CHAPITRE IX
Équations du second degré , et questions qui en
dépendent.
Méiiùûùn âeê équûtiôhi du second degré à une ieute inconnue*
' 1^6. Lonquei par rétanonissement des dénominateursi oa par mtxe préparation , nne équation ne retienne pins que des connus et des termes affectés du carré de nnconnué| on 1Km|ours la ramener k la forme
idus sa résolution est facile. En effet, puisque k carré de x
[inl reproduire A, il s^ensuit que x est une racine carrée de A :
r, cette quantité a deux racines carrées représentées par ± Va*,
\ieik a pas daTantdge (i54)> donc on aura toutes les solutions
jleréquation [i] dans les deux yaleurs
x=±.VJ.
^hBMTLB î. Soit réquation
a** 4fiL I '**
|h fhfM^ d*abord les dénominateurs, et successirement il tient
(aft— 3a)a?? = 5fl*«4-a»* ,
£aa»u II. 2ï- «s — = — ^
Exemple III. 3x* + 1 7^ 5»*+ 89 ,
. ^ ar=r±vc:36=;t6V:=r.
177. Gonsidërons maintenant Féquation la plus générale c . degré. Elle doit renfiMmer trois «Ortes de termes t les uns afi« da49Bnré â^ de tinf^efmwtfe^ d'autres «fiect^ de x an premier di «t d*ttntNS«Dftièfeilfteiit colmtps^ Après avoir transposé tous les mes dans le premier membre^ ixtk pourra réunir en un seul ceux qui contiennent x^j aussi en un seul ceux qui contienne] et aussi en un seul ceux qxA Sôtit tout connus. Alors l'équs
rpi9ip4va:lA:A»in#:f ;, . *• :
6b Ùk: éttiSèM W4|to à («etct éqûatfefl tme siupli&eationy fèiiààÊU à âégâ^ ]«««ittitf Ar*Àr soniàuâtifëiàum a.Aeeit on divise tous les termes pftr^'^ 3 orient
X**^ — ag«i}i ers O.
Si le terme en x* avait le signe — ^ *on '(iliàitfgiellBdt t<>ii8 h» sigi de sorte qu'on peut J^jf^iûr^ ram?9er lé ^emier terme à être
Soit fait, pour abréger, — ==/;, — = ^r : on aura
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et telle^ eist la forn^e 9éB|£f46;1Uiaqadyiir on liéduit les équations second degré, p et q étant des^qumtités connues. Par exemple, si Totf proposé teqâtdbn
m k cfaaogtit moceiiÎTeiiient en ceUet-d :
gr—aa:* 5=60—240:, — ax* +33j: — 60 =5 o , a:*— "«-|-3o=o.
Cette dernière ëqnation est éfidemment comprise dans Féquation jif-|-/Mr-4^9:s Oy en faisant /? = -^-^^ jr = 3o* 178. OœttponMioni dotic de résoudre Tëqùation générale
Cela iitMit fiMSe d on pondait Id donner la forme
« «^cnH det quantités connues. En cffetydans tàlt-d on toit
Ml AÊiâr X de manière que le carré de X'^m soit ^al
!li)>AMie X'^m doit éire une racine carrée de /t. Or, il j a foni
n deux racines carrée, qu'on désigne par rh Vn 5 donc on doit
et par mite, en transposant m,
Retenons k Féquatlon [ij, et cherchons à la mettre sous la bnne(âP-4-in)'=:n. En transposant ^ dans le second membre, die devient d*abord
Ittntenant rappelons que le carré d'un bin6me se compose du euré da 1^ terme^ plus le double produit du 1^' par le 2*, plus k carré du 2*. D suit de là qu'on peut regarder x^'\'px comme Ibi deux premières parties du carré de x -|- t/' • car x^ est le carré ittXy etpx est le double produit de x par {p.he premier mem* }ge x^-^px sera donc le carré de x-^^py si on lui ajoute le carré de \p ou jp^. Or, on peut en effet lui ajouter ce carré , pourvu qu*on Fajoute aussi au second membre 5 et de cette manière réqnation deviendra
iS4 ^ Ct^MfS b*it.Gfait:
AlorSi en ndsonnant comme pour VéqaBÛon(x^m)*ssnj o en tire d'abord '
[3] x+ip^±Vip'^q;
et par conséquent
[4] Xr=.^ip±.V^p*-q.
On a ainsi deux yaleurspour x. Il n'y ^ a pas d'autre : cai pour que (x+i?)* «oit ^al à -Jp'— J, il feut que jc+t/' «o ^al à la racine carrée de iP***— 7» or, nous savons que cell
racine n'a que les deux Valeurs désignées par dti V\p^ — q ; don toutes Jes yaleurs de x doivent se tirer de l'équation [3]. On nomme en général racines d'une équation toutes les valeui
de l'inconnue qui satisfont à cette équation. En conséquenci nous dirons que les valeurs {41 sont les radnea de l'équation [2]. 17g. Si l'on vent vérifier ces valeur», il suffit de les substitue tour à tour.dons l'équation* Eu substituaut la première » celle o le radical a le signe 4"> il yi^ni . -
et toute réduction £adte, on voit que le premier membre est e e£Fet identiquement nul. La seconde valeur de x se vérifie sem Uablementi sans autre changement que celui du signe qui précèd le radical.
180. On a fréquemment à résoudre des équations du 2* degré pour cette raison , il sera commode de traduire la formule [à en langage ordinaire et d'établir ainsi une r^le applicable à toi les cas. En observant que/? est le coefficient de x, pris avec le sigc dont il est précédé dans l'équatioa [2], et que .q est la quand toute connue écrite dans le premier nMsmbre, la r^Ie sera celle-ci
Lorsqu'une équation du 2* degré est rtvnehéê à la fom> X» 4- P^ + 9'=^ Pi V inconnue x est égale à I0 moitié du coeffi dent de x pris avec un signe contraire^ plusqu moins la raeit carrée de la somme qiion obtient^ en ajoutant au carré de ceti moitié le terme fout connu ^ pris aussi avec itn,signe contraire-
181. Yoici quelques exemples dans lesquels cette rcgle est al pliquée. • /
EmcfLsI. Soit rëquadon
O ÙLUt remarquer : i« qa'eUe a dëjà la forme prescrite dans la li^j a* que le coefiScient de x est— lo, dont la moitié f ayec na %Be contraire, est 4- 5 ; 3* que le terme tout connu est-|-9- Ihit la r^le donne sur-le-champ
A Ici demc Talenrs de x son t
jrss5-|-4==g9 et «2=5— 4= !• • Soit PéqnatioQ
* , 3 ar+i3
Ikk ramèiiera d*al)ord à la forme x*'\^px'\*qxs o. Pour clias» arki déoinmiateurBy on multipliera tous les termes par 6x; puis, l«i oontinnantles calculs, il viendra
3«* 4- 18= as + 261 3x* — 2x— 8 =0,
I^idoiiei pour les valeurs de x.
KiBMrU
st!
X*— ax=4^ — 99
xsS ±: V9— 9,
ce casy la deux ndenrs de x k rédub >ent k une seule*
té6 tgqmm m\
Exemple lY. loo** — iôo«4*4i'"^* ^^
iktau
iti{aa'
Les deux valeurs de x sont imaginaires à causé du radfîcai^ V^ — ih' Profilant de II rwtarqut £urte d^^ftle a' 167, j'ai extrait ,,.. la racine carrée de —'- sans faire attention ^u sigpe-— ^ et fai
remplacé ce radical par I V — i. . '""^
Composition de^ téquaticn du 2* degré ^ 4* êâf ^H^H^ci^mf* fHfmiffM-^^
des racines, '^
