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AU misreti des quotients a^b, c,.... les réduites» où fréctiohis obbvei^ntëà se calculeront comthe il a été' expliqué h<» 311. Supposons ) pir exemple, que la A-action donnée soit

Yoici le tableau des calculs :

Divisions < 86400

Quotients 4, 7,1,3

Réduites.

La fraction donnée étant conçue en nombres assez considérables, on pourra, si on le juge convenable, la remplacer par une de ces réduites ; et alors on sera assuré qu'aucune fraction plus simple ne pourra en approcher davantage. En prenant la ré-

duite -r ^ Terreur serait <

321 . Réduire en fraction continue la quantité irrationnelle K a^'H-l, dans laquelle a est un nombre entier quelconque.

Le plus grand nombre entier contenu dans va^ +1 est évidemment a. £n conséquence on posera

Ka*+l=a+->, d'où j/=

Pour extraire les entiers contenus dans jd^ on

d'abor4

Liçoivs d'aloébri. 275

les deux termes de cette yalear par a + V^F^Â , et on lui donne cette forme pins simple

Alors il est clair que 2a est la partie entière de àf\ on fera donc

' j/=a+J/?+î=2a4--;7, d'où a/' =

Cette vatettr de x" étant la même que celle de y, 11 s'ensuit* que l^it" + l sera exprimé {lar la fraction ccmtinue périodique

2à+etc.

En iiraitànt de la même manière la racine carrée d'un nombre entier quelconque qui n'est pas un carré exact i>On trouyera toujours une fraction périodique ; mais il pourra se faire que la pé- ^ode se manifeste plus tard. Cette proposition rentre dans celle ' qui est énoncée à 1 1 fin du n*" 318, et dont je n'ai point jugé à |irqpos de rappoi ter la démonstration.

322. On propose d'évaluer le rapport approclit de la circon-^ férence au diamètre en fractions , dont chacune moit telle. qiCau^ cune fraction plus Simple ne puisse être plus approchée,

B'après la propriété démontrée n'' 317, cette question reyient à déyelopper en fraction continue de rapport la circonférence* au diamètre, et à calculer ensuite les réduites, tljiii'existe 'point de méthode directe pour opérer ce développement, mais œï y suppléa en se servant de la valeur approchée , en d^imalës , (lu repart dont il s'agit. Si on désigne par tt ce rapport et qu'on se borne aux dix [Hremiéres décimales , on a

Si on ajoute une unité à la dernièî*e décimale, la valeur exacte de TT sera comprise entre les deux fractions

10 OÔO 000 000 ' 10 000 000 000'

En conséquence, on les réduira toutes deux en fraction continue ; et W iib prenant que la (lartie commune aux deux développe-»

ments , on sera assuré qu'elle doit appartenir aussi à celui du rap*-< ]port TT. Pour ne point j^rdre de Tue Tobjet principal , j'admettrai ici tîctte assertion comme démontrée.

Si on effectue pour chaque fraction les divisions successives , comme au n"" 320, on trouve ces deux séries de quotients :

Ne cpnsidérons donc que ceux qui sont communs à ces deux suites, & partir du premier sans interruption ; puis formons les réduites correspondantes : on aura ainsi les valeurs cherchées. • ^É

Quotients 3, 7, 15 , 1 , *292 , 1 , 1. ^

*^^^ î' 7 ' 106' 113' "33IÔ2' "33IÏ5' 66 317'

La 1'* réduite n'est autre chose que le quotient 3 , auquel on donne Tunité pour dénominateur ; et la 2^ est égale à 3 + ^ .

La 3' réduite i^ê est formée en multipliant les deux termes d#a la précédente par le 3* quotient 15 et en ajoutant respectivement aux produits les termes de ravant-précédenté. Calcul analogue pour la 4* réduite elles suivantes (31 1).

Ces diverses Tf actions sont alternativement plus petites et plus grades que la vraie valeur de tt. Ainsi la fraction -,- sera trop grande ; c'est le rapport trouvé par Archiméde. D'après le n* 316 , Terreur qu'il comporte est entre -r^ et ' ^,, c'est - à - dire

fintre -^ et —.

' ^Jrattuoit — ^ esile rapport d' Adrien Métius. Il est encore plus grand que le rapport exact, mais il est beaucoup plus approché que celui d'ARCHiMÉoE : car il ne laisse qu'une erreur comprise entre , ' , — et ., ,' ., — r , c'est - à - dire entre ryn^

« ii3X^'<'^ 110(1 10^-33 loj)^ 374o5a6

3nâ3jQ5*

Le rapport -j^, placé entre celui d'ARCHiMèoE et celui de Métius, paraît avoir été connu des Indiens; il n'est guère plus

simple que —, mais il est beaucoup moins approché : car Terreur

est entre . ' > et ,^, J. ,x, c'est-à-dire, entre -^ et -r^.

iopXiiS io6(ioo-f>ii3)7 ' 11978 93ii4

LEçoKS d'algèbke. 277

Si on veut comparer ces rapports avec la valeur de n rapportée au commencement de ce n*, ce qu'il y a de mieux, c'est de les réduire en décimales. On trouve

On voit donc que le rapport d'ÀRCHUiÉDE est en erreur à la 3' décimale , celui de Métius à la 7* seulement , et le rapport intermédiaire à la 5*.

D'un autre côté , si #n cherche les valeurs approchées de v par des polygones inscrits et circonscrits en prenant le carré pour point de départ , on reconnaîtra qu'il faut s'élever aux polygones de 128 c6t^ pour avoir deux décimales exactes, à ceux de 2048 côtés pour en avoir quatre , et à ceux de 8192 pour en avoir six. Par là on voit de quels polygones dépendent les trois rapports cidessus. Je n'ai rien dit des autr^ rapports parce qu'ils sont beaucoup plus compliqués, et qu'ils n'(mt d'ailleurs aucune célébrité. 323*. 'Je me suis appuyé , dans le n* 322 , sur une assertion qui

I ^jhesoin de démonstration , et je proposerai la suivante.

i^RSapposons que x soit une quantité comprise entre it et t', et qa'«en développant u,Uy x^en fractions continues , on ait

1 f IL 1 ,. . 1 *

u^a+—,^ u!z=b+^j u"=c+-;^, etc.

^=a+p, ^ = *+p>, (/'=c+^,, etc.

•^=^'+3» •3/=6'+3;, j/'=C+-3;7, etc.

jC X •*,

Puisque x est entre u et m, et que la même partie entière a se trouve dans u ot ^, cette partie entière doit aussi se trouver dans x ;

donc a'= a. De plus, il est clair que —, doit être entre -7 et -r ,

et que par suite x! est entre u' et ^ : ainsi on peut raisonner sur u', p', a/, comme sur u, f , jt, et on conclura que 11'=^ 6. Ensuite on conclura encore que c'= c. On poursuivra de même ; et tant qu'il y aura des termes communs aux deux premières fractions continues, on reconnaîtra que ces termes doivent également se bouv^ dans la troisième : c'est ce qu'il fallait démontrer.

-.irf

â78 LsçDirs d'algIsee.

324- Comme deroière application des fractions continnes, je donnerai le procédé qu'on en déduit j^our résoudre en nombres en^ tiers r équation indéterminée

Les nombres a, b^ c sont entiers, et les deux premiers sont sup« posés n'avoir aucun facteur commun Concevons qu'on ait développé

1^ mpport -7 en fraction copti&ue , et qu'on ait calculé toutes les

réduites : la dernière ne sera autre que ce rapport même. Re-

tranchon&^n l'avant- dernière que je re^ésenterai par t-,* Le ■

Quméfateur d^ la différence ^TSiab'^ba\ et par la propriété da^ p^'dld, on a

[2] ab'^ba'=±i.

Multipliée par ± c , cette égalité devient

ax ±b'c-{'bx T a'c:=C',

donc on satisfait k Téquation [1] en prenant ^ = ±: bfc^y = T a|^^ Cette solution étant connue, on sait (137) que toutes lesauffl^jl sont données par les formules j

x=:±b'c — btj ^= T a'c+aty

t désignant un nombre entier quelconque. On prendra le signe supérieur ou le signe inférieur, selon qu'il y aura + ou — dans l'égalité [2]; ou bien encore, ce qui est la même chose, selon

que la réduite y sera de rang pair ou de rang impair.

Exemple. Soit l'équation

Si on réduit --— en fraction continue , on trouve

Quotients... 3, 5, 2, 7.

3 16 35 261 Réduites.... j, - , -, .

Si on prend le numérateur de la différence %V — -tÎ > et si on fait attention que *ri- est une réduite de rang pair, on aura

LlçM D'ALGiBBI. 279

Donc 9 en multipliant par 117,

donc on satisfait à l'équation [3] en faisant a:=llxll7=ia87 et >^=35x 117=4095 , donc enfin les valeurs générales de x' et dP y smt

S on fait la division de 1287 par 8â et celle de 4095 par 261 , on trouve 1287=82X15+57 et 4095=261x15+180. Alorà, en remarquant que t est un nombre entier quelconque, on pourra écrire plps simplement ,