x 4- 4j:'4- 6jc'+ 8j:*+ etc

^' -h 2j:'+ 3j?*-r etc. = S.JC».

Dit^ision de S /7<2r S,.

l+2j: + 3j7* + 4a:''+etc.

— 1— 2j:— 3 j:*--4 j:r'--etc.

1+2x+3j:'+4j7Hetc.

Donc la série S est récurrente , et Ton a

d'où

et par conséquent

Remarque. En cherchant une règle pour reconnaître si une série est récurrente, nous avons considéré la série comme provenant d'une fraction dont le numérateur est de degré inférieur au dénominateur. Mais si cette dernière condition n'avait pas lieu, il est facile d'apercevoir que les mêmes explications et par conséquent aussi la même r^le subsisteraient toujours.

Sommation d'un nombre quelconque de termes consécutiCi d'une tépie récurrente. —

Terme général.

575. Troui^er la somme d*un certain nombre de termes ci tifs d'une série récurrente.

Pour fixer les idées , supposons que l'échelle de relation ait termes, que je désignerai simplement par les lettres j9, ^^ r, i

' h suite des Icrnie» dont oo demande la somme, Par la nalure méi ■ delà suite, oiia

U=A.p+Bq + Cr,

E = Bp+Cq+Dr,

el, eu ajoulaut ces égalités, il tient

£a désignant par S la somme dierchée, celte équation devient

S— A— B— C = (S — L — M — N)/» + (S— A— M—IV)y + (S— A— B— NJr;

«( de là il est facile de tirer la valeur de S ,

A+B+C — r(A+B+N)— </iA+M+N) — ^«(L+M+H)

I 576. Trouver le ttrine général it une série récurrente. ' Cette question est proposée la dernière parce qu'elle est celle doet' la solution esl la plus didicile. iiupposoDS que la série ait pour fraction génératrice . ^

a!+b'x....+h'x~-' a+bj:.... + kx" On peut écrire cette fraction ainsi

F=(a'+û'.r.... + A'-f"^-)(a+ix....+A-^')-'i et alors en développant la puissance — 1, efTecluantle produit et prenant dans ce produit la partie qui contient x à une puissance quelconque, il est clair qu'un aurait le terme général de la série récurrente. Mais la question se résout ordinairement par un autre procédé que je vais exposer.

On divise d'abord tous les ternies de la fraction F par «t, et oa l'écrit sous la forme

U a'j""— ' + ^'jr"-'+etC.

"V ~ .!■"+ i j7"— '+ f jr"-'+elc. ■ On la suppose toujours réduite à sa plus simple expression, de sorte que U n'a plus aucun fadeur commun avec V. On décompose ensuite le dénominateur en facteurs binômes tels

LKçONS d'algàbhk. 553

que Jc+Uy soit en égalant ce dépominateur à zéro, soit par tout antre moyen -, et alors on considère la fraction comme résultant de Taddilion de plusieurs antres qui auraient pour dénominateurs ces diOérents facteurs. On détermine toutes ces fractions partielles, puis on forme le terme général du développement de chacune ; et en faisant la somme de ces termes généraux , on aura le terme général de la série récurrente.

Dans cette décomposition en fractions partielles , il faut soigneusement distinguer dans Y les facteurs simples de ceux qui sont élevés à des puissances. Pour chaque facteur simple x+a, on prendra

une fraction de la forme

Pour chaque facteur tel que (jc+b)*, on en pourrait prendre une

A j:*»— « 4- Bx*-* 4- etc. de la f<Hmie ; j— : mais il est plus commode de

n'avoir que des fractions à numérateurs monômes ; et , au lieu d'une fraction comme la précédente , on en prend n comme celles-ci :

N N. N, Nn.

Il est sans doute inutile d'avertir que M, N, N,,.... représentent des quantités indépendantes de jc.

En conséquence, si on admet quey=(j>Hï)(j:+&)"...., on posera

U M N N, Na,

et la question sera réduite pour le moment à déterminer les numérateurs M , N , N, , etc. Mais cette détermination exigeant des déyéloppements assez étendus, je la renverrai dans un article séparé et je la regarderai ici comme effectuée.

La décomposition précédente une fois établie, la détermination da terme général de la série récurrente n'offre aucune difficulté. Chaque fraction parlielle peut se mettre sous la forme P (p+J^)-'\ en désignant par X un nombre entier positif qui peut être égal à 1. Si OD développe cette puissance, on trouve facilement que le terme aflEectéde jc^ est

C'est une somme de pareilles expressions, toutes renfermant j:" et

résulUnl Ae» dilTérontes fracUotu partielles, qui composent le term g^nwal chercht' .

Quand II' dùnominalcur de la fractioD génératrice rcnrenne àet Taclours îmaginnirrs, ce» fadeurs aincacnlili>s<iuanlilésimagiDairà daus le tcrmi> géutVal. Cfpcoilant «î on suppose, comme on le rai; toujours, <iue les rocflîcicnlii du numérat(.-ur et àa dénominateur je la fraction jwupostV soient tous r^Is, il est évident à priori qu'an cherchant le dévcluppeaicnldeceilefraclion au moyen de la divisiodf le tonne RÙnéral ne renfcrmerail pas d'imaginaires. Par coDséqneol on est assuré que toutes les imaginaires provenant des facteurs dn dénominateur devront Mi <1élruire.