Problèiie I. Une société cC hommes et de femmes a dé

pensé dans une Jeté 1000 francs. Les hommes ontpajré ig francs

et les femmes ii francs. Combien y at^aii^il d^ hommes et de

femmes?

Soit X le nombre des bommes et^.celui.dcs femmes : il faudra

résoudre ^ nombres entiers positifs Téquation

[3] i9x+ii/= ïooo.

En faisant les calculs comme dans le n* i36, et profitant des simplifications indiquées par le n® 14I9 j^ai successivement

ïooo — iQ.r , 3x — I

A = , ■'■■=SQI — 2T + =91— '2X+f ,

3x — I = iif ,

Parvenu à ce point , je remonterai à a: et^, et il viendra

a: = 4f4./'=:4(i— 3/0+^=4— II/',

j-=9i— 2^+^=91 -.2j;4—iirt +(1—30=^84+191'.

Aitisi les Formules générales, qui expriment a: et / en t', sont

a: = 4— II/', j^ïs 84 + 19^'.

Pour que x soit positif, il faut et il suffit qu^on ait iitf <^^ovl t'<Crï ; et pour que j- soit aussi positif, il faut et il suffit qu'on ait 19/' > — 84 ou f'>— 4A* Donc ou devra prendre pour i' Tune des valeurs *

A ces valeurs correspondent

Le noQibre des solutions est limité, et Ton devait 8^ attendrei

rti

paiff[ae dans Tëquation [3] les termes en x et jr sont de même flgne. Il y eix a cinq en tout, savoir :

i'* solution. • . 4^^^°^^^ ^^ ^4 f<^nmies,

a* •••• i5 hommes et 65 femmes ,

3* • • • ^26 hommes et 46 femmes,

4* 37 hommes et 27 femmes ,

5* ••••••••• 4^ hommes et 8 femmes.

Remarque, Diaprés ce qui a été dit n° i38y il suffit de se pro*carer une seule solution de Féquation [3] pour former à Tinstant les valeurs générales de x et j*. Or, si après avoir trouvé plus haut 1=1— 3f', on fait £'=0, et si on calcule les valeurs correspondantes f=s I, xssz^j j*=:84, il est évident que les valeurs 0^ = 4* jr=s84y doivent former une solution de Féquation; donc alors on pourrait poser immédiatement x = 4 — ^ ^^S J'=84-4" 19^^*

i44- PaOBLÈME II. ^vecdes règles de deux longueurs différent tes^ les unes de 5 décimètres et les autres de '], on propose de faire j en les plaçant les unes à la suite des éuitres^ une longueur de 23 décimètres.

Ce problème revient à rcsoudvc* en nombres entiers positifs Tcquation

On en tire successivement

x=^ — g^^=5— jr^ -^ = 5—^—2/,

XsszG — 7/.

Poorque^ soit positif, on doit faire /^-j, et pour que x soit tutti posttif, il faut faire £<Cf« Comme il ne tombe aucun nombre entier entre j et f, on doit en conclure que le problème est impossible. •

Remarque, L'équation aurait une inBnité de solutions si Ton admettait des valeurs négatives pour Tune des iiiconnues. Par exemple, si on- fait /=o, on aura x=6y j-=-^i. Celte solution hdiqae qu'en plaçant les unes à la suite des autres 6 règles de

i38 Liçoirs d'algibbe.

5 dëcimitres, et en portant ensuite sur la ligne ainsi formée une règle de 7 décimètres, il restera la longueur demandée a 3 décimètres. Cette interprétation rentre dans des règles générales déjà . établies (102) •

145. Problebie III. Quelqiiun a acheiè des chèvres et des , moutons. Chaque chèvre lui coûte ^fr,, et chaque mouton ^']fr* Il se trouve qiiil a payé pour les chèvres Q']fr. de plus que pour les moutons. Combien y àvait-il de chèvres et combien de moû». , tons?

Soit X le nombre des chèvres et y celui des nioutons. Il faudra résoudre en nombres entiers positifs Téqualion

On en tire

En faisant f'=o, il vient /= — i, j-r=*-3, a:=:a. Par suite, les valeurs générales de a: et de j- sont

Les valeurs de a: et de j- devant être positives, ces formules montrent que i* doit être lui-même positif, et assez grande pour qu'on ait 8/'>>3 ou /'>•{. On peut donc donner à /' toutes les valeurs t' = i, 2,. 3, etc., jusqu'à l'infini 5 et par conséquent odformera ce tableau

£'i= ij 2, 3, 4j etc.

a:=29, 56, 83, 110, etc.

jr== 5, i3, 21, 29, etc.

Le problème admet , comme on voit , une infînité de solutions $ et Ton doit répondre qu'il y avait 29 chèvres et 5 moutons ,. oH 56 chèvres et 1^ moutons, ou 83 chèvres et ai moutons, etc.

1 40 • LEÇONS D*ALCiB&C .

^'ssiI!J?+*as=lI(I3+I70+ 3s5ii46+i87*, N^\iy+io—i'j{ 84-iié) + »o«»46+ï87l.

Ces deux expressions sont égales , et l'on devait s*y attendre, puisque réquation [6] a été formée en égalant les valeurs* de N.

On voit quUl y a une infinité de nombres qui remplissent les deux conditions de renoncé, et qu^ik sont tous représentés par la formule

iV« 146+187^,

dans laquelle 0 est une indéterminée qui peut recevoir tontes les valeurs entières positives, en commençant par zéro. ^

Il est d^ailleurs facile de s^assurer qu^elle satisfait à l'énoncé e c^est-à-dîre que si on la divise par 1 1 le reste sera 3, et- que si on la divise par 17 le reste sera 10. JSn effet, on' a

-'^ = i7é+i34.--,. et —==11^+8-1 .

i47« Problême V. Trouver un nombre tel quen le divisant par 1 1 // reste 3, çu* en le divisant par 17 ïl reste 10, et qi£en le divisant par ^'] il reste \^.

Dans le problème précédent, on a^rouvé la formule des nom» bres qui remplissent les deux premières conditions. En mettant x au lieu de é, cette formule est

[8] iV"=* 146+ 187a:,

Mais pour que le nombre JV remplisse la troisième condition, il doit être de la forme iV==37y-4~i^ 9 donc on a Téquation

Il est bien entendu que x et j* doivent être des nombres entiers et positifs.

Il viendra d'abord

i87.r4-ï^^^ ^' loi 2J: + 2a 1- ■ o , .

Pour que X soit positif, on ne doit donner à t que des Taleurs

positives an-dessus de zéro. Mais en faisant /'ssi-|^y on pourra attribuer à é toutes les valeurs entières positives^ en commençant par zéro. Par ce changement, x devient'

et en substituant cette valeur dans la formule [8] on obtient

iVsSooS+Ggigtf.

Telle est la formule générale des nombres qui satisfont vlvlx 4rois conditions de l'énoncé.

148. La détermination des limites a conduit (142) à rechercher quelles sont les valeurs de Findcterminée finale t, qui rendent positives des expressions de la foime ^-f"6r, ou , en d'autres termeS| qui sont telles qu'on ait

On peut d'abord transposer le terme A comme s'il s'agissait d'une équation y ce qui donne hC^'^A. .

Puis, si b est positif, on pourra diviser de part et d^autre par b^

et on aura f > — r— .

Mais si b est n^atif, la division par b changera les signes des deux membres de l'inégalité, et par conséquent, d'après le langage adopté (20), le membre qui était le plus petit devient le

— J^ plus grand. Alors on doit donc conclure t<^ "T^^

Supposons, plus généralement, qu'on ait l'inégalité

Par la transposition des termes, on a

Puis de là, suivant que a — c est une quantité positive ou négative, ou tirera •

t > , ou t<f — — .

C'eatlà ce qu'on appelle résoudre V inégalité [a]

i^a 'LEÇONS d'algbb&jç.

Je n^entreral pas dans de plus longs détails au sujet des inégalités. Les transformations qu'on peut avoir à leur faire subir ont une telle analogie avec celles qu'on fait sur les équations , qu'il sera toujours facile de les apercevoir. iLa seule précaution à prendre, c'est d'éviter les erreur^ de signes; et pour cela il -suffira de bien se rappeler les conventions établies sur, l'ordre des grandeurs (20).

Rq^olution, en nombres entiers y de plusieurs équations du V* degrés dont le nombre est moindre que celui des inconnues»

i49* Soit proposé de résoudre, en nombres entiers positifs, les deux équations

[2] ioa:+ 4jr+9^=?473-

Si on multiplie la i'* équation par 5, "et qu'ensuite on en retranche la 2*, a: sera éliminé, et l'on aura

ou, en divisant les deux membres par 22 ,

Or, les valeurs entières de y et Zy qui conviennent aux équations piroposées , doivent convenir aussi à celle-ci : en conséquence , je lui applique la méthode connue, et j'en tire

yezsnty Z = 3t — 28.

S'il ne s'agissait que de l'équation [3], ou aurait ses solutions entières, en attribuant h t toutes les valeurs entières possibles. Mais cette équation tient lieu seulement d'une des proposées (83), de sorte qu'il faut encore que les valeurs de 7- et i soient telles qu'en leur adjoignant certaines valeurs de x^ qui doivent aussi être entières, l'une de ces équations soit vérifiée. C'est pourquoi je vais substituer les valeurs précédentes de y et z dans l'équation [i], et chercher les valeurs entières de a: et t qui conviennent à l'équation résultante- La substitution donne

LEGom d'algîebbe. 1^3

€C de là on tire, en désignant par t' un nombre entier quelpesque,

jr = 69+7£'y /r=i — 2('.

Alors je porte la yalcur /=i — ^l' dans celles de y tl z, et je trouve les inconnues or, y y z exprime'es en l'y savoir :

I Ces formules *font connaître toutes les valeurs entières qui con- I viennent aux proposées.

' Si Ton veut en outre que ces valeurs soient positives^ il faut choisir l', de manière qu^on ait

69+7^' >o d'où f'>-9f,

2— 4i'>0 d'où t'<Ciy

-^.25— 6/'>o d'où /'<;— 4^.

Par là on voit que les seules valeurs qu'on doive attribuer à t^ sont l^as— ^ y —6 , ««-7 y — 8 , -^. £1^ substituant ces nombres^ on aura cinq solutions entière^ et positives :

i5o. L'exemple précédent montre assez la méthode. qu'il. faut suivre toutes les fois qu'on veut résoudre, en nombres entiers positifs, des équations du i'^ degré, qui contiennent une inconnue de plus qu'il n'y a d'équations. Mais pour ne rien laisser à désirer, je l'appliquerai encore au cas de trois équations. . Soient done, entre les quatre inconnues Xy y y z et u, trois éqnations du 1*' degré; que je nommerai collectivement les équations [A].

Par l'élimination de Xy on trouvera, entre/, z et i/, deux équar tions du 1*' degré : je les nommerai [B],

Par l'élimination de/, on déduira de ces dernières une équation du !•' degré entre z et w : je la nommerai \C],

De l'équation [C] on tire z et 1/, exprimés en fonction d'une indéterminée auxiliaire t.

]44 tÈGOM D^ALGEB11E«

Ces valeurs étant substituées dans Func des équations [B]^ on r en aura une entre y ^ t, d'où l'on tirera les valeurs de y et g i en fonction d'une nouvelle indéterminée t' ; et par suite on pourra aussi exprimer zel u en t'»

Enfin, ces valeurs de y, z, z/, étant portées dans Tune des ' équations [A], il en résulte une équation entre x et /', laquelle fera trouver x et /', et par suite aussi y, z et w, en fonction d'une nouvelle indéterminée i''.

Quand les équations proposées doivent être résolues en nombres entiers de signes quelconques, on pourra attribuer à Tindétermi- "^ née finale i" toutes les valeurs entières possibles. Mais lorsqu'on, ^ restreint les solutions à celles qui sont à la fois entières et positives, il existera pour t" certaines limitations qu'il sera toujours facile ■ d'assigner. ^

i5i. Lorsqu'on a deux inconnues de plus que d'équations , ou ' davantage, l'indétermination est encore plus grande ^ mais la con- dition d'avoir des valeurs qui soient à la fois entières et positives "^ peut limiter considéràblemen tic nombre des solutions. Je me bor- " nerai ici à deux exemples : ils suffiront pour montrer conuneht la " méthode exposée plus haut doit se 'modifier dans les cas dont il s'agit. •.

On demande de résoudre, en nombres entiers positif ^ cette équation

[4] . . ^ox+gjr+yzz=58.

Comme l'inconnue z a le plus petit coefficient, j'en tirerai

58—- 9^^ — lojr

et, en effectuant la division autant que possible | il vient

jgs=s8— ^— j:-4- . • •

Le numérateur 2—2^ — 3x doit être un nombre entier divisible par 7 : en conséquence je pose

dou ' >

LEÇONS d'aLGÈB&£, t/^$

Et jp-4*^^^^^^^ A^^ être un nombre entier divisible par a, je poie encore

Vn remontant kjr et à Zj on exprimera ces inconnues en fonction de < et l\ On aura ainsi les trois formules

Pour avoir toutes les solutions entières et positives de Féquation proposée [4]) on doit donner à f et <' toutes les valeurs entières qid satisferont à la fois aux trois conditions

pg — <-f-2i'>o, I— 2t— 3<'>o, 74.4£-(-£'>o.

Se là résultent pour f et ^ des limitations qu^on apercevra en pratiquant sur ces inégalités des opérations tout«à-fait analogues à cdks de Tâimination. Pour plus de netteté, je supposerai que la signes ^ excluent Fégalité j ce qui revient k dire qu'aucune fa trois inconnues x^ y^ x, ne doit être zéro. Vabordy si on multiplie la i'* par 3 et la 2* par 2, elles devien-

iBBt

Lesdeoit premiers membres étant ^o, à plus forte raison leu» somme doit-dle être ^o. Par cette addition i disparait, et Ton a

2 — 7f>>o, d'où £<7.

Une semblable élimination, entre la 2* inégalité et la 3*, donne

22+I0^>0, d'où £> — 2f.

On voit que l'indéterminée t est resserrée entre les limites — 2| et \^\ donc on doit prendre seulement

Gonsidârons successivement chacune de ces valeurs.

i*.Si on£8dt£aa— *2 dans les trois inégalités [6], elles devien*-

Gbminé Si n'j a attcan nombre entier entre i et if, il s'ensuit que ^ la valeur i =— 2 doit être rejetée, a^. Si on fait ^ =— ï, les trois inégalités [5] deviennent

tfoù i'>-T, «'<+!, «'>— 3.

Entre -«-? et ^i il n^ ^ P^ diantre nombre entier que o ; donc i on pourra prendre . ' '

^=—1 et /s=o. 3

3** Si on fait £=09 les inégalités deviennent

a«'>o, I— 3/'>o, 7-|-£'>o, ïî

d'où £>o, t'<f, «'>— 7-

Snire o et f il n'y a aucun nombre entier; par conséquent la va- li leur fsso doit aussi être rejetée.

Les seules valeurs de t et t'y auxquelles correspondent des valeurs entières et positives de Xyj'y z, sont donc f =-^i et £'==0. En « hs Bobslituant dans les formules [5] on obtient ' ?

et cette solution est la seule qu'on doive admettre pour l'équa- *

tîon[4]. -

x52. Pour second exemple, je proposerai les deux équations

6* + 7 j^-f" 2^ + 2" ==? ïo®> 24*+ 1 V+ 7* + 3» = aoo.

En éliminant Uy on a

Gomme dans cette équation les teimes Soar et 100 sont divisihlei par 5, le mieux sera de prendre la valeur de z : elle sera

« = 20—- âr-— -p-.

Alors «>n toit que y doit être un multiple de 5. Par conséquent^ on aura

LEÇOirS D^ALG^BRE. ||4

pots, en substituant ces valeurs dans la i** des deux ëquatioûê proposées, il vient

6* + 35/ +60— 1 8x — 9/ -(-au = 1 00, ou bien — 1 a* -(- a6/ -4- aw = 401

d'où i/=2o+6*«— 13^

Les trois inconnues y, Zj z/, se trouvent ainsi exprimées en fonction de X et de Findéterminëe auxiliaire t.

Pour résoudre les deux équations proposées en nombres positifs, il iaut évidemment prendre :tr et f podtifs, puisque x est une des inooimues primitives, et que j^^=5t. Mais il £aat satisfiure aussi nsin^alités

ao— &c— 3*>o, ao+6*— i3r>o.

En les ajoutanti x disparait , et il reste

4®— i6/>o, d'oîi «<a75

donc les seules valeurs qu'on doive donner à t sont e = o, i , a* Avec la valeur f = o on aurait

^ = 0, z = 2o — 6x, i/=ao-4-6^;

et l'on voit qu^on peut faire jp= o, i, 2, 3. Delà résultent| pour les équations proposées, les quatre solutions suivantes :'

ar= 3

jz= a 11:= 38*

Avecla valeur tss i^on aurait

^=5, 5;=i7 — 6ar, « = 7+6^?;

et les seules valeurs admissibles de x sont xzszo^ i, a. De làrésulteat les trois solutions

Ix=: o [x= I [x=z 1

y= 5 Jj'= 5 \jr^ 5

1ZSSI7 Jz = ii Jz=î 5

[uss: 7, (m = i3, (w=I9.

Ëifin • avec la valeur / = a, on aurait

^stOy ;5s=i4— 6jr, i/s=x— 6+6».

l48 LEÇONS D*ALGkBR£*

Les seules valeors admissibles de x sont a? = i» a ; et de là résultent encore les deux solutions

Zs=i 8 IZ= 2

En tout , neuf solutions. Il n^y en aurait plus que trois si on excluait celles dans lesquelles une inconnue est zéro.

i53. Comme exercices^ je placerai ici les énoncés sulvans :

Pbobusme. Quelqu'un achète loo pièces de bétail pour loo louis y savoir : des porcs à 3 louis i la pièce j des chèvres à tlouis jf et des moutons à j louis» Combien jr ayait-il d^ animaux de chaque espèce ?

BipoNSE: Nombre des porcs ;= 5, lo, iS; ^ Nombre des chèvres =4^y 2$» 6; Nombre des moutons =s53, 66, 79.

Problème. Un orfèvre a trois sortes d! argent ^ le marc delà '

première contient 7 onces d*argent fin, le marc de la seconde 54-, '

le marc de la troisième 4 i» Il veut faire un alliage dont le marc ^ contienne 6 onces d'argent fin. Combien doit-il prendre , en

nombres entiers^ de marcs de chaque sorte? ^

RipoissK : Nomb. des marcs de la i'« sorte = 10, 12, 14, 16, 18; ^

Nomb. des marcs de la 2« = 20, i5, lo, ,5^ o; "

Nomb. des marcs de la 3* =0, 3, 6, 9, 12. *

Problème. Un fermier a acheté 100 pièces de bétail pour 4000 fr,, savoir : des bœufs à ^00 fn lapièccj des vaches à ** 20oyr., des veaux à 80 fr., et des moutons à 20 fr. Combien javait-il d'animaux de chaque espèce ?

1^'poKSE. En exduahi les solutions qui renferment un zéro , le __ problème admet les dix suivantes ;

Bœufs I, I, I, I, I, I, I, I, 4, 45

Vaches.... i> 2, 3, 4> 5, 6, 5, 8, i, aj

Veaux 24f 21, 18, i5, il, 9, 6, 3, 5, 2j

Moutons... 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92.

LEÇONS D'aLûÈBRI.