A^G,R+GR

cf,r, ddd

An moyen de ces égalités, on conclu! sur-lo-charap que les équa-

LEÇONS d'algébhi. 385

tions A=0, B=0, sont vérifiées par les solutions de chacun des systèmes suivants :

Par exemple, ies^lutions du l^"" système doivent évidemment ré-

duire -A à zéro ; et comme -^ et -, sont des fonctions en y seul a a a

qui n'ont plus de facteur commun , les valeurs de j- qui entrent

dans ces solutions ne doivent point donner -> = 0; donc c'est A.

qui devient zéro par les solutions dont il s'agit. En appliquant aux égalités [G] et [8] , ou aux égalités [7] et [9] , un raisonnement tout semblable, on reconnaîtra que A et B doivent devenir zéro par toutes les solutions des deux autres systèmes;

Si on compare les systèmes [4] de la page (382) avec les trois systèmes ci-dessus, on voit que les quantités /•, r,, /•, peuvent conte-

nir des facteurs qui ne sont plus dans -, -^ , -j\ de sorte que les

systèmes [10] peuvent réellement être plus simples.

Troisième partie. Il y a plus : on va démontrer maintenant qu'aucune solution des équations proposées n'échappe à ces trois systèmes; et c'est ce qu'on fera en formant successivement les différentes relalioiis dans chacune desquelles se trouvent A et B avec une des quaulilés /•, /•,, /;. On pourrait les tirer immédiatement des équations [1], [2], [3], de la page 381, mais il sera mieux de profiter des calculs déjà faits pour établir celles de la page 384.

L'égalité [5] est la première de celles qu'il faut trouver. Pour avoir les autres, on élimine Centre [6] et [8] , et ensuite on élimine

entre [7] et [9]. De cette manière, en mettant A et B dans un

seul membre et se rappelant que - = H, il vient d'abord

riA— GB = R-, *

-:'- (ff.A-G,B) = (Gll, - HG.) R, ^- ,

Mais il s'opère dans les seconds membres des réductions temar-

W6 LEçûns u'auIiu,

<iuublra, (|u\)U ubliilkl eu m' rL-piirlant nu^ ronvpuliuns faites sur

la significalkin de G, U., G., 11, )!,, Jl.. Du e0el il est facile de voir

quo

Gll, — IIG.

GHî,

dtld'

,,„,0,.G,(î^.^)-„,(feîÊ^) = (C.H-H,G,g = 4.^:r.,

en otnséqnencc, les trois relations dont il s'agit, si Iod a sois d'j supprimer \es facteurs cojnmuiis , se réduiroot à celles-ci ;

[II] IIA— GB = + H i,

[12] ll.A-G,I!=-R.jj,

La domiiTC prouvp que si une sdutioD [x — 4, jK^Jî], fonïîfflt aux Équalions A=0, B = 0, la valeur y=^ doit rendre null'iB

des fadeurs -7, -!, -^ : or, si elle donne -. — 0, il est dair que la

solution [*=«, y^P] se trouve parmi les solutions du sysléme

Si , par la valeur .r= 3 , on a y — 0 san3 avoir -j ^= 0 , 1'^ lité[lt] prouve que la solution [a =;^, y=p] doit donner R=Oi doue elle se trouve parmi celles du système Ir — y, -Ç';=ol

Qno si la Talet#^=p donne y = '*i sans donner -5=0 ri —■=0, l'égalité [12] prouve que la solution [.7=3, ^=p] dœt» m lisfaircàrèqualionR,= 0; doncelle est comprise dans le sjsft*

Ce qui vient d'élre dit démontre que les équations A=0, Bcd,

LEÇONS d'algâbrk. 387

n'ont pas de solution qui ne soit comprise dans l'un des systèmes [10]; on a démontré auparavant que toute solution appartenant à Fun de ces systèmes doit convenir aux équations A=0, B=0 ; donc enfin on peut remplacer les deux équations par l'ensemble de ces systèmes, sans craindre de négliger de véritables solutions ni d'en admettre de fausses.

422. Quand on considère Télimination comme ayant pour objet de donner une équation finale en .r dont les racines soient les valeurs de cotte inconnue qui font partie des solutions communes aux deux équations A= , B= 0 , il est clair qu'on pourra prendre, pour cette équation finale ,

Les valeurs de ce qui correspondent aux racines de l'cqua-

tion - =0 sont données par l'équation B=0; de sorte que si B

est du degré /^ par rapport à j:, la même valeur de y pourra se trouver dans ?i solutions ; par cotte raison , M. Labatie regarde Té-

quation iinale comme devant renfermer - à la puissance n. Par une

raison semblable , en désignant par n' et //' les degrés de R=0 et K,=0 par rapport à .r, cette équation devra contenir les facteurs

( ^ j et ( -y j : en conséquence , il prend pour équation ûnale

Ces considérations sont assez conformes à l'esprit de l'analyse ; mais dans les appiic^alioiis elles ont peu d'utilité.

Je n'ai cuiprunlé à M. Labvtie qu'une partie de son travail, mais il pousse plus loin ses invcsti,L>;ations. A l'égard des facteurs introduits à cbaquo division, il montre comment ces facteurs peuvent reparaître dans les restes (les divisions suivantes; et à l'égard de l'équation finale, après avoir remarqué celle qui précède, il l'abandonne bientôt pour en établir une qu'il regarde comme plus complète . Sur tous CCS points je renverrai à l'ouvrage même de l'auteur.

423. Lorsque deux équations ont des facteurs communs, ces facteurs donnent lieu à une infinité désolations, ou, ce qui est la même chose en d'autres termes , à des solutions indéterminées :

c'est ce qa'on a déjà rémarqaè eâ parlant des 8iin|ili6cttioiii nûnaires qa'on peat faire subir à deux équatioiis qaiHi se de résoudre. Mais lorsqu^Û n*y a plus de facteur oomman, les rents ^sternes par lesquels on remplace ces deux égoalioas Éb. peuTent présenter aucune indétermination ; par conséq[tteat je afii : rien, sur ce sujet, à lyouter à ce qui est déji connu. '• i

Quant aux solutions infinies, il n'en a été rien dit ; et d'dDeÉi ' on nconniatt facilement que les raisonnements par lesquds on mi passé ne leur sont point a^licaUes : ainrï elles exigent unedéloN mkiation spéciale. Cette détermination est importante dans ji^ ' sieurs questions de gécxnétrie analytique, mate aussi alors nèit rare qu'elle offre de sérieuses diflBcuités, tandis qu'en la pi^iwiipt ; d'une manière générale, abstraction falÉe de toute application , îdk pourrait être mal comfHise du lecteur. C'est pounpioi je me bornerai àremarquer ici qu'<m peut trouver les valeurs d'une inoon- i nne y, auxquelles répondent des valeurs infinies de l'autre inoo^ -

ime X, en faisant d'abord j: =5 --j,, et ensuite j/sO.

Sur réliminalion entre un nombre quelconque d'équations. I

424. JnsquMci les éqaations à résoudre étaient aux nombre de deux seulement. Supposons qu'on en ait trois entre les inconnues x^ y, z : pour parvenir à une équation finale en z , on pourra éliminer d'abord a: entre la première et chacune des autres; puis, jr entre les deux équations résultantes, mais alors, les plus grands soins sont à prendre pour écarter les fausses solutions ; et ce qu'on dit ici de trois équations s'applique à plus forte raison aux cas où il y en aurait davantage.

Bezodt, dans sa Théorie générale fies équations , s'est beaucoup occupé de celte branche épineuse de l'analyse ; maïs les méthodes qu'il propose, outre quelques difficultés théoriques dont elles ne sont pas exemptes , exigent des calculs si compliqués qu'on doit les regarder comme impraticables. Je me bornerai à énoncer ici, sans démonstration , le beau théorème dû à ce savant , savoir que : si entre des équations en nombre pareil à celui des inconnues , on élimine toutes les inconnues hors une , le degré de V équation finale devra être tout au plus égal au produit des degrés de ces équations.

LKÇONs d'algèbre. 389

425. Toutefois, sans entrer ici dans aucun détail sur la résolution des équations , il est facile de reconnaître que si elles sont eu même nombre que les inconnues, elles n'admettront en général qu'un nombre déterminé de solutions.

Sup[)OSons qu'on ait n équations entre n inconnues a:, ^, z,

si on considère l'une quelconque d'entre elles , on doit accorder, lors même qu'on ne saurait pas la résoudre par rapporta a:, qu'elle détermine pour cette inconnue un certain nombre de valeurs a , a', a", y/",.... qui généralement seront des fonctions des autres inconnues y^z,,.. En substituant a dans les équations restantes, on aurait /£ — 1 équations qui ne contiendraient plus que n — 1 inconnues , de mémo eu substituant a , on aurait un autre groupe de/t — 1 équations entre n — 1 inconnues; et ainsi de suite pour chacune des autres valeurs , :.", a"',....

Si on prend chacun de ces groupes séparément, on conçoit qu'en tirant de lune des n — 1 équations les valeurs d'une inconnue , pour les substituer dans les n — 2 équations restantes, on pourra aussi remplacer ce groupes par d'autres groupes , composés chacun de /t~-2 équations entre n — 2 inconnues. En continuant de cette manière, on arriverait à une équation qui ne renfermerait plus qu'une inconnue , et qui déterminerait pour cette inconnue un certain nombre de valeurs. Et enfin , si ces valeurs étaient trouvées, on pourrait, en remontant successivement jusqu'à la première inconnue , obtenir les valeurs correspondantes de toutes les autres inconnues.

Par cette explication il est manifeste que les n équations données ne peuvent avoir qu'un nombre limité de solutions.

426. Maintenant supposons qu'il y ait plus d'équations que d'inconnues. Soit n le nombre des inconnues , /t+A: celui des équations; et, parmi ces équations, prenons-en à volonté un nombre égal à 71, D'après ce qui vient d'être dit, ces n équations détermineront en général un nombre limité de solutions; et comme ces Solutions doivent aussi satisfaire aux A équations restantes, leur substitution donnerait k équations de condition. On les nomme ainsi parce qu'elles ne contiendraient plus que des quantités connues et qu'elles devraient se vérifier d'elles-mêmes pour que les équations proposées \w fussent pas incompatibles.

LorSxiu'on a plu.^ d'inconnues que d'équations, il y a indétermination. En cflW, si « + / désigne le nombre des inconnues^ et

399 LIIONS d'aloAhrb.

« ceJui iIps i-qualioiis, il csl éviJeiil qu'on pourra allribaor d« va lenrs arbitraires à k inciioDucs , t-t détcriuinor i;asut(c les n autre iD€Ounu<.« an moyen dus n vquations donuécs,

Aq reste , ce qui vient d'être dit , dana ee n° et dans le précé dent , souffre quelquefois exception. Par exemple il peat se fair qup le» équations aiient en nombre égal ans ieconnoes , et qa cependant elles soient incompatibles ou qu'il y ait indétermînatioi Les équations du 1" de^ eu oSrenl une preuve.

CuBt J= IVlIralaitioi. .Jdi.. b .r«.r.,rm,ilion Jb ciu.liotis. ^ K.|u.lion ».i orn.

i37. Nous av(HM déjà dit (396) que les méthodes générali d'élimination pouvaient i^lre nécessaires pour opiner la traosToi mation des équations. Elles le sont surtout dans les cas où chaqi racine de la nouvelle équation doit être composée avec plusiru racines de l'équation donnée. Un seul exemple suffira , et je dioi! la question suivante, qui doit se présenter plus tard dans une r cherche importante.

Mtaiit donnée, une équation ijuelcontjue à une sfide inconnm trouver une autre équation dont les racines soient les diffèrenc entre celles de la première , combinées deujr à dcu.i'.

Soit l'équaliou proposée

[A] j:"4-Pjc"— '+Qx"->+etc. =0.

HVommons xel^ deux quelconques de ses racines, et y leur d férence, de sorte qu'on ait J:'=x+y -. l'équation [A] devra êl satisfaite en y mettant cette valeur au lieu de jt , et par conscquc on a

Développons les puissances : en représentant par X , X', X", e le polynôme j:™ + Pj:-°^'+ctc. et ses dérivés successifs, il vieni)

x+x>+ : XV + , : . x"y--+^-=iif-

Mais X est ici une racine de [A] ; donc on a X= 0, et par su l'équation ci-dessus étant divisée par y devient

[B] X'+;xv+.-:,xv+--+r"-'=o.

Avant la suppression du facteur y y x et x' étaient deux racii

LEGÛN« d'ALG^EK. 391

quelooiiqQcs de Tcquation [A] , et rien n'empêchait de supposa a!=ix. Or, la différence x — x étant zéro, il faut que l'équation en^, ayant la suppression du facteur y^ ait pour racine ^ = 0. C'est en effet ce qui arrive puisqu'elle est divisible par ^, et en opérant la division, cette racine se trouve supprimée : de sorte que les m — 1 valeurs de y dans Téquation [B] ne sont plus que les différences qu'on obtiendrait en reiranchant la racine désignée par X de toutes les autres racines de l'équation [A].

Maintenant, afin do distinguer entre elles les m racines de réquation [A], représentons-les par a^b ^c , d,,.,\ puis imagi* nons qu'on remplace successivement, dans [B] , x par chacune de ces racines, il résulterait de ces substitutions m équations , dont la première aurait pour racines les différences entre a et toutes les autres racines ^, c, r/,.... ; la seconde, les différences entre & . elles antres racines «, c, r/,... ; et ainsi de suite. Paf conséquent, en éliminant x entre [A] et [B] l'équation finale en y aura pour ndnes les différences entre chacune dos racines de l'équation [A] et toutes les autres racines de la même équation : elle sera donc l'équation cherchée. On la désigne d'une manière abrégée par la dénomination adéquation aux différences.

^ 428. Remarques. Pour qu'elle soit en effet l'équation aux différences, il faut que l'élimination n'ait point supprimé de vraies racines ni amené de racines fausses. C'est dans cette supposition qae je continuerai déraisonner. S'il en était autrement, on sait comment on doit tenir compte des unes et dos autres.

Sans effectuer l'élimination, il est facile de reconnaître quel sera le degré de cette équation. En effet , ses racines sont

c — rt, c — ^, c — dy ..., etc.;

et il est évident que ces différences sont en même nombre que les arrangements deux à deux des m lettres a,b, c, etc. \ donc l'équation aux différences est du degré m [m — 1).

De plus , on voit que s'il existe dans cette équation une racine « égale à a — ^ il y en a une autre — a égale à b — a; donc le premier membre est composé de facteurs qui peuvent se grouper

deftx par deux en prodnils tels que {y — x){y-{--j) = y — a' par cunsi^iient l'équalion ne contiendra que des puissances pa P de^. Donc, en posant wi(m—l)=2n, elle 3era do la forme

Enfin, onpestfatrey=3, et elle dcTÎent

i'+pz'-i+qz"-

..+ uz+t^O.

Celle-ci est appelée équation aux carrés rfis dijjèrences , parce Pipi'en effet , s étant le carré de^-, elle a pour racines les carres dis f 4ifférences des racines de l'équation donnée [A].

429. Comme application, proposons-nous de trouver l'cquatioa r.aiix carrés des diiîêrences de lV>qualion du 3° degré.

Avant lou^e remarquerai d'une manière générale que les équar fions [C] et [D] ne doivent point changer quand on augmente oa I quand on diminue d'une même quantité toutes les racines de > l'équation [A]. Par conséquent, si une équation donnée a son second terme, on pourra le faire disparaître (39:2) et chercher ensaile l'équation aux difTérences de la transformée : on b^uvoi ainsi la même équation que si on n'eût point fait évanouir le second terme, mais les calculs seront moins compliqués. D'après cette observation , je supi>oserai que l'équation du 3" degré n'ait plus de second terme , et qu'elle soit [i] xï+Q^-f-Rc=0.

Lorsqu'on désigne parX^O l'équation, et par X', X", X'",..*. les polynômes dérives de X , la règle pour trouver l'équation aux différences est d'éliminer x entre les. deux équations X = 0 , X'+ ■ X'y+ ,1 i \"y^ etc. = 0. Or, dans le cas actuel , on a

X = .ï;'-|-Qjr+R, X'=3j;'+Q, X"=6x, X"'=G; donc l'élimination de x doit se faire entre l'équation [1] et celle-d [2] 3j^-fQ + 3j-.v+.r'='>.

En conséquence , on ordonnera cette équalion par rapport à jt, puis on opérera comme s'il s'agissait de trouver le plus grand coomuD diviseur des premiers membres de (I] cl fJI.

LEÇONS d'algéb&k. 393

Première dwision.

3:p^ + 3Qa: + 3R — 3j:3— 3r j:'— (.r^+Q).r —^yji^— (y— iiQ) JC+ 3R + ^Xx'+ 3ya:+.r'+Qj^

2(j^'+Q)a.-+,r^+Qj'+3R.

Deuxième dii^ision.

3(y+Qr— 3R)j:+2(^'"+Qr 6(y+Ql(r'+Q^'— 3R):c+4(y+Q)' -6(y+Q) (.r^+Qj--3R)x^3(j^-^+Tj.r+3R) (^4-Q^-3R)

Dans la dernière division, ou a multiplié deux fois par j^'+Q pour rendre les divisions possibles; mais si on pose^"+Q=0, le diviseur se réduit à 3?. , quantité qui en général est différente de zéro- Ainsi , en égalant à zéro le dernier reste et eiFectuant les opérations indiquées , Téquation aux diiFérences est

/+6Qy+ 9Qy4'4Q3+27R*= 0,

puis, en posant y=z^ on a Téquation aux carrés des différences ,

z^ + 6Qs'+ 9Q'z + 4Q3 + 27R'= 0.

Pour réquation x^— 7j:+7=0, on a Q= — 7, R=+7j et par suite réquation en z devient z^ — 42s'+441z— 49 = 0.

Usage do r<''limination pour l'évanouissement des radicaux.

430. Les procèdes qui servent à calculer les racines d'une équation supposent que l'inconnue ne se trouve sous aucun radical ; par conséquent il est très -important de savoir changer une équation compliquée de radicaux en une autre qui ne renferme que des termes rationnels. Or, l'évanouissement des radicaux, en le consî-

P-,S94 lEÇOffS D'«tStBIlE.

m déranl sous un point Je vne général . n'est qu'une ipicslioa d'élimîm notion. Un exemple le fera comprendre. I . Soit l'équation

P dans laquelle chaque radical pst censé représiiutcr indifféremmeot I toDles les dé Icrmi nations dont il est susceptible. Eu posant

I oUc devient

I x—r+z=Oi

f et alo^ on voit qu'en éliminant ^ el :: entre cette dernière équation \ et les deux précédentes , on obtiendra une équation en .r , ontiére- L ment dégagée de radicaux : car les méthodes f^ënérales d'climiuati<si ■ n'en introduisent aucun dans les résultats.

B Bans notre exemple les calculs sont faciles. La dernière équation I donnant^ = ; + x, l'équation ^= .r — 1 devient

z'+axz+jt^—x+i—O; elensuile, pour éliminer ; entre celle-ci et l'équation ;'=^.r+l, le procédé du plus grand commun diviseur suffira. L'êqualion finale , sans aucune inlroduclion de racines étrangères, est

x" — 'S-t'+iiJo'+x^+lx' — 7j?+2 = 0.

Î31. Les mélhodcs générales d'élimination sont si compliqué» qu'on doit toujours chercher à les éluder. Le caa où l'équation ne contient qu'un seul radical s'est déjà présenté (^13] , et nous avons vu qu'on fait disparaître ce radical en l'isolant dans un membre de V équation , ei en élevant ensuite les deux membres à la puiisanct jnarquéc par- findiCe du radical. v ■«

Cette tègle, quoique très-simple, a néanmoins besoin de qudqns explications. Le plus ordinairement, quand on élève les deux meni' bres d'uneéquation à une puissance, elle acquiert de nouvelles racines. Par exemple, si on a ax'+b = c:e et qu'on élèVe au carré, il est clair que la nouvelle équation {ax" + Of= c'x' aura non-scnlement les racines de la proposée , mais encore celles de l'équation ax'+b = — ex. Ainsi, il y a lieu d'examiner si la règle donnée ddessus pour l'évanouissement d'ua radical , ne fait pas acquérir trop d'étendue h l'équation.

LEÇONS u'ALGÉfiRJS. 395

Supposons qu'après avoir transposé le radical , Tcgaation soit

X et Y étant fonctions des inconnues : par révanouisscment du radical , elle devient

[2] X''=Y ou X»— Y=0.

Le radical l^ est censé avoir toute la généralité possible , c'est-àdire qu'il représente indifféremment chacune des déterminations dont il est susceptible. Quelle que soit celle que l'on considère, toutes les valeurs des inconnues qui satisfont à Téquation [1] ne sauraient manquer de satisfaire à lequation [2] ; et ce qu'il faut prouver, c'est que la réciproque est également vraie. Si on avait Téquation jc" — A= 0 , et qu'on désignât par A', A",

A'",... les n valeurs de Ka, on sait (381) qu'on devrait avoir

jc»— A= (^— A') (x— A'O (a.-— A'"J...

Or, on peut remplacer ici j: et A par telles quantités qu'on voudra : en conséquence, je désignerai par Y', Y", Y'", etc., les n

déterminations de Ky, et je mettrai X, Y, Y', Y',... au lieu de

X, A, A', A'V" il vient ainsi

donc on ne peut satisfaire à l'équation [2] qu'en posant X=Y', ou X=Y'', ou X=Y"', etc. Or, ces dernières équations ne sont autres que la proposée [1] dans laquelle on aucait^mis-fiiKcessive-

ment chacune des déterminations de KY: donc enflnles solutions de

cette équation s69nes.^Mile& que contienne l'équation [2].

L'explication préoéSe^te montre en même temps comment il se fait que cette dernière équation devienne trop étendue quand le ra-

dical l^ représente spécialement une des n déterminations dont il est susceptible, comme cela arriverait , par exemple, s'il devait avoir une valeur réelle et positive.

432. Quand une équation renferme plusieurs radicaux , il ne faut pas croire qu'on puisse en général faire évanouir successivement chacun d'eux par la règle précédente : car, dans le cas où il n'y en

a que deux , il y a déjà lieu de remarquer que l'opération , qui fait disparaître un des radicaux, amène dans l'équation plusieurs quantités radicales qui ne s'y trouvaient pas auparavant. Par exemple , si on a

et qu'on élève à la A-" puissance , le second radical disparait en effet, mais les puissances du premier, jusqu'à la 4®, se trouveront dans l'équation résultante