Raprenona U fraction rationnelle

U *'j?rT' + p'-i""~' + el«.

que je regarderai toi^onrs comme réduite à sa plus simf^ a pression. Aprca avoir décomposé V en facteurs binômes, J' distingué ceux qui n'y eirirent qu'au t" degré de ceux qui y sort élevés à des puissances, et j'ai dil que, pour chaque faclenr

simple j+rt, on prenait um' fraction de la forme , tandis

que pour uu facteur tel que {j:+bj", on en prenait n de la forme

rr.-*--, — ri^;— ,■■■■ + — rr- Eo «ajsequencc

\=[x+a)ix+l))''.,.., on devra poser

h etc. ;

et c'est b délermiaalion des numérateurs M, N, JV, , etc. qui ddl nous occuper.

Le moyen qui s'offre tout d'abord est de réduire le second membre en une seule fraction de mCme dénominateur que celle du premier et comme les deux numérateurs doivent alors être ideiiliques. oa égalera entroeuxlcscoellicicnlsdes terme.'! semblables. On a ainsi^'i Équalions qui serviront à trouver les "i inconoiies M,ft', N. Ces équations sont toutes du 1" degré; car, dans la rûducIioQ du second membre au inémc déoômiuateur, les inôcinnoefi iw se mIl)t^ plient ni enlre elle» ni pnr elles-mt^mes.

L£Ç0Ns d'algâbrb. 555

Par exemple, soit la fraction

x^ — X — JC-f 1

après avoir reconnu que le dénom. = (jc4-l) (jc— 1)*, on posera

x*—x+^ — JL W W,

x^—x''— x+i ~ JC+1 "*" (x—iy "^ x-^i' £11 réduisant tout au même dénominateur, il vient d'abord

JT+M

pois, en égalant les termes semblables , on a

De ces équations on tire M=:2, N = 3, N,= — 1 j et par suite la fraction donnée se décompose ainsi :

j:"— jc-f-6 2 3 1

578. On sait que des équations du 1^ degré peuvent être incompatible». Ainsi » il y a lieu de craindre que ce cas ne se présente quelquefois pour celles qui servent à déterminer les numérateurs IneonBUg , et que par suite la décomposition en fractions partielles maoitimpomible. Mais je vais trouver les numérateurs de ces fractfoDi par on procédé qui lèvera tous les doutes.

Soit x+a un facteur simple de Y, et supposons que la fraction ]pKtt)posée puisse se décomposer ainsi

M étant une quantité fndépendante de a:, U, une quantité entière par rapport à jc , et Q le quotient de V par j?+a. £n réduisant au même dénominateur, il vient

U = MQ + U,(j:+«), d'où xj^U-^^Q

Bout que U, soit une fonction entière de jr, il faut que U— MQ soit divisible par x-^-a^ ce qui exige que U—MQ s'évanouisse en y faisant a: = — a, Si donc on désigne par n et q ce que deviennent aU»rs U et Q , on aura

... a — M^5=0, d'où M== i?.

556 LEÇONS d'algébrk.

Telle doit être la valeur de M si la décomposition est possible. Cette valeur n'est ni nulle , ni infinie, ni indéterminée ; car, d'un côté, la fraction proposée étant irréductible, U ne doit pas contenir le facteur x+a, de sorte que u est différent de zéro ; et, d'un autre côté , X'\-a n'entrant qu'une fois dans Y ne doit plus se trouver dans Q, desorle que q est aussi différent de zéro.

La valeur de M n'a été trouvée qu'en supposant la décomposition possible. Ainsi , à parler rigoureusement , cette supposition doit être vérifiée, ce qui est à présent sans difficulté. En effet, si on prend pour M la valeur trouvée, on est sàr que la quantité U — MQ sera nulle en y faisant j: = — a\ donc cette quantité est divisible par x+a. Or, en nommant U, le quotient, on a

U-MQ = U.(x+^), U=MQ+U.(a:+^), H = i+Hi,

et Ton obtient ainsi la décomposition qu'on voulait opérer. La fraction —^ doit être irréductible : autrement , on pourrait

réduire le second membre de la dernière égalité à une fraction de dénominateur moins élevé que Y; donc la fraction proposée serait simplifiable, ce qui est contre la supposition. Si x+b est un autre facteur simple du polynôme Y, il devra

être aussi un facteur simple du quotient Q ; on pourra donc opérer

sur -^ une décomposition semblable à celle qui a été faite sur rr,

et continuer ainsi jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les facteurs simples. Mais on peut aussi , pour chaque fraction partielle , revenir à la fraction proposée elle-même.

Exemple. Soit la fraction

Y X^r>t^^X^ + X*—àX—2

Si on pose l'équation j:*+3j:'+a:'— 3j: — 2=0 et si on cherche ses racines, on trouve Y=(j:-— 1)(j:+2)(j:+1)*; par conséquent les deux facteurs simples donneront lieu, dans la décomposition, à deux fractions partielles de la forme

Pour trouver M , on a recours à la formule M = -, dans laquelle

LRçoNs d'algâbrr. 557

ueiq représentent les valeurs de U et Q correspondantes à x=i. Icion aU=a7'-f7j:''+t3x+3, Q = (j:+2)(a:+l)*; et la substitution dea:=i donne m = 24, ^=12. Donc M= -5=2.

Semblablement, pour calculer le numérateur M, , on fera a:=— 2 dans U et Q , mais alors il faut prendre Q = (x—i){x+i)\ 11 vient ainsi a=--3, 5r=— 3, M, = l.

En conséquence les deux fractions partielles sont

579. Occupons-nous maintenant des facteurs qui sont élevés à des puissances dans Y. Soit y=z{x+byQ : si on considère la fraction

- — rr7r> ce qui vient d'être dit montre qu'on peut la décomposer ainsi

donc, en divisant par (^4* &)"""', on aura

Des décompositions toutes semblables donneront

{X 4- bj'^-^q {X + ^)— ' {X + 6)«- «Q *

et ainsi de suite jusqu'à ce que l'exposant n soit épuisé. Le n"* précédent prouve que les valeurs de N , N, , N,,.*- sont

N = -. N.= -', N.= '^, etc.

tt, M,, M,,.... étant ce que deviennent U, U,, U,,.... par la substitution de x = — b, et q étant ce que devient Q : il faut donc connaître les polynômes U,, U,,.... Or, le tf cité montre que ces polynômes s'obtiendront successivement en effectuant les divisions indiquées dans les formules

U-H=ÎÎ2 y ^'-^Q etc

5&S LIÇOI» DILS^MK.

A l'cgard des autnôratears N, , N...... qui viennent après N, il

fool observer que quulqacs-uns d'CDire eux peuvent être nuls j car il est possible que quelques-uns des polynômes U,, U^,.... ra-

fermeut le facteur x+b.

Pour exemple reprenons celui du n' précédent , dans leipiet on a \J = a^ + 7j:'+l3x+3, V=j* +3a-5 + r'— 3x — âs4 {jr— l)(x-i-2)(.ir+l)'. Le facteur {x+if donnera deat fracUite i partielles do la l'orme '|

Lb quaotit^ dtwiguée par Qcst Q=(jr— 1 ;(.r+2). Si on fait x=-~i, dans U et Q, on trouve ii = — 4, q = — 2; doue N = 2.

Alors on cherche le pohitoine U, par la formule U,^ — : i

et, tout calcul fait, il vient V — j:'+i.T+7. La substitution de I x = ^i, dans U, et Q, donne k,=^1] ^=^^2; donc ]V,= Donc les deux fractions correspondantes à (^+1)* sodI

et si on les réunit à celles qui ont été trouvées dans le n" précédenl. on aura la décomposition complélc de la fraction pnîposée, savoir

.v^'2 [x+lT

La décomposition d'une fraction rationnelle est utile non-scult ment pour la détermination du terme général d'une série récurrents, mais encore dans une partie importante du calcul intégral; et pour cette raison j'ai cru devoir la traiter avec étendue.

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