X1.2.... /?Xl.2.... <7Xetc

représentera toujours un nombre entier. En effet, soit 0 un facteur premier da dénominateur, on aura

?n II p a .G e 6 6

&1 nommant m\ /i', p\ ^V-** ^^^ quotients entiers, on'aura donc

aussi

m;= ou >/i'-t-y+ç'+etc.

Sien divise de nouveau par 0, et qu'on nonmaez/t", /i'',.... les iKNiveaax quotients entiers , on aura pareillement

;/i"= ou >7i"+/'+^"+etc.

On continuera ainsi tant que les quotients ne seront pas tons moindres que 9. Alors , en ajoutant , on aura

ou >(7i'+7i"+....) + (/+/'+....) + (?'+?"+....) +etc.

', ces différentes sommes font connaître les plus hautes puissances 0 par lesquelles on peut diviser les produits qui composent Texssion [1]; donc il n'y a aucun facteur premier dans le déno-; inateur de cette expression qui ne soit à une puissance au moins Je dans son numérateur ; donc cette expression représente un

■ombre entier. Cette conclusion renferme, comme cas particulier,

m remarque du n*" 210.

242 LEÇONS d'algébrb.

Continuation. — Théorèmes sur les résidus.

280. Théorémb. Soit p un nombre premier par rapport à a ; si on diifisepar p les multiples successifs de a jusqiCà (p— l)a inclusis^ement ^ les résidus ou restes de ces divisions seront tous différents.

Admettons qaedenx multiples ma eim'a^ moindres que/iâ, puissent donner le même résidu r. En nommadt l^Set £' les entiers

des quotients, on devrait avoir v

ma = Ep+r, m'a := E^H-r. ' .

Si on retranche ces égalités l'une de l'autre j il fient

(m'— m) a = (E— E)p d'où ^-^î^lJ^^E'— E ;

et comme j9 est premier avec a^ il s'ensuivrait que/i divise m' — m,

ce qui est impossible puisque m et m' sont <CP'

Remarque. Appelons r, r' r',... les/? — 1 restes qu'on obtient en

divisant a , 2a^ 3a,... {p—i)a^ par jo; et supposons qu'on ait

a=Ep+r, 2a=E>+/, 3a=E"j^rf r", etc. Si on ajoute pa à chaque égalité, on a .^

(/7+l)â— (E+a)/^+r, (p+2)a = (E'+^/7+r', etc. j

donc, après avoir passé pa qui est le premier^piitiple de a divisible par j!;, les multiples suivants ramènent les restes déjà trouvés, et dans le même ordre. Sans pousser la démonstration plm loin , il est clair que cette période de restes se reproduit après chaque multiple de a divisible par/>.

281. Théorème. Soit p un nombre premier avec a, si on ditdse par p la suite des puissances 1 , a , a% a^,.... il j^ en aura au moins une avant a^, qui laissera un résidu égal à \*,jusqu!à la plus petite.^ tous les résidus seront différents } et au delà y les mêmes résidus se repjvduiront périodiquement.

Les résidus devant être moindres que/?, on ne peut pas en trou- ^ ver plus de /?— 1 qui soient différents ; donc , dans les p premier!. ' termes de la suite 1 , a, a',.... aP—\ il en existe au moins deaXi qui donnent le même résidu. En les représentant par a"* et a*', wL le résidu commun par r, supposons qu'on ait ;^

LEÇONS d'aLGÈBRS. ^43

)e là on tire

^w ajn =- (By— E)/7 , ou a^{a^'-^ —1) = (F— E)/i/

^ooiiimc/7 est premier avec a \ il devra diviser a^^-"^ — i. Donc >n aura Tunité pour résidu en divisant par/? la puissance a"*'-»» ^ laquelle est <a^-

Désignons par cC" la plus petite puissance, autre que a"", qui donne le résidu- 1, tous les résidus précédents seront inégaux entre eux. £n effet, si pour deux puissances ar^ et a^\ moindres que ^z", on pouvait avoir les égalités [1], on en conclurait, comme tout à l'heure , que la puissance a"''-'" donnerait le résidu 1 ; par con^séqucnt <£" ne serait pas la plus petite puissance qui jouit de cette propriété.

Soit a"=E/7+ 1, E étant entier. Au delà, on aura

a»+ '=Etf/?+a, éz" + »=Edf7^+<î% <z»+^=Ea^/>4-^S etc. ;

donc , pour les puissances «",«" + ',.... ^?î~', les résidus seront successivement les mémos que pour c^^ a\ «*,...«"-«.

Pour «•»* le reste sera 1 comme pour or : car l'égalité a^=^Ep-\- 1 , en la multipliant par a""^ donne ^*"=Ea"/7 4-«". Avec le raisonnement précédent , on fera donc voir que, de* «'" à a 3"~*, les puissances donnent encore la même période de restes ; et ainsi de mite.

282. Remarques. I. En partant de Végalité éz'* = Ep + 1, on ifl>»=Ea"^+^", a^" =Eût^'»/?-l-^z^«, etc. ; et, de celles-ci, on coudât que le résidu 1 correspond à tous les exposants multiples de A. On peut même affirmer que tout exposant plus grand que n foi ramène ce résidu doit être multiple de n. En effet , on a dû observer plus haut que le résidu d'une puissance de a ne change Jkas quand on ajoute ou qu'on 6te à l'exposant autant de fois n fu'on voudra; donc, si cet exposant n'est pas multiple de n^ on pourra l'abaisser au-dessous de n sans le réduire à zéro ; donc û** ne serait pas la plus petite puissance, autre que a""^ qui pût donner le résidu 1 .

II. La même observation fournit un moyen facile d'obtenir les tésidus des puissances trés-élevées , lorsqu'on connaît les résidus

la première période. Quant à ceux-ci , on les détermine direc-

ent, mais on simplifie le calcul en faisant attention que, pour

^ser du résidu de a* à celui de ^z'-t-< , il suffit de multiplier le

inremier par a ou par le résidu de a et de diviser le produit par/?,

244 LEÇONS i/algèbre.

Par exemple, cherchons le résidu de la division de 4*9« par 11 . Ceux de 4% 4', 4% sont 1, 4, 5. Le produit 5x4 ou 20 donne le résidu 9 ; 9x4 ou 36 donne 3 ; et 3x4 ou 12 donne 1. L'on s'arrête ici , et l'on forme le tableau suivant :

Puissances.... 4% 4', 4\ 4', 4*. Résidus 1, 4, 5, 9, 3.

L'exposant 5 étant celui qui ramène le risidu 1 , ob divisera VeX" posant donné 898 par 5, et le reste 3 indiquera que la puissance 4®9® laisse le même résidu que 4^ ; donc ce résidu est 9.

III. Lorsque/; n'est pas premier avec a le théorème ne subsiste plus. En effet, supposons que la division de a' par p donne a' = Ep + r, on en conclurait que si des facteurs sont communs à a eip , ils doivent diviser r; donc r ne pourrait pas être égal à 1.

283. Théorème. Si p est un nombre premier qui ne di\fise point a , la di\fision de SlP^^ par p donnera le résidu 1 j ou , ce qui est la même chose , a^*—' — 1 sera un nombre exactement diifisibU par p. Dans ce théorème , qui est dû à Fermât, il faut bien faire attention que p est un nombre premier absolu, et non pas un nombre premier seulement par rapport à a.

Nommons 5^, </', ^",... et/-, r^r"^,,, les quotients et les restes qu'on obtient en divisant par/? les/? — 1 quantités^, 2a, 3^,... (/» — 1 )a : si on multiplie entre elles ces quantités , et si on désigne par E un nombre entier, on aura

a.2^.3a.... [p — i)az=z[qp-\-r)[q'p+r^){q"p+r^').,,,

= Ep+rrr",.,.

Ici le premier membre est égal à 1 .2.3. . . . {p'-~i)XaP-' ; et , d*im autre côté, comme on a démontré n° 280, que les/? — 1 resté 7% r^, /•",... sont différents entre eux, le produit rr'/'.... doit être égal à 1.2.3.... (/?—!). En conséquence, l'égalité ci-dessus revient — à celle-ci

d'où

donc le premier membre de cette dernière égalité est divisible par/;. Mais, par hypothèse,/? est un nombre premier; donc^* puisqu'il ne peut diviser aucun des facteurs 1, 2, 3,... (/?— 1), iV devra diviser ^ a'-' — 1 .

LEÇONS D ALG^RH. , 245

284. Bemarques. I. Lorsque aP— n'est pas la plus pelile puissance , antre que zéro , qui ramène le résidu 1 , la remarque 1" du D* 282 prouve que l'exposant de celle plus pelKe puissance doit élre un diviseur de yj — 1 .

II. Lorsque ar-i est la plus petite poissaDcc, autre que a% dont la division par p ramène le reste 1 , p doit être un nomlnv premier absolo. En cilct , le théorème du n" 281 prouve que les restes qui précèdent La division de ^-' sont tous incganx entre eux j donc ils doivent comprendre tous les nombres 1', 2, 3...^ — 1, mais dans nn ordre di(T(TCnt de l'ordre naturel. Si p était un nombre compose et que /- l'iXt un de ses facteurs premiers , r ferait donc partie des 7' — 1 résidus , et par conséquent on devrait avoir une égalité telle que m'= Ep+r. De là on concInraiL que r est imaî facteur de a -. donc a et /> ne seraient pas premiers entre eux ; et dès lors , d'après la remarque 111 du n' 282 , il ne serait I pu même possible de trouver au-dessus de a' une puissance de a (ni ramen&t le résidu 1 .

ni. Supposons qu'un ne prenne poury> que des nombres prenôers, si on veut que les puissances a', a\....ap— donnent pour résidus tons les nombres inférieurs à y>, il faudra donc choisir a iiaa les nombres tels que if-'' soit la plus petite puissance, audessus de o', qui ramène le reste i ; et si parmi ceux qui remplissent cette condition , on ne prend pour a que les nombres ■u-dessons de p, on aura ceux que Edlbr appelle des racines primitives par rapporl à p. Pour la recherche de ces racines on devra consulter M. Ivohy, 4' vol. du supplém. de V Encyclopedia Britannica, p. 698, et M. Cauchï, Exp.rcices nuUhhnû tiques , ♦• année, p. 217. Je me bornerai ici à rapporter les racines primi- «we« des nombres premiers jusqu'à 37.

Ktmb. p. Ricino piimiliin i1f;>.

5, 13 1ô, 17 18, le, 20, 22. 24, 3i, Va.

En consultant ce tableau , on y voit que 5 est racine primitive de 7 ; et en effet, si on divise par 7 les puissances 5*, 5', 5\ 5*, 5% 5', qn trouve les résidus 1, 5, 4, 6, 2, 3, qui comprennent tous les nombres au-dessous de 7.

On pourrait aussi prouver que, pour chaque nombre premier j9, il existe autant de racines primitives, plus une, qu'il y a, entre i dp, de nombres premiers par rapport kp — 1. Mais, pour cette proposition et pour toutes les autres qu'on pourrait encore démontrer sur les nombres , je renverrai à la TJiéorie des nombres par Legendre.

Sur les grandeurs iacoinniensurablcs. — Approxînialion dos racines.

285. Deux grandeurs de même espèce sont dites commensurablcs , lorsqu'elles ont une commune mesure, c'est-à-dire, lorsqu'il existe une troisième grandeur qui est contenye un nombre exact de fois dans chacune d'elles ; dans le cas contraire, elles sont incornm ensura h les .

Quand on dit d'une quantité , prise isolément, qu'elle est cornmensurable ou incommensurable, il y a toujours une certaine unité sous-enlcr.duc avec laquelle on la compare ; et alors ces expressions indiquent qu'il existe une mesure commune entre cette quantité et l'unité, ou bien qu'il n'eu existe pas.

Supposons, par exemple, qu'une ligne donnée contienne 23 fois une certaine longueur, et que le mètre la contienne 7 fois, la ligne donnée sera comniensurable ; et comme elle est égale à 23 septièmes de l'unité, elle sera représentée par ?. Cet exemple suffit pour montrer que toute quantité comniensurable peut s'exprimer exactement en nombres entiers ou fractionnaires.

D'un autre côté, toute quantité représentée par un nombre entier ou fractionnaire est commensurable : car il y a évidemment une commune mesure entre elle et l'unité. Ainsi, qu'une longueur soit égale à \l, et que le mètre soit l'unité sous-entendue, la commune mesure sera le décimètre.

Donc, une (juantité qui ne peut être exprimée exactement ni avec des enticTS ni avec des fractions est incommensurable. Telles sont K^, Kn.

En faisant attention que le rapport ou la raiswi^ entre une quantité commensurable et l'unité à laquelle on la rapporte, est

LEÇONS d'algâbre. 247

toujours exprimée exactement par un nombre entiçr ou fractionnaire , on comprendra pourquoi Ton désigne encore les quantités conunensurables sous la dénomination de rationnelles, et les iuoommensurablcs sous celle d'irrationnelles,

286. Lorsque lu racine d'un nombre entier, quel que soit le rfegré de cette racine, ne peut pas cire exprimée exactement en nombres entiers, elle ne peut pas Vétrc non plus avec des fractions, et par conséquent elle est incommensurable.

Supposons qu'elle puisse s'exprimer avec des fractions, on pourra

h mettre sous la forme d'un nombre fractionnaire irréductible t-

Or, à quelque puissance qu'on élève un tel nombre , bien loin de retrouver un nombre entier, je vais montrer qu'on n'obtient jamais qu'un nombre fractionnaire irréductible. En effet, les nombres premiers qui divisent a ne devant point diviser ^, il s'ensuit (théor. n** 269) qu'ils ne pourront pas diviser by^b ou ^', ni ^'x^ oa ft', etc. Cette conclusion revient à dire que les nombres premiers qai divisent les puissances de b ne peuvent pas diviser a ; donc tossi, d'après le théorème cité , ils ne diviseront ni aXa ou a*, ni a^XaofJLa^ etc. Ainsi-, les puissances de a n'ont aucun facteur

a commun avec celles de b. Donc la fraction y étant irréductible , ses

puissances — , —3, etc., seront irréductibles aussi. Donc les racines

des nombres entiers , quand elles ne sont pas des nombres entiers ,' Kmt toujours incommensurables.

287. Déterminons aussi à quel caractère on connaîtra que la racine d'un nombre fractionnaire est incommensurable.

D'après ce qui vient d'être dit-dans le numéro précédent, la puis-

fiance -=- d'une fraction irréductible -, est elle-même une fraction 6» b

irréductible ; donc , pour qu'une fraction soit égale à une puissance n , il faut qu'après l'avoir réduite à sa plus simple expression , on puisse extraire exactement la racine n de son numérateur et de son dénominateur.

Quand cette double extraction sera possible, il est clair qu'elle tem connaître la racine de la fraction donnée. On trouve ainsi 1/867 1/289 1 7

288. On peat remplacer cette règle par une antre , fondée snr ce principe que si une fraction est égale à la puissance /i d'nne fraction , et que Tnn de ses termes soit une puissance n^ Tautre en doit

être une aussi. En effet , supposons que la fraction |r; soit égale à la puissance n d'une fraction - : on deyra avoir «

-- = — , d'où A=-7— j

donc ^"B" est divisible par ^'». Or, si on conrx)it aeilà décomposés en facteurs premiers, il est clair que tous ces facteurs sont à la puissance n dans û^»B" ; et de même les facteurs premiers de b sont à la puissance n dans ^". Donc , après avoir divisé ^"B" par ^», ce qui revient à supprimer dans /z"B« tous les facteurs de 6», il ne restera au quotient que des facteurs élevés à la puissance /£/ donc A

est une puissance exacte de l'ordre n,

(i Cela posé, remarquons qu'une fraction étant donnée, on peut

toujours, en multipliant ou en divisant ses denx termes par des facteurs convenables, rendre son dénominateur puissance exacte d'un ordre quelconque n. Donc il faudra qu'alors le numérateur en soit une aussi , pour que la fraction donnée puisse être égale à la puissance n d'une fraction.

Par exemple , en multipliant les deux termes de la fraction parle dénominateur, on rendra ce dénominateur carré parfait; il deviendra un cube en les multipliant par son carré; et ainsi de suite. De

* /ër^ ^ / «07X363 ^ / 3i47ai 5Bi

celte manière on a t/ 353 = ^ ^^^ ^ t/ ^^^ ^ -.

En simpliûant ce résultat , on retrouverait ; ; comme dans le numéro précédent.

289. Maintenant expliquons comment on évalue avec approximation les racines incommensurables. La question générale est celle-ci - Etant donnée une quantité quelconque M , déterminer

sa racine vl^^^ à moins d'une fraction donnée -.,

Tout se réduit à chercbcr combien de fois celle fraction est

contenue dans f^M : car si r exprime ce nombre de fois, il est

clair que KM sera entre - et ; et comme ces deux fractions

ne diffiS^rent entre elles que de la fraction donnée , il arrivera , à

phu forte raison, que la diffcreoce entre chacune d'elles et i^M sera <C -• En conséquence , on posera

[1] ^=yM,

et la valeur Aex^ calculée à une unité prés, sera le nombre r. Or, de l'équation [1] on déduit

donc il faut extraire, à une unité prés, la racine du produit Mp*.

Ainsi , on peut établir cette règle générale : Pour évaluer, at^ec Me approxirnalion marquée par une certaine partie d'unité, la racine n**"® d'une quantité donnée M , multipliez cette quantité far la puissance p" du dénominateur de la fraction qui désigne tapproJtmatioJi, extrayez la racine du produit à une unité près^ fids dit^isez cette racine par le dénominateur p de cette mémo fraction.

Par exemple , veut-on trouver ^2 à ê près? on fait le produit 2x36r=7â , on en extrait la racine carrée 8 , à une unité près, et du divise 8 par 6. Le quotient f ou 1 ; est la racine cherchée.

Soit encore à évaluer 1^7 f à ^ près. On fera le produit 7|X25 =?j-'=191}. Alors on remarquera que la racine carrée de ce proloit, à une unité près , est la même que si on avait le nombre 191 aiB fraction. En conséquence , on extrait , par la règle connue , cette racine qui est 13 ; et la racine cherchée sera '5- ou 2|.

290. Les approximations se font ordinairement en décimales, et, (ûur ce genre de fractions , la règle générale se simplifie beaucoup, je ne parlerai ici que de la racine carrée.

Supposons d'abord qu'on ait à évaluer en décimales la racine carrte d'un nombre entier. Dans ce cas , la règle se réduira à celle- Â : On place à la suite du nombre donné deux fois autant de zéros fu'oQ veut avoir de décimales à la racine , on en extrait alors la ïsuine à moins d'une unité , puis on sépare sur la droite de cette rail Itine le nombre requis de décimales.

250 LEÇONS d'algébri.

Il peut se faire que le nombre donné ait déjà des décimales. S'fl n*en a pas deux fois autant qu'on en veut à la racine , on complète ce nombre par des zéros ; et, s'il en a plus, on supprime les décimales excédantes. Du reste, on extrait la racine sans faire attention à la virgpale, mais on y a égard à la fln de l'opération.

S'il s'agissait d'un nombre fractionnaire , tel que ^ ou 3^ , on réduirait la fraction f en décimales , en ayant soin d'en prendre deux fois autant que la racine doit en contenir.

291. Quand on extrait , à une unité près , la racine carrée d'un nombre entier , on trouve ordinairement le plus grand nombre ei^ lier contenu dans cette racine. Mais le nombre qui a une unité de plus, quoique trop grand , approche aussi à une unité près, et môme il peut se faire qu'il soit plus approché que le premier : or , il y a une règle très-simple pour le reconnaître.

Soit a le nombre entier contenu dans la racine, et R le reste de l'opération. Si a est plus approché que o+l, le carré de a^\ surpassera le nombre donné , et par conséquent on devra avoir R<(rt-f-;)'— û^* ou R<û+i ; donc alors le reste R est tout au pins égal à a. Ainsi, quand le reste ne surpasse pas le nombre trouvé à la racine , ce nombre est le plus approché de la racine. Dftns le eas contraire , c'est ce nombre augmenté d'une unité.

292. Les approximations relatives aux racines se ramènent toajourjr à extraire la racine d'un nombre entier à une unité près. Quand il s'agit d'une racine carrée qui doit avoir beaucoup de chiffres, et qu'on a trouvé plus de la moitié de ces chiffres, je vais montrer comment on obtient les autres d'une manière abrégée, au moyen d'une simple division.

Supposons donc que N soit un nombre entier , et qu'on ait calculé plus de la moitié des chiffres de la racine. Pour leur donner te rang qu'ils doivent avoir , mettons à leur droite autant de zéros qu'il y a encore de chiffres à connaître. Désignons par a le nombre ainsi formé, par R le reste complet qu'on trouve en abaissant tout» les tranches dont on n'a point fait usage , et enûn par x ce qu'il faut ajouter à a pour obtenir Kn. On devra avoir

OU , en développant le carré ,

2aa:+j:' = R;

LEÇONS d'algâbri. 951

Ame

Soit q- le ffliotient de la division de R par 2a , et R' le reste : cette égalité deyient

R' jc' "■ ■* ^ 2a 2a

SonKMQns qa'il y ait encore n diiffres à trouver à la racine , le

carré jc* sera •<10*". Mais, par hypothèse, a renferme au moins

jc* R'

ân+i chifres : donc û>10»" ; donc -- <1. D'ailleurs r- est <1:

donc la différence des deux fractions est <1 ; donc en prenant amplonent «rs^, Terreur est <1 , et l'on aura, à une unité près,

Remarque. H peut se faire que le quotient q soit la valeur encle de x , ou qu'il soit moindre , ou bien qu'il soit plus grand. S^ssj:, l'équation [1] donne j:'=R', par conséquent ^'=R'; si

1 ?<J^, Téquation [i] donne x'<R', par .conséquent ^'<R'; si î>a:, l'équation [1] donne a:*>»R', par conséquent (7'>R'. Ainsi, nivant qu'on a 9'=RS 9'<R'» q*>^-i la racine a^ est exacte, on approchée par défaut , ou approchée par excès.

al

U| Pro^^ressioDs arithmitiqars.

293. On appelle /7ro^re55£0/i arithmétique ou par différence une mite de termes^ tels qu'en retranchant chacun du suivant on ob" fient toujours la même différence. Cette différence est la raison de k progression.

Ymd deux progressions arithmétiques , écrites selon l'usage •dcqpté,

i3.7.11.15.etc. ^45.41 .37.33.etc.

Dans la première, la raison est 4 ; dan^la seconde, elle est — 4. ^ L'une est croissante , et l'autre est décroissante.