Soit proposé d'évaluer à 0,00001 près le quotient' ^Êr
• • lKl46298y
En pr^iant, d'après les règles, le log. du numérateur et celui du dénominateur, puis retranchant l'un de l'autre, il vient
, log ^= * log 146298— I log 988789. •
Voici le tableau des calculs :
î log 146298 \ log 988789
iog 98878 0,9950997
pcMir 0,9 40
log 14629 0,1652146
pour 0,8 238
log 146298 5,1652384
Iiroduit par 4 20,660953b
quotient par 5 4,132190^
\ loff 146298=111321907
comp. \ log 988789 ='5,0040803
produit par ^ 29,9755185 y
quotient parA 4,9959197 ^
som. — 10 oag9V= 1,1362710 log 100000a'=4,i3t;2710 100000.r = 13686
29^ LEÇONS bALCÉURE.
que positives, les valeurs correspondantes de y comprendront toutes les nuances de grandeur entre zéro et TinGni.
En premier lieu , soit a^\.. Si on donne à j? des valeurs positives croissantes à partir de zéro, telles que ,V, /^,... il vient
y^a\ a'"^, a''\ a~% etc.
lO
ou , en faisant V^ = a\
^=1, d\ ci''^ a!^^ etc.
cC est ici une quantité plus grande que 1, et par conséquent cette suite est croissante jusqu'à l'infini. De plus, il est clair qu'en faisant augmenter x par différences plus petites que -^ , on peut rapprocher autant qu'on voudra les valeurs de j^. Posons X := — 2 , on aura
Or, d'après ce qui vient d'être dit, si on fait passer z par toutes ! les valeurs positives à partir de zéro, ^' croîtra d'une manière continue depuis 1 jusqu'à TinGni ; donc le quotient de 1 par a- décroîtra depuis 1 jusqu à zéro. De là on conclut que les valeurs négatives de X, entre zéro et l'infini , font prendre ky toutes les grandeurs
descendantes depuis 1 jusqu'à zéro.
En second lieu , soit « <; 1 , et faisons a = —, : on aura
Ici a' est>l : donc, selon qu'on fera croître x positivement ou négativement, a'^ augmentera à partir de 1 jusqu'à 1 infini ou diminuera à parlirde 1 jusqu'à zéroj et par suite^ devra décroître depuis i jusqu'à zéro ou croître depuis 1 jusqu'à l'infini.
Concluons donc que tout nombre, au Ire que l'unité, peut être pris pçmr base d'un système de logarithmes.
La 'discussioii pncèdonlc fait Vi>ir en outre : 1" que, dans to s les syslèiiies, h' loî^^arithme do 1 unité est égal à zéro, et celui de la basî égal à î'uiiilé j 2" que, dans les systèmes dont la base est >1, en alog(»;= 00, et log. 0=— od; 3*>que, dans ceux dont
LhÇOINS D^ALGÉBIIK. . 293
la base est <1, on doit, au coiilraire, avoir log[ qo = — oo et log 0 = 00.
343. Par la nouvelle fîéfinition (341), l(»s pn^priélés (1rs logarithmes se tirent immédiatenicnl de celles des exposanls. JLn eflet, soient j% y, y,... des nombres dont les logarithmes sont j:, j/, x',„ . : par cette dclinition , on doit avoir
donc, par les règles relatives aux exposants, il viendra
yyy . . . = a'^a'^'a*'' . . . = a** + '«^' + '^'^ ■
un «
Mais, d'après la définition, les exposants de a^ dans les derniers membres, sont des logarithmes des quantités qui sont dans les premiers ; on retrouve donc ainsi les propriétés connues.
344. Les logarithmes étant toujours considérés comme des exposants, proposons-nous de calculer le logarithme d*un nombre donne b. Ce problème , sur lequel repose la construction des tables, revient ^ résoudre Téquation
leni a
L'inconnue est en exposant , et les méthodes expliquées jusqu'ici ne sont point applicables à ce cas. Voici celle qu il faut suivre.
Supposons les nombres <^i et b tous deux^l. En donnant à jc successivement les valeurs 0, 1, 2, etc., on arrivera à deux puissances a" et <^/"+', entre lesquelles b sera compris, et alors on saura que x est entre « et // + 1 . En conséfluonce on posera
Par suite , l'équation /7.' = /^ devient
a *^ '' = // . d'où a'^' ■=r. — . Faisons, pour nbr«^?fT. — -- ^ , ^t éîpvons la d^raiéro «égalité \ la
aamTeoable.
RapiHxichoiis préseatemeot les relations trouvées ci-dessus ,
et on poorra exprimer x par cette fractioD cdntinuc
Par UjjÀéorie de cette sorte de fractions , on sait qac plus on pren- ^ dra M termes, plus on approchera de la valeur de x,-ct que même on pourra rendre l'erreur aussi petite qu'on voudra.
345. Lorsqu'on prend 10 pour base , on a évidemment 10'=10, 10*=100, etc.; donc les logarilhmcs di^ nombres 1, 10, 100, etc., soutO, t, 3, ctc , et en général lo.:; )/^:=k. Ici vîennenl nalurullemcnt se reproduire les remarques déjà faites sur la caraclérislique n- 336 et J37,ct auxquelles je renvoie.
LEÇONS i/algébrk. "295
Pour avoir les lo^j^arithmcs dc*s autres nombres, on devra réaoudro successivement les équations
10*=îf, 10'' = 3, I0' = i, etc.,
ce qui ne peut plus maintoiiant olTrir ih. difliculté. 11 ne faut pas oublier qu'il suffit de cIktcIkt les loî^arithmes des nombres premiers : car de simples additions feront connaître ceux des nombres composés.
346. Dans les tables, les logarithmes sont toujours exprimés en décimales , et par conséquent il iinpo|^ï l)eu de savoir s'il existe d'autres nombres que U^ puissances de iO, qui aient des loga rithmes commensural)les; cependant, pour satisfaire le lecteur, je f traiterai ici cette qu<*stion.
; Pour plus de généralité, je ebercherai d'abord à (/uclles con- \ ditions on peut tvconnaUre (/m* x est commensumble dans r équation a* = b, a et b êttint des nombres entiers positifs.
Soit donc jl= —, m et n étant des nombres entiers. 11 vient
a'z=b, d'où rf'» = ^".
Dans a"*, il ne peut pas y avoir d'autres facteurs premiers que dans a, ni dans b" d'autres facteurs premiers que dans b; donc la dernière égalité exige que les facteurs premiers de b soient les mômes que ceux de a. Supposons ?
a = vJ'fj^Y et b= yp'pt'Y' :
on aura
Mais, pour que celle égalité subsiste , il faut que chaque fadeur premier entre le même nombre As fois dans les deux membres Ame W . / /
mp=ztip'y mq=.mf, mr=^nr^, ^^ y
Delà on tire
m p' ni q ni r
Cl par conséquent on a ces conditions
296 LEÇONS d'âlgébrk.
Réciproquement , admettons qu'on ait
a = 0LP&9y% b = ot.p'Çi^'Y\ ^ = ^ = -.
Si on prend
on aura px =/>', qx = g^', rx=r\ et par suite
Donc, /?our ^Me x soit commensurahle^ il faut et il suffit que a e^ b soient composés des mêmes facteurs premiers , et que les rapports des exposants de b aux exposants de a soient
égaux (*).
Lorsque ûj= 10 = 2x5, on devra avoir 6 = 2^»' x 5^', et p'=^q'\ donc Z? = 2'"X5^'=10/", c'est-à-dire qu'i7 n'y a que les puissances de 10 qui aient des logarithmes commcnsura-
blés.
347. Quand on déGnit les logarithmes par les exposants, et qu'on les a calculés pour une base particulière , il n'y a aucune difficulté à les transporter dans un autre système. En effet , si a est la nouvelle base, et que, pour cette base, x' représente le logarithme d'un nombre quelconque jk, on doit avoir
.'xf
Or, en prenant les logarithmes des deux membres dans le premier système, et observant (343) que log a'^' =:x' log a\ il viendra
loff.r
j/ log a'=\o%y^ d'où x' =:
log a
Remarque, Uftlk on Xxr^éÊà&ï ' = , -; donc, quel
que soit le nouAre j^, ilexi^un rapportnonstant entre ses logarithmes , pris dans les deux systèmes. Quand les logarithmes ont été tirés des progressions , cette conséquence s'est présentée tout d'abord (340), puis on en déduit la valeur de ^; mais ici c'est le contraire.
(*) Les cas où, a^Xb étant des fractions ou des radiraux, on voudrait en- (!ore que X fût cçîmmcnsnrable, se traiteront d'une manicre anaîoirue.
LEÇONS d'algébrb. ^97
