CHAPITRE XIII

tWÈOUE DBS LOGARITHMES. — QUESTIONS SDR LES INTÉRfiTS COMPOSÉS.

Dénoition des logarithmes. — Leurs propriétés. — Utilité des tables.

325. Soient deux progressions, l'une géométrique , commisnçapt par 1, et l'autre arithmétique, commençant par Q : telles que ceUesd , par exemple ,

H 1 : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64 : 128 : otc. i 0 . 3 . 6 . 9 . 12 . 15 . 18 . 21 . etc.

^ Si on les compare entre elles , on aperçoit facilement qu'cp multipliant l'un par Vautre deux termes quelconques de la première , et en ajoutant ensemble les termes correspondants de la seconde, on trouve encore deux termes correspondants de ces mêmes progrèsdons. Ainsi , 4X16=64 , .6+12=18 ; et l'on voit qu'en effet 18 répond à 64. De cette manière , une multiplication se trouve effectuée au moyen d'une a4dition.

2B0 LBÇOffS d'aIHbri.

Cette remarque si simple est sans doute fort andemie ; mais c'est le génie de Néper , baron d'Ecosse , qui en a fait sortir la théorie des logarithmes , une des plffi utiles découvertes modernes. Elle fut publiée en 1644, sous le titre de Mirifici Logarithmorum ca-^ nonis Descriptio. Je vais Texposer ici avec tous les développements convenables , en me tenant le plus près possible des idées de l'inventeur, sans toutefois employer la considération du mouvement dont il faisait usage.

Le savant Écossais commence par observer que les nombres , dans toutes les nuances de grandeur , peuvent être regardés comme les termes d'une progression géométrique ; et c'est là un point qu'il importe de bien comprendre. Considérons la progression

H l:l+a:(l+a)»:(l4-a)3: etc.

Si on suppose que a soit une très-petite quantité , les termes croîtront par degr^ très-rapprochés ; et comme on peut diminuer a indéfiniment, on doit regarder , à la limite, les termes comme variant d'une manière continue. A la vérité , on ne peut point écrire une progression dans laquelle cette continuité existe; mais l'esprit la conçoit et cela suffit : en conséquence, on pourra considérer tous les nombres plus grands que 1 comme compris dans la progression géométrique. Je laisse de côté ceux qui sont moindres, pour y revenir tout à rheure.

En même temps, Néper prend une progression arithmétique

7 0 . p 2p . 3p . etc.

dont les termes croissent, à partir de 0 , par différences aussi faibles qu'on voudra; et alors, envisageant les termes de cette suite dans leur liaison avec ceux de la première , il les désigne sous le nom de logarithme i.

Ainsi, les logarithmes des nombres sont les termes (Tune pro^ gression arithmétique commençant par zéro , qui correspondent à ces nombres considérés comme faisant partie d^une progression géométrique commençant par V unité,

326. Cette définition semble ne point attribuer de logarithmes aux nombres <1 : et si au lieu de prendre la progression géométrique croissante , on la supposait décroissante , ce seraient les nombres >1 qui n'auraient point de logarithmes. Pour fixer les idées , je raisonnerai toujours dans la première hypothèse ; et

LBçoirs d'algèbke. S81

don, pour qne la progression géométriqae embrasse aussi les nomtares <11 , il suffit de la concevoir prolun^ au-dessous de Tunité, es qui revient à diviser Tunité par les puissances successives de la nison !+«.

Mais quds seront les logarithmes de ces nombres , et comment ontiniier la progression arithmétique au-dessous de zéro? On peut bieD fiiHiner les termes de cette progression dans un ordre rétrograde , en retranchant la raison de chacun d'eux ; mais quand on est arrivé à zéro, la soustraction n'est plus possible, et il semble que la progression doive s'arrêter à ce terme. Cette difficulté disparaît sur-le-champ par remploi des quantités négatives, qui s'introduiraient ici naturellement si elles n'étaient déjà connues : c'est-à-dire qu'on mettra le signe — devant les multiples de la raison qui devraient être retranchés de zéro, si cela était possible. On engendre ainsi des termes négatifs , au moyen desquels on fait des œaire la progression arithmétique au-dessous de zéro , et qui sont les logariUimes des nombres moindres que Funité.

En conséquence, si on écrit à la gauche des deux suites leurs tennes descendants, ces suites pourront se présenter ainsi

et alors la seconde donne les logarithmes de tous les termes de la première. Il ne faut pas oublier qu'il entre dans la définition des logarithmes, comme condition essentielle, que les termes 1 et 0 doivent toujours se ^correspondre , ce qui revient à dire que log 1=0.

Dans les deux suites, la partie ascendante augmente jusqu'à l'infini ; mais , dans la première , la partie descendante tend indéfiniment vers zéro , tandis que , dans la seconde , elle croit jusqu'à Finfini négatif. Donc log x = oo , et log 0= — oo.

Ces deux suites mettent encore en évidence cette remarque , que si un nombre quelconque n est placé à une certaine distance de

Tonité dans la partie ascendante de la première , le nombre — doit

occuper le même rang dans la partie descendante. Uonc ce dernier nombre a le même logarithme , mais pris négativement $ donc

log- = — logw.

382 LEçoHs d'algèbbe.

327. Pftflsons aux Fpropriétés des logarithmes. La propriété fondamentale est celle ^i a été remarquée n^ 325 , et que je vais démontrer généralement. Elle s'énonce ainsi : Le logarithme d^un produit est égal à la somme des logarithmes de ses fac^ teurs, ^

1^ Supposmis que ^ et 6 goient deux nombres appartenant à la partie ascendante de la progression [1]. Par exemple , prenons

a=>(l + a)% ^^a-fa)':

on aura

Dans la progression [2] , les logarithmes de a et 6 sont 2|3 et 6|3 ; donc loga+log6=:(5+2}p. Or (54*2)j3 est le logarithme de (l+a)^+*; donc

log âè s=: log ^z4:log 6.

2^ Supposons a dans la partie descendante , et b dans la partie ascendante , mais plus loin de Funité que a. Soient

on aura

Mais loga=— -2|3, logi=5p; donc» logtf+logé = (5—2)13 : et comme (S*— 2)j3 est évidemment le log de (14» a) ^"S on conclut encore log a6= log et + log ^ . »

3^ Supposons a dans la partie descendante , et b dans la partie ascendante, mais plus près de 1. Soient

on aura

a=77T-rs, 6 = (l+ar:

ab =

Mais logû=— sp, logi=2p; donc logiz+log6 = — (5— 2)p,

ce qui est le log. de ,, . ,> , ; donc log ab = log a-f-log b.

LEÇONS D^LGÈBRK. 283

4^ Enfin , prenons les deux nombres a et b dans la partie desoendante , et soient

^*=— ri. 6 =

on anra

(l + ajS+=''

Id log fl=— 2p, log è=— SP; par suite on a log^z+logfcss — (34*5) p , ce qui est le logarithme dû produit ci-dessus ; donc en- . core log ab = log a+log b.

Cette égalité étant Traie dans tous les cas , changeons-y bea bc; die devient

log abc = log a + log bc = log ^4* log b + loge.

On peut continuer ainsi , quel que soit le nombre des facteurs ; donc

k logarithme d'un produit etc.

328. Posons T = ^9 0uaura 6^=^; donc log i!»4^ log jrs= log /z,

ffoù

logy = loga— log^.

Donc le logarithme dun quotient est égal au logarithme du di» vi4ende moins celui du dipiieur.

329. Si un produit est composé de n facteurs égaux à a , on doit ayoir

loga" = loga + loga+...=:nloga. x

Pour étendre cette fcMmule aux exposants fractionnaires , on po-

sera jc=:a*j d'où j:"=^'". Par suite logj:" = log^"»; donc, en Tertu delà formule ci-dessus, nlogjr=:/72log a; et de là on tire

log j:= — loga.

Si a est affecté d'un exposant négatif — n , on remarquera que a-*X«"= 1 ; donc (327) log ât-"+log a»=log 1. Or log 1=0 ; donc log a-»= — log «"= — n log a.

Donc le logarithme d^une puissance quelconque (fun nombre est égal au produit du logarithme de ce nombre par l'exposant de la puissance.

i 180. Soit **» l^a, on a r" =ifi ; donc , par la règle précédmte , ^10fr=1osaf «fou

'' Dodo' fa btgariAme de la racine d'un nombre s'obtient e\

b legaritkHu du nombre par rindice de la racine. '

• 881. Gn |fe9priélés montrent clairement qae si l'on avait de<

' ^Ufl»OÙ l'on pût trouver tous tes nombres , et à c6té leurs loga-

.lithiDH, il ferait facile de ramener la multiplication à l'addition, la

~ ' ' n i la Boastraction , la formation des puissances à la mul-

, et l'extraction des racines à la diviHoa. Par exemple ,

de 887, OD le diviserait par 7, et on aurait ainsi le log. de Ksf? ; < donc, en dicKhant dans les tables le nombre correspondant, on aurait la nefaie deanandée.

' T«Ut im làgtiiiina. — Dv ^ffiranU tjtlima taatàiitit d'iprii 11

— > Sjitimo ntpïT-

332. On CMnprend bien que les tables ne peuvent pas renfermer j les logarithmes correspondant à toatea \» Boances de grandeur qoe peuvent avoir les nombres : car ces lAiances scmt infinies , mÂne entre deox limites très-rapprochées. Slles ne peaveot pas ncm ^os contenir les logarithmes de tous les nombres entiers : car la lulte de ces nombres est illimitée. Mais on y mettra ceux des nombres entiers depuis 1 jusqu'à nue certaine limite , jusqu'à 100000, par ezemi^ ; et comme tontes les opérations numériques se ramènent à des calculs de nombres entiers , ces tables seront encore d'une îmmense utilité. Je vais exposer leur construction , en suivant tonjours les idées de Nâpin.

D'après nos explications , pour que la progression géométrique embrasse les nombres plus grands que t , dans tous les étais de grandeur , îl faut la concevcùr comme formée de termes qui croissent d'une manière insensible à partir de 1 ; et, pour avoir leurs logarithmes , il faut aiissi concevoir la pn^ression arithmétique comme composée de termes qui varient par d^rés inseosiblet , à partir de zéro.

LEÇONS d'algèbmc. 285

A leur wigiiie, les accroissements simultanés que peuvent rece- Toir les termes 1 et 0, sont d'une petitesse inappréciable; mais, quelque petits qa*ib soient, on conçoit qu'on peut établir entre eux on certain rapport, lequel est entièrement arbitraire. Ainsi, lors* que ces accroissements commencent à naître , on pourra supposer que odai du logarithme 0 est double, triple, etc., de celui du nomtare 1. Ce rapport est appelé , d*une manière générale, le Module des logarithmes, et je le désignerai par M.

Cela posé, donnons au terme 1 de la progression géométrique un accroissement très*petit », mais cependant appréciable en nombres. L'accroissement correspondant du terme zéro de la progression arithmétique sera à fort peu près égal à M<» ; et Ton pourra prendre, pour les deux progressions , celles-ci :

[1] ff 1 : l + w : (1 + 0))' : (!+»)' : (!+»)* : Ctc.

[2] -^ 0 . Mo> . 2Ma> . 3Mca . 4M&> • etc.

Noos avons dit que le rapport ou module M peut être pris à volonté : par conséquent , selon les valeurs particulières qu'on lui attribuera, on aura différents systèmes de logarithmes.

Les logarithmes que Néper a publiés étaient tirés des progressions

[3] f^ 1 : l+ù> : (14-w)' : (l + a))^ : etC.

[4] T 0 . w . 2w . 3à) . etc.

Cda revient à supposer M=l , et cette hypothèse se présentait d'ellemême comme moyen d'éviter les multiplications par M.

Les termes de ces deux suites varient très-peu rapidement , de sorte qu'en les prolongeant Tune et l'autre aussi loin qu'on voudra, on est sûr de trouver, dans la première, des termes égaux aux nombres entiers 2,3, etc. , ou si approchants que la différence sera négligeable. Les termes correspondants de la seconde pourront donc être pris pour les logarithmes de ces nombres, et ce sont eux qu'on devrait écrire dans les tables.

Par là , on voit que ces logarithmes ne sont pas exactement ceux des nombres à côté desquels ils seraient inscrits. Mais il existe bailleurs une autre cause d^inexactitude , laquelle résulte de ce qae w ne représente qu'approximativement l'accroissement que doit prendre le logarithme 0 , lorsque &> est celui du nombre 1. Toutefois, cette supposition approchera d'autant plus de la vérité que &> ^ une quantité plus petite.

Les logarithmes dont je yiens de parler , qui répondent au module M = 1 , se nomment Népériens ; on les appelle aussi hyperboliques,, pour une raison qui ne peut point se placer ici. La comparaison des deux suites [2] et [4] démontre sur-lechamp que, pour transporter les logarithmes népériens dans Uh système quelconque^ il suffira de les multiplier par le module de ce système,

333. Je placerai ici deux valeurs assez souvent employées. L'une est le logarithme népérien de 10} et l'autre , qu*on représente ordinairement par Cy est le nombre dont le logarithme népérien est 1 . Ces valeurs sont :

Log. nép. de 10=2,302 585 092...,

D'après ce qui a été dit plus haut sur les suites [3] et [4] , il ii*y a aucune difficullé à concevoir comment on a' pu les calculer.

334. On a fréquemment à multiplier et à diviser par 10, 100 ^ 1000 , etc. j par conséquent, en construisant des tables dans lesquelles 10 aurait 1 pour logarithme , ces opérations se réduiraient * à une addition ou à une soustraction de quelques unités entières. Cette remarque n'avait point échappé à Néper; mais la mort Tempécha de construire ces nouvelles tables , et ce fut Briggs , professeur d'Oxford , à qui il en avait recommandé instamment 1 exécution, qui publia les premières en 1624, sous le titre de Arithnietica logarithmica ^ avec une introduction très -développée. Ces logarithmes sont ceux dont on fait toujours usage dans les calculs numériques : on les appelle indiOféremment logarithmes de Briggs , ou logarithmes ifulgaires.

D'après la remarque du n^ 332 , on voit que les Icçarithmes népériens une fois calculés , on les fera passer dans le nouveau système, en les multipliant tous pat* un module convenable M. Ce module est facile à trouver : car , puisque dans ce système le logà-^ rithme de 10 est 1 , on doit avoir

Mxlog. nép. delO=l; .

donc , en divisant 1 par log. nép. de 10 , rapporté plus haut , on connaîtra le modulé M ; savoir :

LEÇONS D^LGÉBRE. 287

Des diflPérenU systèmes de logarithfhes , eoilsidérés d'après leurs bases. — Syslème

' de Briggs.

335. Si l'on suppose toujours qu'on s'élèye ou qu'on s'abaisse à partir de 1 , en suivant une jprogression dont les termes varient gécmiétriquement d'une'manière continue , on peut lui adjoindre une infinité de progressiotis dont les termes croissent , à partir de zéro, arithmétiquement et aussi d'une manièraa)ntinue. C'est pour ortte raison qu'il peut ^xist^^ une infinité wUystènics de logarithmes* mais toute indétermination disparait des qu'on fixe le nombre auquel correspond ul^ certain logarithme, qu'on peut d'ailleurs ckdsir arbitrairement. Par e^mple , on peut donner le nombre aùiqaél on attribue l'unie pour logarithme , et c'est ce nombre qa'on noinme la hase du ^ystèÂe.

336. Sous ce point de i^e , le système qui se présente tout d'abord, comme le plus simple, est celui dont îaNbase est 10 , et je vais m'eh occuper spccia^emenpt. •

i)ans ce système, les Ib^aritlftnes de 10, 100, 1000, etc., sont i , 2 , â , etc. , et en général lOg 10^ = A ; de sorte que ces logarithinies, qui doivent reveçir si cuvent dans les calculs, sont toujours connus sans aucune peine. «

Dé 1 à 10, les nombre ont^leurs logarithmes compris entre 0 et 1 ; de Ibà 100, entre 1 et 2 ; rfe lOQà 1000, entre 2 et 3, etc. Or, la pérlie entière d'un logarithme 'è^ysidxxim^caractèristiques .• on peut donc conclure que, dans le système dont la base est 10, /a caractéristique du logarithme d*un timbre a autant d'unités , moins une , quHl y a des chiffres *duns le nombre.

337. Lorsqu'on multiplier ou qu'on divise un nombre par 10, 100, 1000, etc. , son logarithme doit augmcnter«ou diminuer du logarithme de 10 , 100 , 10^ , etc. , c'est-à-dire, de 1 , 2 , 3, etc. Donc , tant que le nombre restera plus grand que 1 , la partie décimale du logarithme sera toujours la même , et il n'y aura que la caractéristique seule qui changera.

Ainsi , en prenant pour poipt de départ le nombre 658 , on aurait

log 659=2,818225 9, log 65,8 = 1,8182259, log 6,58=0,8182259.

288 LEÇONS o'ALOiBM.

Si on continue la division par 10 , il vient

log 0,658 =0,8182259— î=— 0,1817741, Iog0,0658 = 0,81«2259-n2=— 1,1817741, etc.

Mais on a troavé plus commode de ne^ point effectuer les soustractions , et de donner à la partie décimfde une caractéristique négative qu'on écrit ainsi : 1, 2,.... Par exemple, 2,8182259 ne sera qu'une abréviation ^ — 2+ 0, 81 8 225 9 . '

En admettant ainâ des logarithmes dont 1^ caractéristique seule est négative , il sera permis de dire qu'ihi nombre décimal étant donné, on peut y changer à volonté la plaie de la virgule, sans que la partie décimale de son logarithmesoit altérée ; et en même temps on voit qu'il sera toujours facile de rétabUr le Caractéristique à la simple inspection du nombre donné/

338. Expliquons maintenant comment^)n peut calculer les logarithmes des différents nombres , . depuis 1 jusqu'à 100000 , par exemple. Dans le système que nouf considérons, 1 et 10 sont deux termes de la progression géométrique auxquels répondent les termes 0 et 1 de la progression arithmétique. Pour avoir des termes qui varient par degrés trés-rapprochés, insérons un très-grand nombre de moyens géométriques entre i et 10 , tout autant de moyens arithmétiques entre 0 et 1 , et ."prolongeons les deux progressions jusqu'à ce que la «première atteigne 100000. Dans cette progression, on trouvera des termes qui différeront si peu des nom*' bres entiers 2,3,4, etc. , qu'on pourra négliger la différence , et prendre les termes correspondants de la seconde pour les loga- rithmes de ces nombres. , I

Soit un nombre n qui tombe entre deux termes do la première, ? auxquels corrélspondent / et l' dabs la ^conde. On peut concevoir r par la pensée qu'en augmentant de plus en plus le nombre des moyens insérés, on s'élève dans les. deux progressions par toutes les nuances possibles de grandeur. Il est clair qu'alors, dans la seconde, le terme correspondant à n serait entre / et /', et par consé-» quent , en prenant teg «=/, Terreur sera </'— /. Par exemple, en admettant que les termes de la progression arithmétique crois- ' sent de millionième en millionième, elle fournirait les logarithmes ' avec six décimales exactes.

Pour réaliser cette supposition il faut que 10 ait 1 000000 termes

LEÇONS i/algi^brr. 303

coté, on conclut que 40 répon/lrait à 0,3 ; donc ^ rc^nd à 0,03. En cons6q!io;ico , le nombre cherché se compose des chiffres 3141593; donc, en tenant ciflP^c la caractéristique il ^ ce nombre =314,1593. ^^fSS^*^

On pourra disposer les calculs comme on le voit ci-dessous :

Pour 0,4971371 31415

1" reste 128

^ a** reste 4

J^ombre cherché 314,1593.

Qnâlbd la caractéristique est négative , cela ne change rien aux calculs. On n'y fait d'abord aucune attention , mais on y a égard à la fln pour déterminer le rang des plus hautes unités.

III' CAS. On suppose que le logarithme donné L est entièrement négatif. ^

Soit L= — 1,87^145. Prenons ce logarithme positivement, fet cherchons le noAbre correspondant N. En divisant l'unité par N , on aura le nombre cherché : car le Ic^arithme de l'unité étant Q, il est évident que le logarithme de ce quotient sera égal à — log N ou L.

Mais il vaut mieux éviter la division de 1 par N, en ramenant le logarithme donné à un autre dont le caractéristique soit seule négative : or, c'est ce qu'on fera en ajoutant 2 à L, et en prenant ensuite 2 pour caractéristique. En effet , on a

Alors on opère comme dans le second cas , et on trouve le nombre î rï^ cherché =0,01332556.

Compléments aril)im«*lîquo<:. — Eiempi^s des coIcdIs ofFectués par lognrithnififl. — Ri»;oti]lion

<\n équations oxponenllollest

351. Souvent dans les calculs on doit ajouter des logarithmes, et de leur somme retmncher d'autres logarithmes. Je vais expliquer comment on peut réduire toutes ces opérations h une seule addilion, au moyen des coinpléments tirithmvtiques.

Toutefois on conçoit qu'elle peut approcher assez près de cette limite ; et, pour obvier à cet inconvénient, on calculera les logarithmes des nombres premiers avec 8 décimales. AJors, en les ajoutant pour avoir ceux des nombres composés, l'erreur ne surpassera point 2 unités du 7^ ordre, et par conséquent elle nç sera point d'une unité sur la 6® décipaale C). *

340 Quand op détermine les système^ de logarithmes par lepfs bases, le passage d'un système à un autre est toujours facile. En désignant par a une quantité aussi petite qii'on voudra , tous les nombres se tireront de la progression géométrique

TT 1 : 1+a : (l + ar : (!+«)' : CtC

SuppQSons que, |3 et | étant aussi des quantités de tel degré de petitesse qu'on voudra , les logarithmes des deux systèmes que Ton compare soient pris respectivement dans les deux ]fgMritfl|«^ arithmétiques ht':'- /

7 0 . p . 2p . 33 . etc. 7 0 . 7 . 27 . 37 . etc.

On voit sur-le-champ que les logarithmes d'un même nombre , dans le second système et dans le premier, ont enlre eux un rapport constant : de sorte qu'en appelant jc' et x ces deux logarithmes, et K ce rapport constant , on aura

Quant au rapport K, il suffît, pour l'obtenir, que les logarithmes d'un seul nombre soient connus dans les deux systèmes. Or , dans le premier, le logarithme de la seconde base est censé connu , et , dans le second , il est égal à 1 ; donc , en appelant a et a' \qs deux bases , et désignant par log a le logarithme de a' dans le premier système , on aura 1 = K log a' d'où K = , -.

log a!

(*) On ne peut point afiirmer qu'elle sera moindre qu'un demi-millionième Par exemple , supposons qu'après l'addition les huit décimales soient 0,4723-2149. La partie négligée pouvant s'élever presqu'à 2 unités du 7« ordre, l'erreur commise , en prenant les six premiers chifl'res 0,4723^1 , atteindrait presque 7 unités du 7" ordre ; mais , comme on l'ignore, on n'est poiivt autorisé à augnientcr d'une unité le C)*^ chiflVc.

LEÇONS D'iLGiBRB. ^ 305

Mais il est plus simple d'employer les compléments , oonûM on le voit ci-après : ■

log "7340 = 3,8656961 . /

log 3549 = î)ÉiOii>0/ X3yj7^'/^^<5

comp. J^ 681,8 = 7,1663430 ^

comp. Tog 593,1 = 7,2268721 Som. —20 on log Aif 1,8090172 log 100j:=3,8090ta|.