4â

supposant /i >/',

la limite du premier membre, quand n augmente indéfiniment, ne peut être inférieure à la limite du second membre; on a donc E^e^; les inégalités e^E^e^, où p peut être supposé assez grand pour que la différence e — ep soit aussi petite qu'on le veut, montre que E est égal à e.

Im, limite, pour n iujini, de i\ -\--\ est la somme e de la série

On a vu au n" 182 qu'on pouvait poser

en désignant par 6^ un nombre positif (non nul), plus petit que i.

On obtient des valeurs approchées de e par défaut et par excès en prenant 8^ = o, 6^=1. On voil ainsi, en prenant /> = 2, que e est plus grand que 2, plus petit que 3 ; ce n'est pas un nombre entier; ce n'est

pas non plus une fraction t à termes entiers; s'il en était ainsi, en

etl'et, on pourrait écrire, en prenant /> = 6,

ai I I 0^

En multipliant par 1.2... 6 et en faisant passer dans le premier membre les b -h i premiers termes du second, on en tire évidemment une égalité de la forme

-r- = nombre entier, o

le premier membre est plus petit que 1 et ne peut être nul; l'impossibilité est manifeste. Donc le nombre e est irrationnel.

Hermite a démontré qu'il ne pouvait être racine d'une équation algébrique à coefficients rationnels.

193. Il est utile de savoir calculer, avec une approximation donnée, la somme d'une série dont on sait calculer chaque terme avec telle approximation que l'on veut.

Je me bornerai au cas des séries à termes réels.

Le procédé le plus régulier, quand on a une limite supérieure du reste de la série limitée au /i'^"* terme, est de chercher à déterminer /i de façon que la valeur absolue de ce reste soit plus petite que l'erreur e qu'on veut se permettre, d'évaluer grossièrement la ditVérence s' entre e et la limite supérieure du reste, puis de calculer chaque terme de façon que la somme des erreurs possibles sur chaque terme soit inférieure à e — e'; si l'on a n termes à calculer, on peut, par exemple, calculer chaque terme avec une erreur moindre que -•

D'ordinaire, on procède d'une façon moins régulière : tout d'abord, on cherche à n'utiliser que des séries qui soient rapidement convergentes; les mathématiciens se sont ingéniés à en trouver de telles pour les cas les plus fréquents et les plus intéressants. Dans ces séries, les termes décroissent rapidement, et le reste est du même ordre de petitesse que le premier terme négligé, ou, au moins, que le dernier terme conservé.

Supposons qu'on veuille avoir le résultat avec une erreur moindre que io~^, et que l'on calcule chaque terme, sous forme décimale, en conservant p -\- q décimales ; on aura ainsi chaque terme avec une erreur moindre que lo"/*"^, et même que'^io"^"^, si l'on a forcé, quand il convenait, le dernier chiffre décimal ; on s'arrête dans le calcul des termes lorsque, dans le terme suivant, les/? -|- y chiffres décimaux que l'on devrait garder seront tous des zéros.

Supposons qu'on ait ainsi calculé n termes, l'erreur commise sur la somme de ces n termes sera moindre, suivant les cas, que n lo"^"* ou - lo'P''^. Si l'on représente la valeur absolue du reste par kio~P~^^ le nombre A" ne sera pas grand, habituellement, et l'on peut admettre, conformément aux hypothèses que l'on a faites, qu'il sera inférieur à lo ; quoi qu'il en soit, l'erreur qui résulte, d'une part, des erreurs commises sur chaque terme et, d'autre part, de ce que l'on a néghgé le

reste, sera moindre que (k + n) io~^~^, ou que (^' -H - ) lo'"/'"^; il

suffira, pour avoir T approximation désirée, que l'on ait A- -f- n < lo^ ou k -{ — < io«'.

On voit que, si l'on suppose 9=2, A: < 10, le procédé ne se trouverait en défaut que si l'on avait été obligé de calculer plus de 90 termes dans le premier cas, plus de 180 dans le second. La série ne serait guère convergente; on voit même que, si l'on n'a pas trop de termes à calculer, le nombre k peut très bien être supérieur à 10. Si l'on prenait au contraire g' = i , le résultat serait fréquemment défectueux : d'où la règle que l'on recommande habituellement : calculer deux chiffres de plus qu'on n'en veut garder; s'arrêter quand on ne trouve plus que des zéros; faire la somme et supprimer les deux derniers chiffres.

Sans que j'y insiste, on voit que, en procédant de cette façon, et en calculant chaque terme avec une erreur moindre que ^io~^~*, on pourra, d'ordinaire, avoir le résultat avec une erreur moindre que ^ lo"/*. Si, d'ailleurs, on a quelque scrupule, et que l'on ait une limite supérieure du reste, on pourra toujours s'assurer de ce qu'il en est.

Supposons, par exemple, qu'on veuille avoir Je nombre e avec une erreur moindre que — -9 en partant de la série qui définit ce nombre; on a écrit ci-

des«ious les termes de la série, calculés avec une erreur moindre que =

près, à partir du terme ; les trois premiers, ensemble, forment une

somme égale à 2,5; chaque terme se déduit du précédent. On a mis un point à droite des chiffres forcés.

o,oo83333

o,oooooo3'

On s'est arrêté au terme — ^ <3.io-7, |e reste correspondant est plus petit

que 3.10-*; on est bien sûr ici, d'après le raisonnement général, que l'erreur commise en ne conservant au résultat que les cinq premiers chiffres

10-5 décimaux est moindre que ; il est d'ailleurs aisé de voir que l'approximation est plus élevée. Un des termes a été calculé exactement; quatre termes ont été calculés par défaut; de là, et de ce que l'on a négligé le reste, résulte une erreur possible, par défaut, moindre que