Soit une progression arithmétique quelconque
ia.b.cd.c/.eiC',, *' et soit i la raison. D'après la définition même» chaque terme étant
ai
égal au précédent plus la raison, on a t = a+^, c=ûj+2^, </=a+3^, etc. Donc, en général , / étant un terme dont le rang est tr -il marqué/ÎT, on doit avoir
c'est-à-dire *qu'M7î ternie quelconque est égal au premier,. plus autant de fois la raison qu'il y a de ternies aidant lui,
295. Considérée sous un point de vue général , cette formule exprime une relation entre ûf , ^, w et /; et elle servira à résoudre les questions dans lesquelles , trois de ces quantités étant données, il s'agira de déterminer la quatrième.
Par exemple, proposons -nous A' insérer m moyens arithmétiques entre deux nombres donnés sl et\.
On entend par-là qu'il faut trouver m quantités comprises entre aeil ^ et formant avec ces nombres une progression arithmétique commençant à ^z et unissant à /. Ici c'est la raison S qui est à chercher ; car, dès qu'elle sera connue, on pourra former tous les termes "% ■i -delà progression par des additions successives. Or, l'équation [1]
donne
mais le nombre des moyens étant m , celui de tous les termes, en y comprenant aei l, est 7/2+2 j en conséquence je fais »s=:7iH-2, et
il vient
Donc j pour trouifer la raison, il faut retrancher le premier teime, du dernier, et diviser le reste par le nombre des moyens augmenté de V unité,
296. On pei^ conclure de là qu'u/ie progression arithmétique étant donnée ^Jji on insère un même nombre de moyens arithmé" tiques entre cnl^ue terme .et le suivant , la nouvelle suite sera encore une progression arithmétique.
En effet , on formera ainsi des progressions partielles qui auront toutes la même raison ; et comme le dernier terme de chacune .est le premier de la suivante, leur ensemble forme encî^re^'une progression arithmétmie.
297. Maintenam je vais montrer comment on trouve la somjnè des termes d* une progression arithmétique.
C *• U ' " LEçojr» d'algSbre. / , ^' f. <253
Soit nne progression arithmétique 6 ' y 4 '^
ia.b.c.d....h.i.k.l,
Aont la raison est S. Par la nature même de la progression , on a 9*
en partant do premier terme , ' . ^* ^'^ " ^ '
et , en partant da dernier,
l-^i^li^ k — ^=1, i— ^=A,etc.,
donc, en ajoutant les égalités correspondantes , on aura
a*{'l=zb-\'k^ i+A:=rc+^,. c+i = rf+A, etc.,
c'est-à-dire que la somme de deux termes quelconques, également éloignés des extrêmes , est égale è la somme des extrêmes.
Cela posé , nommons S la somme dos termes de la progression : en les prenant d'abord dans Tordre môme de la progression , et ensuite dans un ordre inverse , on aura
Donc, en ajoutant ces égalités, si on observe que la somme.de deux termes correspondants est toujours égale à la somme des extrêmes or^-l , et si on appelle n le nombre des termes de la progression , il viendra 2S=(rt4-/)/i , d*où
Donc la somme des termes (Vune progression aHlhmêtique est égale à la demi^somme des termes extrêmes, multipliée par le nombre des termes, ^ 298. Les relations [1] et [2] , dans lesquelles il entre cinq quan- :> tîlés a, ^, /i, /, S , pourront servir on général à trouver deux quelconques de ces quantités, quand les trois autres seront données. Ainsi, elles fournissent la solution d'autant de problèmes distincts qu'il y a de manières de prendre doux quantités sur cinq ; et par conséquent le nombre de ces problèmes sera de '';^ ou 10. Pour qu'ils soient possibles , il faudra toujours que la valeur de n soit non-seulement réelle , mais encore entière et positive.
254 LBÇOZfS D*AL6$B&B.
Sans entrer dans le détail des calculs, je plao^ai id les soliitlo
de ces dix problèmes.
Inconnues /;S.r=''+("-*)*' S=|«[2^+(«-l)fl.
IL Données/,^, /i. Inconnues a y S.
ûj=/— (71— 1)^, S==i/i[2/— (/i— l)(î]
