Remplaçons / par sa valeur ^^»-% la formule [2] devient

et je vais examiner les conséquences qu'on en tire dans les hypothèses (/>!, (/<!, <7=1.

1^ Soit ^>1, ce qui est le cas des progressions croissantes. Alors la quantité q"" est d'autant plus grande que u est plus grand, et même il n'y a aucune limite qi^llcue puisse surpasser, en donnant à n une valeur assez considéîjpiflr |

En effet, si on pose la rai-on /7 = l+a, on a /7"=(l+a)« = l+7ia+etc. ; donc ^">1 +7ia. Or, quelque petite que soit la quantité a , il est clair qu'en prenant n assez grand , i+nx peut surpasser telle grandeur qu'on voudra ; donc à plus forte raison en " est-il ainsi de </".

De là on conclut, ce qui est d'ailleurs évident par soi-même, que la somme S peut devenir aussi grande qu'on voudra en prenant un nombre suffisant de termes dans la progression.

2^ Soit^<;i, ce qui est le cas des progressions décroissantes. Après avoir changé les signes du numérateur et du dénominateur,

LEÇONS ù'ALOÉnRK. 257

I formule [3] peut s'écrire de cette manière :

;d , la quantité ^» sera d'autant moindre que n sera plus gprand ,

il même elle peut devenir aussi petite qu'on voudra. Pour s'en

»nyaiacre, on posera 5^= --,l3étant>1.0nauray" = — : or,

i'après ce qui a été dit ci-dessus, en prenant n de plus en plus grand , ^'* peut augmenter jusqu'à Tinfini ; donc q"" diminuera jus-

ipi^à zéro, et par suite la partie soustractive r-^ décroîtra aussi

jusqu'à zéro. On voit ainsi que la somme S doit encore augmenter,

08 qui est évident sans calcul ; et de plus, qu'elle ne surpas-

a aéra jamais la limite , dont elle peut d'ailleurs approcher autant qu'on voudra.

Ces raisonnements démontrent^'en faisant 71= 00 , on aura en t(Hite rigueur ^ t .

c'est-à-dire que, si on prolonge à V infini une progression géomé-' trique décj*oissantc , la somme des termes est égale au quotient du frtmier, divisé par r unité moins la raison. D'après celte règle, pour avoir la somme

.1.1 1 on fera a = 1 , 7 = î j et il viendra

' 3^ «oit gr = 1. La formule [3] donne S =5, mais l'indétermination n'jst ici qu'apparente : car, en divisant ^" — 1 par q — 1 (53), la formule devient

et alors ThypoUièse q = i donne S = an, Celte conséquence est évidente à priori .• car , la raison étant 1 , tous les termes de la progression sont égaux à a.

:258 LEcoNiî d'alg£brs.

305. Remarques, La division de 7" — i par q — 1 ne fait que reproduire, dans un ordre inverse, la progression dont la formule [3] représente la somme. Il est clair , en effet , que cette progression peut se représenter ainsi

Pour la retrouver sans inversion , il suffirait d'écrire la formula sous cette forme :

11 7 a plus , la formule [4] , qui exprime la somme de tolis tei termes d'une progression décroissante prolongée à l'infini , peat aussi reproduire cette progression. Effectuons, suivant la règle ordinaire , la division a par 1 -—q.

a !«' reste +aq

2» '{-aq*

3« + aq

etc. etc.

Si on arrête la division successivement au I'" reste, au 2% au 3*, etc., il faudra, pour compléter les quotients correspondants , leur ajouter les fractions

aq aq^ aq^ ^^^^

Or , q étant < 1 , ees fractions ont des valeurs décroissantes j et comme on peut pousser la division jusqu'à avoir au reste un exposant de q aussi grand qu'on voudra , il s'ensuit qu'en supposant les termes du quotient prolongés indéfiniment, la fraction complémentaire doit être regardée comme zéro. Donc la suite de tous cei termes , continuée à l'infini , est la valeur exacte du quotient. .

Il est très-important de ne point perdre de vue que celte con<^ sion n'est légitime que dans l'hypothèse q <1. Si l'on avait ^>1, les fractions complémentaires, bien loin de tendre vers zéro, iraioi! en augmentant jusqu'à l'infini négatif.

306. De même que pour les progressions arithmétiques, toutç les questions qu'on peut proposer sur les progressions géométrique

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LEÇONS u'aLGAbRI. ' ' \ M9

peuvent se réduire à dix , dont les solutions se déduisent des deux équations.

[1] /=aî-., [2] S=î^. '■

Ces solutions sont renfermées dans le tableau suivant :