CHAPITRE V
Du carré et de la racine carrée des quantités algébtiques. Calcul des radicaux du second degré.
P^aleur ambiguë de la racine carrée. Quantitéi imaginaires»
i54« Lft quantité, qui ëleyëe au carré reproduit une quantité donnée, se nomme la racine carrée, de cette quantité. En arithmétique, où il n^j a point de quantités négatives, et où Ton ne considère que les valeurs absolues des nombres, une racine carrée ne peut avoir qa^uno seule valeur. Il est évident, par exemple, que la racine carrée de 4 ne peut pas être autre que 2. Il en est encore de même en géométrie lorsqu^on demande quel est le c6tc du carré dont la surface est donnée.
Mais il en est autrement par rapport à Falgëbrc^ qui admet également clans ses calculs et les quantités positives, et les quantités n^atives, et d^utres encore que nous ferons bientôt connaître. Il est dair en effet que 4 est aussi bien le carré de — 2 que celai de -4-2 ; et en général, si on convient de designer par VA une certaine quantité dont le carré soit Ay la racine carrée de A lera aussi bien — VA que '^VA. On représente ces deux valeurs d'uue manière abrégée en écrivant ±1 VjÏ.
Une proposition importante doit être démontrée ici : c'est que la quantité A n'a pas d'autre racine carrée que ces deux-là. En eSet, les différentes racines carrées de A ne sont autres que les nieurs de x qui satisfont à Féquation x^s^A^ ou, ce qui est la même chose, à celle-ci
An lieu de :r'—*^, on peut écrire ^'-^(V^^^V j puis, en décomposant cette différence de carrés en deux facteurs (41)9 on a
)5q leçons d'algebrç.
Sous cette forme, on voit que toute valeur de x qui ne serait ni -j-K -^, ni — Va', ne rendraient nul- aucun des deux facteurs j donc elle ne saurait rendre nul le produit j:' — A\ donc la quantité A n*a point diantre racine carrée que ± V A»
Ainsi la racine carrée d'une quantité a deux valeurs qui sont égales et de signes contraires ^ et elle rCen a pas davantage,
i55^ A parler rigoureusement, Fexpression VA suffit, sans le signe ±1, pour représenter les deux racines carrées de A : car elle désigne indifféremment toute quantité dont le carré est A. Lors donc que, jpour indiquer ces- deux racines, on écrit :±.VA^ le radical est pris dans un sens restreint, lequel consiste à supposer que VG? ne désigne plus que Tune des deux valeurs.
i56. n peut arriver que la quantité placée, sous le radical carré soit négative, comme dans Texpression V — 4' ^^> '^ n'existe aucune grandeur, soit positive, soit négative, dont le carré soit négatif^ c'est pourquoi l'on dît alors que les valeurs du radical sont imaginaires, A proprement parler, ce ne sont plus des quantités : cependant, comme on les soumet aux règles du calcul algébriquei on leur ebnserve cette dénomination ; mais la qualification d'/maginaires qu'on y ajoute suffit pour 6ter toute équivoque. Par opposition, on appelle réelles les quantités positives ou négatives.
157. Tout radical carré imaginaire peut se transformer en un produit de deux facteurs, l'un réel, et l'autre égal à V — i. Soit le radical imaginaire V — A. La quantité A étant positive par elle-même , elle doit avoir deux racines carrées qui soient réelles. Nommons a l'une d'elles, celle qui est positive, par exemple ^ on pourra toujours représenter V — A par ay^ pourvu qu'on détermine y de manière qu'on ait (ay)*:^ — A, Cette condition revient à a*jf»== — A -y ou bien, puisque A est le carré de ay à Ay*=: -^Ay ou bien encore , en divisant par A y h,
7»=—i, d'où y^±.V^i.
Or, pour avoir les valeurs de V — Ay il faut multiplier a par celles de y'y donc les valeurs de V^^^peuvent s'exprimer par ± a V — i. i58. Par ce qui précède, on est conduit naturellement à distinguer» parmi les résultats qui se déduisent du calcul» deux espèces
LEÇOVS D'ALGiaiE* l5l
de valeurs ou déterminations : les unes, qu'on nomme ariAmt^ iiqueSy parce qu'elles sont tout-à-fait de la nature de ceDei qu'on troaYe par les opérations de Farithmëtiquey x^'est-à-dire, essentilllement réelles et positives ^ les autres^ qu'on nonune algébriqueSf parce qu'elles comprennent los valeurs négatives et les imaginairef^ qui ne doivent leur existence qu'aux combinaison! des signet de Falgibre. Ces dénominations ont le mérite d'avoir une conformité parfaite avec les idées qu'elles sont destinées à rappeler.
Carré et racine carrée des monômes,
1 59. Soit un produit quelconque pgr. • • ^ on a
{pqr. . .)*sspqr, . . Xpqr. . »^p^q*r^. « • }
donc on fait le carré alun produit en élevant tous les facteurs au carré»
Si on £Edt le carré d'un facteur a'', qui a déjà un exposant^ on a fû»)»=û*X fl^ssa*" : c'est-à-dire qu'il suffit de doubler l'exposant. Donc on fait le carré d*un monôme quelconque en élevant son coefficient au- carré, et en doublant tous les exposons.
Suivant cette règle^ on aurait immédiatement
i6o« Par une réciprocité évidente, on conclut des règles cidessua que la racine carrée d'un produit s*obtient en extrayant celte de tous les facteurs ; et que la racine d*un monôme s* obtient en extrayant celle du coefficient et divisant les exposans par a.
Ces nouvelles r^les donnent
Vpqr=zVpVqVry V^6?^=8û'6.
161. Quand tous les facteurs d'un monôme ou d'un produit ne sont point des carres, on indique d'abord la racine carrée, et ensuite on simplifie le radical en mettant en dehors de la racine tous les facteurs carrés. Par exemple, s'il s'agit de VSoa^b^Cy on décompose la quantité placée sous le radical en sSa^&'Xsuzc; et ilors on aura
iSl LBÇ0N8 D^ALGIbRE.
En g^D^ràl, pour simplifier un radical carré ^ on décompose la quantité placée sous le radical en deux produits j dont Pun ne contienne que des facteurs carrés^ et dont l'autre n'en contienne micitn^ puis 6n extrait, la racine du premier produit ^ et on indique celle du seconde D'après cette règle^ si on nommé a la racine carrée de A, on
pourra ëcrire, comme au n® 157, V^^— A = KaX— i = aV^— 1. 162. Qtiek que soient â et 6 , on a
donc le 'carré d^une fraction algébrique s'obtient en élevant au carré son numérateur et son dénominateur»
Donc aussi , la racine carrée d'une fraction 's"* obtient en extrayant celle du numérateur et celle du dénominateur.
Par cette règle on a
i63. Quand le numérateur et le dénominateur ne sont point des carrés, on pourra indiquer la racine de chacun d^cux, et la simplifier ensuite s'il y a lieu ; mais le plus ordinairement ou fait en sorte qu'il n'y ait point de radical au dénominateur. A cet e£fet, on introduit dans les deux termes de la fraction les facteurs qui manquent au dénominateur pour être un carré, alors on peut en extraire la racine, et il ne reste de radical qu'au numérateur.
Ainsî^ soit Y — - ; on remarquera que le nombre 5o devient
un carré en le multipliant par 2, et que le facteur c^ en sera un aussi en le multipliant par c. On multipliera donc les deux termes de la fraction par 2C; et on aura
1/3^ = 1/6^^ V6Mc a*VSb^ 5oc* looc^ loc* loc*
164* Je ne dis rien des signes; mais il est toujours sous-entendu qu'une racine carrée doit être prise avec le signe ambigu ±:. Lorsqu'on simplifie une racine indiquée^ qui ne peut pas s'ex-
LEceirs dVlcébeb. i53
nire, le radical qui reste alors, étant considère dans Ip sens le phu général , suffit pour donner à Texprcssion ses deux valeurs. n est éyident en efifet qu'en le prenant en -(- et en —, on aura ^ kl deux "valeurs de la racine indiquée. Ainsi, par exemple, je puis, ims aucune restriction, poser
ces ^[alités auront tout-à-fait le même sens que si, distinguant les deux Talenrt de chaque radical, j^eusse écrit
Carré et racine carrée des polynômes,
i65. Soit UQ polynôme.
dus lefpxel terme a^b^ c^d représentent des quantités quelcon-* Iipes. Gonâdérons tous les tenues, excepté le dernier, comme n'en [bimant qa*un seul, et alors formons le carré de ce polynôme [comme celui d'un binôme m-f- J: on aura
[la formant de la même manière le carré de a -4-^-)- ^9 il vient
+ 2(a+ b'-\'c)d'^d^, [Pois, en faisant le carré de à 4- ^ 9
là on conclut que le carré d*un polynôme, quel que soit le
ibre de ses termes, contient le carré du i*"" terme, plus le
^le produit du i^^ par le a*, plus le carré du 2*5 et encore
double produit des deux premiers par le 3*, plus le carré
'3*; ef encore le double produit des trois premiers par le 4%
k carré du 4* i ci ainsi de suite»
I&f LEÇONS D'aLGEB&E.
Remarquons en passant que si on effectue tous les doubles pr duits énoncés dans cette règle, le carré du polynôme renferme les carrés de tous les tennes, plus tous les doubles produits de ( termes multipliés deux à deux.
i66. Cette règle élant établie, proposons-nous d'extraire racine carrée dVn polynôme quelconque, que je nommerai '. Supposons quV)n Fait ordonné de manière que les exposans de lettre x aillent en décroissant, et qu'alors le polynôme P soit
Désignons par a-f-&.-4-c-f-. . • la racine ordonnée de la mêi manière. Son carré devra reproduire le polynôme P : or, d'api la règle ci-dessus , parmi les termes qui composent le carré cette racine, celui dans lequel a: a le plus haut exposant est é demment û'; donc A est le carré de a; donc le i*' terme de racine^ s* obtient en extrayant la racine carrée du i*"^ termepolynôme proposé.
Retranchons de P le carré de ce terme : le reste, que je noi merai R, sera
et il devra contenir le double produit du i^' tenue de la raci par le 2*, plus le carré du 2«, etc. Or, il est facile de voir que double produit du !«" terme par le 2' doit contenir x à, un pi haut exposant que les autres parties de R 5 donc B est ce doul produit 5 donc le 2* terme de la racine se trouve en divisant premier terme du reste R par le double du i*' terme de la racii Maintenant que les deux premiers termes a -4-6 de la raci sont connus, ajoutons 6 à 2a et multiplions 2a -J*- 6 par ^ : le pi duit sera égal au double du i^*^ terme multiplié par le 2*^, plus carré du 2®.. ^i on retranche ce produit du reste R, on aura do un nouveau reste R', lequel ne contiendra plus que le dou1 produit des deux premiers termes de la racine par le 3^, plus carré du 3*, etc. En raisonnant ici comme tout-à-l'heure, on connaît d'abord que, dans ce reste, le terme où x a le plus h.: exposant est le double produit du i*' terme delà racine par le et par suite on conclut que le 3* terme de la racine 3e troitvc
LEÇONS D^ALCàBEE. l5£f
dùnsani le premier terme du reste R' par le double du i*' terme it la racine.
Les trois premiers termes a-f-^-H^ de la racine feront trouver le 4*9 comme les deux premiers ont fait trouver le 3*. Ainsi, on ■jutera le terme Cj qu'on vient de déterminer^ s^u double 2a4-2& fo deux premiers, on multipliera la somme 2^ir|-^4"^ P^ ^f . pus on soustraira le produit du reste R^ Par là on at^ra un nou- . tiean reste K* ^ et c^est encore en divisant le premier terme de ce reste par le double du !•' terme de la racine quon obtiendra le \ If terme de cette racine.
En oontinnant ainsi, on est sûr,, quand le poljn6mc P est ua (ur^ de découvrir successivement tous les termes de la racine : ijir chaque division en fait trouvée un.
Oâ doit déjà reconnaître que la plus grande analogie existe aire la rè^e qui sert à extraire la racine carrée d'un polynftme cl celle qa^on emploie pour les nombres. Mais l'analogie s'apercevra mieux encore sur un exemple.
Polyn6me donné.
i" reste +i2a:3+5x' — -6r+i
. — I2JC* — 9*'
:i* reste*
Racine.
3* reste.
ot
iM'
On extrait la racine carrée du i*" terme 4^^, et on obtient ainsi
l'P i" terme a«* de la racine.
I^polyn6n\e donné on retranche le carré de ce terme , ce qui
le I*' rester puis on fait le double 4^' du !«" terme de la
Si et Ton divise le i^' terme du reste par ce double, c'est-à-
['fti+iax^ par 4*'« Le quotient +3a; est le 2* de la racine.
A c6té de 4^', double du i*^"" terme de la racine, on ajoute le
^cnne -l-Sr, on multiplie la somme 4^^4*3^ par le 2* terme
P^pnis on retramche le produit du i*^ restè^ ce qui donne un 3*
l56 LEÇONS D^ALGÈDâE.
reste. On divise encore le i*' terme —4^' de ce reste par le dou« ble 42:' du i**^ terme de la racine ; et Je quotient -r-^i sera le 3* terme de la racine.
Au double des deux premiers termes de la racine ou ajoute le 3«, ce qui fait /\a:*'^6x'^i^ on midtiplie cette somme par le 3* terme — i , et on Atranche le produit du 2^ reste. On a zéro pour 3* reste; et de là on conclut que les termes trouvés 2X*+3*— X composent la racine carrée du polynôme donné.
167. En général , ce qui avertira tout à la fois que le polynôme est un carré et que la racine est complète, c^est qu^alors on arri-^ vera à un reste nul. En effet, par la manière même dont les cal* culs sont faits^ chaque reste qu'on obtient n'est autre chose que le polynôme proposé^ diminué- de toutes les parties qui composent le carré de la quantité trouvée à la racine par les opérations qui ont précédé. Lors donc que la racine sera complète j on ne peut pas manquer d'avoir un reste nul^ et, réciproquement, dès, qu^on parvient à un tel reste, il est évident que les termes écrits à la racine composent la racine exacte du polynôme proposé.
D^un autre cô^é, quand le polynôme donné ne sera point un' carré , il est très-important de remarquer que les calculs en aver* liront encore. Supposons toujours , comme on l'a fait jusqu'ici , qu'on ordonne de manière que les exposans de x soient décroissans, et observons qu^à chaque soustraction le i*'* terme de la quantité sur laquelle se fait la soustraction est détruit : de là il suit qile Fexposant de x doit aller en diminuant dans le premier terme des restes successifs, et par conséquent aussi dans les termes de la racine.
Gela posé, nommons K le dernier terme du polynôme proposé?, c'est-à-dire le terme oii a: a le plus petit exposant^ et soit k la racine carrée de K. Il est aisé de reconnaître que si P est un carrc^, k devra être le dernier terme de la racine^ et par conséquent l3 marche progressive du calcul devra le faire trouver. Or, si cela n'arrive pas, on est sûr que les calculs amèneront à la racine 1x11 terme de degré moindre que A; donc alors il sera évident que f n'est point un carré. La même conclusion aurait encore lieu si lei calculs amenaient le terme k et que le reste suivant né fût pas nvi'*
168. Toutes les explications précédentes (166 et 167) semblei^*
LEÇONS D^ALGEB&K* x57
àéeê au cas où Ton ordonne les poljm&mes de maniire que
ezposansd'ane lettre soient dëcroissans. Mais quand on adopte
Toidre contraire, elles subsistent encore , sauf une légère modifi-
ion dans le caractère auquel on reconnaît que le polynôme
pas un carré.
VÂord on aperçoit sans peine que la même marche de calcul
encore connaitre successivement tous les termes de la racine ;
brsqa^on parviendra à un reste nul , on pourra encore conclure
Itf polynôme est un carré, et que les termes trouvés sont ceux
Si xmcine.
Ensnitef pour modifier le caractère auquel on juge que le polju'est point un carré , il suffit de remarquer que l'exposant k lettre, par rapport à laquelle on ordonne, va eu croissant s les termes qu'on trouve successivement à la racine , et que, le cas où le polynôme est un carré, le calcul doit amener un terme égal à la racine carrée du dernier terme de ce poly- ; donc , si en e£Fet on arrive à un pareil terme, sans trouver andte nn reste nul , ou si on arrive à un terme de clegré plus , ^ors on ponrra affirmer que le polynôme n'est pas un carré. 169* Quelquefois cette conclusion s'aperçoit à la simple inspecillion du polynôme : car nous avons dit que, dans le cas où il serait Va carré, la partie de ce polynôme qui renferme une lettre quel- ''Icniqae aa plus fort ou au plus faible exposant doit être un carré ^ ^Ictpar conséquent, dès que cette condition vient à manquer à ^l'iprd de l'une des lettres, le polynôme ne saurait être un carré. '^iScette impossibilité ne se montre pas tout d^abord, elle peut encore se manifester dans le cours des opérations, quand il se trouve '^•|ta reste dont le 1*' terme n'est pas divisible par le double du 1*' l'IVniie de la racine.
^1 170. Je terminerai par une observation que le lecteur a sans
Iwe déjà faite. Quand on ordonne les polynômes par rapport à
lettre x, on peut rencontrer plusieurs termes où :ir ait le même
ut. Dans ce cas , on adop.tcra une des dispositions prescrites
la division (46) ^ et il est clair que nos raisonnemens subsis-
t eu entier, aussi bien que les règles qui en ont été déduites»
peut aussi considérer tous les termes qui contiennent une même
ce de X comme s'ils n'en formaient qu'un seul , mais alors
e ae
lS8 LCOOirS D^AIGEBSE.
les opérations partielles, deyant s'effectuer sar des polynômes, na pourront plus se faire à simple yue , et il faudra les développer à part y conune dans l'exemple d-dessons.
■(4aô— 6a)a:+4i'
— (2a' — ^ab)x^
