X. Données /, ?, S

Inconnucb

a,/i. l ^ ' log?

â60 I.EGONS DftLGÉBRC.

Dans le Y* cas, il faut observer qu'en éliminant /entre les équations [1] et [2] , il en résulte une équation en q du degré n — 1 ; et , à moins qu'on n'ait /^ = 3 , ce qui la réduirait au second degré, elle ne peut être résolue que par des méthodes qui seront exposées plus tard. D'ailleurs , dès que la raison q est connue , on trouTe / par l'équation [1]. A l'égard du Vr cas , même observation : on y

a pris pour inconnue - au lieu de 9.

Enfin dans les quatre derniers cas , on remarquera que^l'équation [2] donne sur-le-champ chacune des quantités a^l^q ^ S , au moyen des trois autres : de sorte que toute la difficulté est de résoudre l'équation [1] , dans laquelle l'inconnue n est en exposant. Cette résolution a été effectuée par logarithmes , d'après les règles qui seront exposées dans le chapitre suivant.

Sommée des puisMDces semblables et entières de plusienrs quantités en progression y

arithmétique. — Piles de boulets.

307. Si on élève à la même puissance tous les termes d'une progression géométrique , il en résultera une autre progression géométrique; mais l'observation analogue ne serait point vraie à l'égard d'une progression arithmétique. Cependant, lorsqu'on élève les termjp d'une telle progression à une puissance positive et entière, 9n va voir qu'on peut encore trouver facilement la somme de la nouvelle suite.

Soit une progression arithmétique quelconque ,

en' nommant ^ la raison, on a 6==f/+<y, c = ^+^,... /=A:-i-^i puis , en élevant ces égalités à la puissance wi + l , il vient

, , 1 m + i ^ (m + i)ni ,.

* I ni+i . ^ (m4-l)w , /"» + 1 = A'^4- iH A"*^ 4- A"-' 5 + etc.

Ajoutons ces dernières égalités membre à membre , supprimons le»

LKfîO.Nb d'klgèukiù. 261

krmes 6*+ ',... c*+ ',... /:"*+', communs aux deux somme», puis Innsportoiis «•• + « dans le premier nombre. On aura

H j-g — <î'(a"»-' + i"»-!. .. 4- A:«-«) + etc.

Pour abréger, posons

avec cette notation , il viendra

et de là on tirera , pour S„t , la formule

^'il(^^.(S„ /.-.)ctc.

La loi des termes qu'on n'écrit pas est assez évidente ; et d'ailleurs il est clair que la suite de ces termes s'arrêtera d'elle-même lorsqu'on arrivera à celui qui renferme le facteur m — m ou zéro.

Par cette formule , on trouvera la somme Sm quand les sommes inférieures seront connues. En posant d'abord //i = 0, elle donnera So ; en faisant ensuite wi = 1 , elle donnera S, ; puis en faisant m = 2, on aura S,; et ainsi de suite jusqu'à telle somme qu'on

Toudra.

308. Comme application, considérons la suite naturelle des S$mhres T 1 . 2. 3 ... N. Dans cette progression, on a a=l, $=i , /»=N ; par conséquent la valeur générale de S^ devient

m -ht 2 •

ni {m — 1)

(S«-a— N'«^0— etc.;

169 LBÇONS d'alcëbhb.

et en y faisant saccessivement m = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , on troato^ facilement les valeon

309. Dans les arsenanx, les boiilets de m^me calibre sont rangés par piles , et quand on Veut calculer le nombre qu'une pile en contient , on a recours aux formules précédentes. Ces piles peuvent être ou triangulaires^ ou quctdrangulaires, ou rectarigu^ laires.

Piles triangulaires. On dispose sur le sol une tranche de boulets de manière que les centres de ceux qui sont sur les bords forment un triangle équilatéral. Sur cette tranche on en construit une seconde, en plaçant des boulets au-dessus dés vides de la première. Cette nouvelle tranche aura encore la forme d'un triangle équilatéral, mais son côté aura un boulet de moins. On o/^iilinue de s'élever ainsi , par tranches successives, jusqu'à ce qu'où ne puisse placer qu'un seul boulet.

Désignons par N le côté de la base, c'est-à-dire le nombre des boulets contenus dans un côté de la tranche qui touche le sol ; et appelons Y le nombre des boulets renfermés dans cette tranche. D'après ce qui vient d'être dit , il est clair qu'on a Y = 1+2 + 3... +N: or cette somme n'est autre que la somme S, du n^ précédent ; donc

Is dans cette expression on remplace N successivement par les noiÀres 1,2,3, etc. , on aura les difiërentes tranches à par-

la+1 2"+ 2 3"+ 3 \\T du sommet, savoir • — — , — — , — — , etc. Donc la

A ^ JL

Mjnme Z des boulets de toute la pile sera

Cette somme peut s'écrire ainsi ,

rH-2"H-3'...+N' 1 + 2+3...4-N là ^ + ■

Ici se retrouvent les sommes S, et S, da n^ précédent ; en copséqaeuce , on aura

ou , en réduisant ,

Telle est la formule relative aux piles triangulaires. Supposons que le côté de la base contienne 35 boulets : on fera

N=35, et on aura , pour la pile entière, Z = = 7770.

^iUs quadrangulaires. Elles ont pour base une tranche do boulets rangés en carré. Les autres tranches sont aussi des carrés dont chacun a sur son côté un boulet de moins que la tranche immédiatement inférieure , de telle sorte que la plus élevée n'a plus qu'un seul boulet , qui est le sommet de la pile.

Désignons encore par N le côté de la base , et par Z le nombre de boulets de toute la pile. Il résulte de la construction même de la pile, qu'en ajoutant toutes les trandies, eu commençant par le sommet , on aura

Cette somme est précisément la quantité S, du n^ 308 ; donc

. N(N4-1)(2NH-1)

Par exemple , supposons qu'il y ait 35 boulets sur le côté de la base ; on aura N = 35 , et alors il viendra , pour la pile en-

tiére,Z=5i>^* =14910.

PiUs rectangulaires. Dans ces piles , la base est un rectangle au lieu d'un carré, la tranche placée au-dessus est aussi un

26i LEÇONS d'algèbre.

rectangle qui a un boulet de moins sur chacun de ses côtés , et ainsi de suite jusqu'à ce que YSu arrive à une simple file de

boulets.

Représentons par p + i le nombre des boulets de la file supérieure. La tranche placée au-^iessous contiendra deux files de/; + 2 boulets ; la suivante en renfermera trois do /? + 3 boulets , et ainsi de suite. Si donc n désigne le nombre des boulots ^u petit côté de la base , et Z celui des boulets de toute la pile , on aura

pn{n+i) n(/i + l)(2« + l) = ___+ g

En réduisant au mémo dénominateur et fai^nt attention aux facteiùrs communs , il vient

Dans cette formule , p est le nombre des boulets , moins un , de la file supérieure. Si on veut y introduire le nombre des boulets du grand côté de la base, il faut observer qu'il est égal à/?4-/i, de sorte qu'en le désignant par N, on aura /7 + /i = N, d'où p = N — /i. Par suite la formule Z devient, en fonction des côtés N et 71,

Pour exemple, soit une pile dont la base ait 50 boulets sur son

grand côté, et 35 sur le petit : on fera N = 50 , /i = 35 ; et la for-

, , ,, 35X3GX(150— 35 + 1) ^^^^^

mule donnera Z = ^ = 24360.

Chaque espèce de pile pourrait être tronquée , c'est - à - dire terminée à une tranche composée de plusieurs files. Dans ce cas, la pile est encore facile à calculer ; car elle est la différence de deux piles complètes.

Ce serait ici le lieu de parler des nombres qu'on appelle nombres figurés , nombres polj^gones ,- mais comme ils ne sont qu'un simple objet de curiosité, je me contenterai de renvoyer à YulgÛre (J'Edler.

IJkÇONS D'ALGifiM. 26d

Fractions coDlinnes.

310. Définitions. On désigne sous le nom de Jractions con^ iinues des expressions de la forme

rf+etc..

dans lesquelles a, b^ c, d,,:,. sont des nombres entiers positifs. La suite de ces nombres peut d'ailleurs être limitée ou illimitée.

Pour plus de généralité , au lieu de l'unité, on pourrait prendre des numérateurs quelconques, et regarder les dénominateurs a, &, c,.... comme représentant telles quantités qu'on voudra; mais les fractions continues , telles que nous les avons définies , sont les seules, qui maritent quelque attention.

Je nommerai quotients incomplets ou simplement quotients les nombres a^b^c. . . tpii entrent dans la fraction continue, sans supposer pour cela qu'ils doivent toujours provenir d'une division. Les quotients complets s'obtiennent en prenant chaque quotient incomplet avec toute la quantité qui lui est jointe par le signe 4*. Tel

serait b + . Les fractions -r , —, etc., sont souvent appelées

c4-etc. b c

Jractions partielles o\k fractions intégrantes.

Si on prend successivement, dans la fraction continue, d'abord le premier terme, puis les deux premiers, puis les trois premiers, etc. , on aura différentes expressions qu'on pourra réduire à la forme des fractions ordinaires. Ces fractions sont désignées sous le nom de réduites ou Ae fractions com^ergentes,

311. Loi déformation des réduites. Pour les deux premières on a inunédiatement

On passera .à la troisième réduite en changeant dans la seconde b en 6 + - ) ce qui donne

S6f> LKCONi» u'aLGAbRE.

On obtieudraît semblablement la quatrième réduite en chang^eant c en c4- -. dans la troisième ; et ainsi des suivantes.

te m

Mais déjà on aperçoit que la troisième peut se former en multipliant les deux termes de la seconde par le quotient c , et en ajoutant respectivement à ces produits le» deux termes de la première : il s'agit donc de reconnaître si cette loi est générale. Or, cette question revient à examiner si cette loi, éiant vraie jusqu'à une certaine réduite, subsiste encore à Tégard de la suivante; car alors il est clair qu'elle devra s^étendre de la troisième à la quatrième, de celleci à la cinquième , et ^insi de suite indéfiniment.

Soient donc trois réduites consécutives quelconques rj ? tj?» 'Tfiî

nommons m le dernier quptient employé ({ans la composition

P" de y^,^ et supposons qu'on ait

Nommons - la fraction inU'grantequi, dans la fraction continue,

vient après le quotient m .• on aura la réduite qui succède à

--7,,en remplaçant m par m-h dans l'expression de — - ; et comme

^, Q, F, Q', ne contiennent point m , il est clair qu'on aura, pour * ' uvellc réduite,

Cette réduite este, ;\* «Mt formée d'après la même loi que précédente ; donc cette îoi est géuérale. Donc chaque réduite , partir de la troisième , se formera en niultipl^nt les \leux de la réduite précédente par le noui^eau quotient , et en qjoutat^^ reapecti^emeîit à ces produits les deux termes de V aidant-précédents -

LEÇONS d'algèbre. 2ê7

Quand on applique cette règle, il est commode de disposer

tons les quotients a^ h^ c,.... sur une ligne horizontale, et de

placer au-dessous d'eux les réduites correspondantes à mesure

qu'on les forme. Par exômple, si Ton donnait

serait celle-ci :

Quotients... .3, 5, %

Réduites., y -, — , -7, ^ 1 5 11

Lorsque la fraction continue n'est pas terminée, la loi d'après laquelle se forment les réduites prouve que les numérateurs et les dénominateurs forment deux suites croissantes jusqu'à Tinfini.

312. Les réduites sont aliematwement plus petites et plus grandes que la fraction continue,

La 1** réduite est égale à /z , et comme on néglige la partie fractionnaire qui lui est ajoutée, elle est évidemment <j:.

La 2*" est égale à a+ -.- j et comme on y donne à l'unité un di-

yiseur. & moindre que dans la fraction continue, il s'ensuit que cette 2* réduite est > j:.

La 3" est égale à ^ + — : or ici le diviseur ^ + - , d'après ce

qui vient d'être dit pour la 2% est une quantité trop forte;

donc la 3« réduite est < j:. Le môme raisonnement se continue in-

« définiment.

313. La différence entre deux réduites consécutives quelconques est égale à r unité dii^isce par le produit des dénominateurs des

deux réduites,

Supposons que r- , v^n TTit soient trois réduites successives;

d'après la loi démontrée (311), si on nomme m le dernier quo^ tient, on doit avoir

P"=:P'm + P, Q'=Qm4-Q.

26H LEÇONS d'algèbrk,

là

Gela posé , les rédactions ordinaires donnent

y p QP — pg

]r F Fm+P F PQ.-QP^

Ces deox différences ont des numérateurs égaux et de signes contraires. Ainsi, on peut déjà conclure que la différence entre deux réduites consécutives quelconques est égale , abstraction faite da signe, à un nombre constant divisé parle produit des dénominateurs de ces deux réduites. Or, si on.considère les deux premières réduites on trouve , . \

donc le numérateur constant de toutes les différences est égal à 1 , et Ton a

Le signe sera + ou — , selon qu'on retranchera une réduite de rang impair d'une réduite de rang pair, ou we ifenâ. ^

Comme les dénominateurs croissent jusqu'à l'infini , il est évident qu'on peut assigner deux réduites consécutives dont b différence soit aussi petite qu'on voudra ; et comme elles comprendront entre elles la valeur de la fraction continue totale, il y a dès à présent lieu de conclure qu'on peut trouver une réduite aussi approchée qu'on voudra.

Par exemple, si l'approximation doit être à -rho près, on poussera le calcul des réduites jusqu'à ce que le produit des dénominateurs des deux dernières soit au moins égal à 1000 , et alors l'avant-dernière réduite aura l'approximation requise.

314. Les réduites ^ formées ttapixs la règle (311), sont tou~ jours des fractions irréductibles.

P Si une réduite -r pouvait se simplifier, il y aurait un facteur k

^mmun à P et à Q, et X: devrait aussi diviser QF— PQ^ : or cela est impossible, car QF— PQ'= ± 1.

315. Chaque réduite est plus approchée de Ut ivraie valeur que la réduite précédefUe^

LEÇONS I>'ALGiBai. 269

Pour le démontrer, j'observerai d'abord que si on complète , dans chaque rédaite , le dernier quotient employé à la former, on aura des expressions égales à la fraction coutinne totale x , et qu'il sera facile de compMèr avec celles des réduites. Par exemple, soit la réduite

F'Fm+P

dans laquelle H est le dernier quotient employé. Si on pose le quotient complet w+etc. =j^, et si on remplace m par^ dans cette réduite, il est évident qu'on aura une expression égale à .r ,

et que la composition de cette expression la rend facilement corn-

P F parable avec les deux réduites 7: , 77,. *

Cela posé , en prenant les différences entre x et chacune de ces réduites il vient

P Py+P P ^^(QF-PQV

F py+p P^ PQ^— QF "" Q' ~ W^ Q' ~ Q'(Q>+Q)

Quelle que soit la valeur de la quantité QF — PQ', ces différences sont de signes contrarires $ et de .là on conclut , comme au n*"* 312, que la valeur de x est toujours comprise entre deux réduites consécutives.

Mais si on-se rappelle que QP'— PQ'= ±. 1 (313), les différences ci-dessus se réduiront à

X — rr = .. ^. — rr. , X — —

Q Q(Qy+Q)' Q' Q'(Q>+Q)'

Or, y étant un quotient complet , et Q' étant un dénominateur qui vient après Q, on doit avoir ^>1 et (^>Q,\ donc la deuxième différence , abstraction faite du signe , est moindre que la précédente. C'est cette propriété qui a fait donner aux réduites le nom de fractions convergentes, 316. Remarque. Le quotient complet^ est compris entre m et

d70 LEÇONS D^ALGÂBRI.

m + 1 : donc si , dans le dénominateur de la deuxième différence , on remjAace j^ par m , on aura une fraction trop grande ; et si oa y remplace y pai^ /» +1 , on aura une fraction trop petite. Donc , abstraction faite du signe , on a

•^ — ^ < ?v7/vzr7-7^ et ^— 7v>

ou bien , puisque Q'w + Q =Q",

•^ •" ?Y < ;v?v/ et ^ — Kf>

On obtient ainsi deux limites de la différence x — ^- La première

limite revient à cette règle déjà connue (313), cpi en prenant une réduite pour valeur approchée de x, V erreur est moindre que V unité divisée par le produit des dénominateurs de cette réduite et de la suivante. Mais la seconde limite montre en outre que l'erreur est plus grande que V unité divisée par le produit du premier dénominateur multiplié par la somme de ce dénomina' teur et du suivant, «

317. Chaque réduite approche de x, non-' seulement plus qu'aucune des réduites précédentes , mais encore plus que toute autre fraction qui aurait un dénominateur moindre que celui de cette réduite.

Nous venons de reconnaître que chaque réduite approche plus de jc que lei& réduites précédentes ; mais aussi elle a Tinconvénicnt d*étre exprimée eu termes plus grands, et Ton sait d^aîlleurs qu'elle n'est point simpliûable. Il est donc naturel de rechercher s'il existe une fraction conçue en termes plus simples qu'une réduite ) et qui cependant ne soit pas moins approchée de x,

Reprenons les réduites r^,^^} et supposons qu'une fraction -,

qu'on peut toujours regarder comme irréductible , soit plus ap-

prochée de x que -tû. Puisque x est entre ces deux réduites , mais

plus près de la seconde que de la première , il faudrait que la fraction - fût aussi entre ces réduite^. Donc on aurait , abstrac-

LKÇONS b'ALtiiBRK. 271

lion faite des signes des différences ,

Mais le numérateur Qx — Pô est un nombre au moins égal à 1 ;

donc 11 faudrait qu'on eût lé dénominateur QP> QQ', ou p>Q^.

F ainsi une fraction , pour être plus près de x que la réduite ^,

doit avoir un dénominateur plus grand (*).

Cette propriété imprime aux réduites un caractère qu'il importe de bien saisir. En général, quand on emploie des fractions dans les approximations , il ne faut pas croire qu'en prenant des dénominateurs plus grands on obtienne toujours un plus grand degré d'exactitude. Pour mieux me faire comorendrc^ soient les trois fractions ], ', ^. Si on les réduit au nmne dénominateur, elles deyiennent ^'é, H^ l\ ; et par-là on reconnaît qu'elles sont rangées par ordre de grandeur. Or, il peut se faire qu'une quantité inconnue x tombe entre l et 7, mais beaucoup plus près de 4 que des deux autres; et alors il est évident qu'il sera impossible, avec des septièmes d'unité , d'obtenir pour a: une approximation aussi grande que l . Cet exemple jmoutre qu'eu cherchant des valeurs approchées parmi les fractions qui ont un dénominateur donné, on peut quelquefois avoir un moindre degré de précision qu'avec des dénominateurs plus petits. Mais il est très-remarquable que cela ne doive jamais arriver quand les valeurs approchées seront choisies parmi lès réduites qui se déduisent de la fracticm continue égale à l'inconnue ; et c'est sur cette propriété qlie je voulais fixer l'attention.

318. Toute fraction continue périodique est égale à l'une des racines d/une équation du 2' degré à coefficients ration'nels.

Soient a, ^,.... les premiers quotients, qui forment la partie non périodique ; et soient /?,</,.... les quotients suivants, qui re-

(•) Il y a plus : si on ne considère que «les valeurs approchées qui soient toutes moindres, ou toutes plus grandes que x, on peut facilement prouver qa*ane traction, pour approclier plus de x qu'une réduite, mais dans le même sens, doit avoir un dénominateur plus i^rand que celui de la réduite si^iyantet

â7i> LEÇONS d'aloébfie.

viennent périodiquement. Posons

jf =s ^4* -, — ^iV = /? +

/i + etc. # p+eic. •

Il est dair que dans ces deus expressions on pourra^ remplacer par^ la suite /?+ etc. : de sorte qu'on aura

: 1 il

En considérant aîSi ces deux suites comme terminées k y^et en leur appliquant les règles relatives à la composition des réduites , on arrivera à deux équations de cette forme :

Or, si de la première on tire 1% valeur de^ en jt^i et si on la substitue dans le deuxième , il est facile de voir que réipiation résultante sera du 2« degré en jc. Donc etc.

La proposition inverse est également vraie : c'est-à-^ire que toute racine irrationnelle <ïune équation du 2« degré, dont les coefficients sont rationnels , est égale -à une fraction continue périodique. Cette proposition peut se vérifier dans un grand nombre d'exemples , et j'en donnerai un dans le n*» 321 ; mais, pour la démonstration générale , je renverrai au Traité de la résolution des équations numériques par Lagrange , ou aux additions du même auteur à \ Algèbre d'EuLER déjà citée p. 264.

319. Développer 'une quantité quelconque en fraction con^ tinue.

Représentons cette quantité par xi la règle générale consiste à faire successivement

a:=za+-,, x'=^b+—,, j/'^c + --^, etc.

tétant le plus grand nombre entier contenu dans .r, ^ le plus

i.iLnoNS d'algèbre. 273

giand nombre entier contenu dans x\ et ainsi de suite. Quand on saura trouver ces nombres, il est dair qu'en remplaçant successiTement x', x\....^x leurs valeurs, on aura le développement demandé ,

c + etc.

Lorsque x est une quantité incommensurable , la fraction coutmoe devra se prolonger indéfiniment : car si elle se terminait, ks réduites seraient en nombre limité et la dernière serait la valeur exacte de x \ donc x ne serait pas incommensurable. Au contraire, lorsque x est commensurable la fraction continue ifirrétera toujours , ainsi qu'on va le voir tout à l'heure.

320. Convertir une fraction ordinaire en fraction continue ^ \ H former ensuite les fractions consfergentcs.

Soit une fraction ordinaire

M par N : en nommant a le quotient et R le reste , on

jUMaons N par R : en nommant b le quotient et R' le reste, on

-.= 6+-, dou jj = --5-,.

misons encore I* par R' : en nommant c le quotient et Br et !, on a pareillement

R ^R" ., . Rf 1

g;=C + 5„ dou ^ = -^,.

continuant ainsi ces opérations, qui sont les mêmes que si on lit le plus grand commun diviseur 4e M et de N , on arrinécessairement à un reste nul , puisque les t«&\»& %x3^t«&%\V&

sont des nombres entiers décriMssants. Sapposons, poitr fixer les idées 9 qu'on trouve , sans reste ,

Alors il est facile de voir qu'on aura sticcéssiremem