Dans le n"* i549 on a décomposé le premier membre àê
Pécjoatîôn :t*'— A = o en deux facteurs ( r-^ k A) >< (ar-f- rS) i une décomposition analogue peut s'opérer àam féquation générale
Remplaçons j:'-)-/>^P^ Texpre^sion équiv^ente (^+7/?)'*— i/>* « on aura ^*p
Là quantité 7/?*— g^ peut se changer en ( V^/?' — y)', et on met-^ tra ainsi en évidence la différence des carrés des dejix quantit^j ''
x-hiP 6^ ^jP* — ^' Or, celte différence est égale au produit^ de la somme des deux quantités par leur diffi^Hcej donc
Telle est la décomposition que nous Toulions faire connaître. Si
Elle conduit à un nouveau procédé pour résoudre Téquaticn ^L
a]. En effet, elle montre que les valeur» de x doivent rendre nal'''Gïy
• produit 'i*^
I ce pTodut draent nul en galant k zéro Tua oa Tautre de« teiirs, et en outre 3 est ëvident qu^il ne saurait devenir nul si MO des £KCleiurs n*est xëro; donc les valeurs de x, qui coninnent à Téquation [2], doivent se tirer des équations
iqiidleB donnenl les radues déjà connues (178) ,
i83. De nouvelles propriétés se présentent ici, qui recevront lof tmcA une trts grande extension, et qu'il importe de remarier dis à jpréseut.
I* n est évident qne ks deux facteurs du premier membre de iguaiian 'xMl**4^=*^^ ^^'^^ ^^ différences qiion obtient en remtehani de x chacune des deux racines \ de sorte qu*en nomlant acf etsif c^ racines, on a
2* Si on effectue la multiplication (:r — xf) (x — x^j on trouve
t, comme ce produit doit être identiquement égal à x^-^^jx^i^^ [ s'ensuit qu'on a
j3= — a/— ar", q = x'x"»
Ses relatîons , qui peuvent d'ailleurs se vérifier immédiatement nr les valeurs [4], s'énoncent en ces termes : Dans toute équation ïu a* degré j ramenée à la forme x*-f-px-4-q==o, le coefficient ) du second terme est égal à la somme des deux racines ^ prises ivec des signes contraires j et le terme tout connu q est égal au produis de ces racines.
Quand on sait qpe les deux racines d'une équation du a* degré lont réelles, les relations ci-dessus font connaître sûr-le- champ la nature de ces racines. Par exemple, admettons que celles de l'équation 4P^«-i2x— -7=so soient réelles : on conclura immédiatement qu'elles sont de signes différens, puisque leur produit est égal au tonne tout caasxu «—7 } et^ ttx outre, que la plus grande est posi-
Si
168 UÇOM D^AliQkBU. '
dre, pinsque leur somme est <%ale à -f^, côeffident de x pris 4 avec un signe contraire.
184. Maintenant discutons les racines de Féquation [2]* Les Taleurs générales de ces racines sont . ;i
[4] x^^kp±\/W-q^
et Ton est assuré que le tarme j/»' est positif , quel que soit le signe de /?. ^
Si q est n^atîf dans Féquation «*-|-i/?a:-f^^o > ^ quân- i tité jP^"^ sera positiye et >tP* î donc V^ljp— ? «cra une ^ quantité réelle et plus grande, en valeur àbsofue, que 7/7; donc " le terme — 7/7, placé ayant le radical, ne changera point les ^ signes des deux valeurs de ce radical ; donc les deux valeurs de x seront de signes contraires entre elles. II est d'ailleurs évident que * la plus grande est de même signe que •— fpi et par conséquent de signe contraire à /?•
Si Ton a 7=0, les deux valeurs de or sont xsso et x^^p* Alors Féquation générale se réduit à :r'-|-pa7=o, où x{»^p)ssio^ et il est évident que ses deux racines sont en effet jr=o et xas— p.
Si q est positif et <Ct/^"> 1« radical V^j/?*— ^ sera encore réel , mais <^pi donc les deux valeurs de x seront de même signe que le terme "— ip placé devant le radical : c%st-à^ire qu'elles sont toutes deux positives quand p est négatif, et toutes deux natives quand p est positif.
Si Fon a q ^xp*^ les deux valeurs de x se réduisent à une seule, â:=:— ^/7. Dans ce cas^ puisque qssi\p^j Féquation devient
té
Le premier membre est donc un carré, et alors on voit clairement que Finconnue n'a en effet que la seule valeur ars"— 7/7 •* car aucune autre ne peut rendre ce carré ^al à zéro.
Enfin, si q est positif et ^/''i la quantité xp*— f placée sous le radical est négative, et les deux valeurs de x sont imaginaires. Changeons le signe de la. quantité ^p'—'j, et nommons r la racine carrée de q^^ip^* On aura jp*— ?=— r*} donc (157)
± Vrip^—i: K-^ae ± r V^l î
Im Takun de âp pourront t^écrire aiiui-.
• ^ jj^^-Pt^sB —r* on lire q=*ip*^\r'*f et par toile réqnatioa traie derient
premier membre est alors la somme de deux carrés, et, sous 9 forme, on reconnaît pourquoi les deux valeurs de x sont ginûref : c'est qu'il n'existe évidemment aucune valeur, soit tHre, eoU Q^^ve, qui, mise à la place de x» puisse rendre j8 -Isi «omaé de ces deux carrés.
lictiimHMéi à nmatguer dan» les équatiom» de Informe n^'-^lMC<4>cao«-
B5. Ponr râoudre Téqualion
aj:*+ij?+c=: o, A dÎTiie d'abord par a^ afin de lui donner la forme ordinaire
«•4 — xA — s=o;
ï on en tire^ parla règle générale (iSo),
en réduisant au même dénominateur sous le radical,
règles connues < 1 75) donnent
%/b*—4ac Vb*—/iac ^
c les valeurs de x peuvent s'écrire ainsi ,
— b±.Vb^—âac 2a '
tniTant qu*ottenra6!-«*4^>o on so 00 <o, eUet ie«
font rëeDes el inhales, «« wtktkn «i ifgri^t ^ ^ît» iibighMiMf .
i86. Mais le cas particdi^r cpi^ nous Tioulons remarquer ici , c'est celui où la quantité a, coeffident de x* dans Féquation proptMtë'-j iibàâiÊ/i» jqiy% être tété. Spit Âmio fait asBOrka deux valeurs de x^ prises séparément , deyiendront
^B^yp —6+b o
iMjnMoSkréim ftéakàté sous In forme^; mais, f aprèi les oliser- Tations du n* 124^ il ne s'ensuit pas. pdor cda qu^dle soit ind^ terminée* et même on ya montrer qu'elle ne Test point* Quant à U àeoimàtf éBe est infôiie.
Reprenons la valeur générale de la première racine ^
— &+l/?*— 4flc
Si m Urii Sueumst ate miiwératenf et a» déMmmMsf y «b k supprimerait, puis on poserait a^o, ^t Ton aurait la vraie valeur de X, A la vérité y on nt peut pas mettre en évidence ce facteur, mais la difficulté est facile i, ^^der. Multiplions le numérateur et
le dénominateur par 7-$— VJ'— 4^^ • ^ viendra
(— j:4> t/&»^4ife)(-^ t -^ V^g^^— 4flc)
Le numérateur est aloirt lé prp4uil de U somme et de la différence des deux quantités — - ft et Vb*^^aei donc 3 est ^al à la diffé* rence des carrés, savoir : b*'^b^r^^ ou 4^ Qff ^^ <^ûi^ que 2a est facteur common aa,numér9\1;çui^ et au dénominateur de la dernière expression» £d U supprimant» dte devant
et si alors on y fait afore, eUedonao «qpi»^-7 pour la vraie va-
kiUifUil^CMUifiqyaia'^Iicésvu^ .
ïtëhitif emént t Ik vàieilir A ss 11= : il y a Molcàiêttl t oiMmélï
que le divisfunr sd9 {^"mii ^ i^gwrrfll Jd copine limite de grandeurs iéôroBSiûl^q^^ 9ç^ ô^^t<^ • fpit n^âter, il s'ensuit que la valeur infime Avii avoirie^signe ambigu dfl (l^)*
Ainsi, en résumé, les valeucs^générales de x\ d^dîuitès dfe Téquation ax^^bx-^osÊa^^ dffâsnie^y èiBi* l'hypothèse asso,
Il est tout-à-£ut digne de I'emarque^OJQ.Ja^|^llu;,(^^^ culier trois valeurs àt Xj tandis quei dans le cas général , il n'en exista qii9 d«ii^ Pour bien comprendre que ces valeurs conviennent véritaUe-
— ia: — c
Lorsqu'on suppose as=o^ la question ^t donc de trouver les valeurs de x qui rendent nulle Texpression ;— — • On voit tout
d'abord que la valeur 07=9 -7*^ la rml njoUe ; et comme la même
expression peut s'écrire âînsî — — ^ --> on reconnaît qu'elle de-
vient, aussi zéro par les vataUD xsdi 00 (^)*
187e Considérons le cas plus particnfier encore où l'on aurait à la fois aso et Â=o. Alors \^ dé» valeurs générales de x deviennent 7. On a vu £lu$ haut q^oe I9 pcfiSlièrç p§ut se c)ii|}|;$fr CS»
— -ac
tmvmmmmi'^r^^'^mm»-
{*) Dans la théorie tfnalyti^ne dés cowrbes, ces ^enrs répondent aux intersections de U ligne des aj>scis8es jp axée la courbe du 3* ordrç dontré<|uaUo]^ est yjr*-f-5jr-f-o=so. Si on construit cette courbe, on reconnaît que faxe dies jp la rencontre d*abotd It «m ^ttstance i&me de l^origfine » et ,. de phuy qu'il e» tife^ acjivptote, taotduc^Cé des jrpqiutîli que dn côté des ap àèiitifry eftfdiifiiiM^ à dire qu'il la rencontre à l'infiai da^sl'ui^ 9k C^JDlVI
1711 uNjowViMliu;
T^amfonnoDi la flcçonde d'ime manië^e analogue : ftUe devient d^aBord
* aû(— 4rfV^«— 4ac) *
poil I en réduisant /
Maintenant , en faisant a s? o et 6s= o , les valeurs dé x , aii^i transformées, donnent toutes deux xs oo; et ici. encore Tinfîni
doit fiti^ prié âtëc lé dgne ±:.
RéêoUition de qudqmes problèmes qui dépendent du ^ degré»
MSB
186. PaotLàiiB I. Trouver tm nombre tel qu^en UmuUipUant par un nombre double^ le produit soit égal à un nombre triple augmenté de g»
Soit X le nombre demandé, cet énoncé donne sur-le-champ
XX2X=s3x+Qi
et de cette équation on tire sucoènivement
x^idtiir^T^f '
Done enfin xcsf^rsS, et xaa— |a— |.
La valeur positive a «^3 satisfait k la question dans le sens
précis de Ténoncé. Si dans Téquation primitive on change x en
—X, elle devient
«X»sg— Sx;
et de ]k on conclut que la valeur native —7, étant prise positivement) i:ésout le problème dont l!énoncé demanderait quel est le nombre qui^ multiplié par son double^ donne un produit égal à g diminué du triple de ce nombre.
i8g. Paobl^me H. Partager Un nombre doftni p e^ ^eiur parties dont: le produit soit égal à w% nçmti^e donné q.
En désignant par x Tnnc des i^% pariiel du nonÀre p^ Fan* ti€ sera p— x. et réqnation à ré^oadtefera
*{p—x.)ssq,
oabieii «*«-^j7X-{^"^êo,
Ces deux taienrs semblent annoncer. deiuc manières dé satisfaire à la qnesiion; mais leor sommé étant éffle au nombre à partager p, il s'ensuit qu'en preul^ Tune d'elles pour Xy l'autre sora p-^Xj c*est-à-dire qu'elles sont les deux parties cherchées. Ce résultat était d'ailleurs facile à prévoir : car « ne désignait pas Tiine deiLpactiesf lus que l'autre^ et le calcul devait par conséquent lea donner tqiites deux pour valeurs dé x. . ■ ,
D'apris ce qui a été dit sur la composition des équations du a* dipgnSi(i8B)Y/dia pouvait ranuquer tout d'abord que leàdeta ttWihgesJnçonïms» devant avoir poursoinme p etpoor prodnit^Çy aont Iti denxradnes d'une éqnatibn du' a^ dc^ ^daiis laqueUe le Yïoéfficwn^ de x serait égal k — p, et le dernier terme égal kq; donc ils Vivent être déterminés par l'équation j;*'— -px \ ^i^o.
Le probité n'est pas toujours possible, car si on ddnne
q^^ Içs valeurs de x sont imaginaires. La plus grande va-
4 \ leor que puisse avoir q^ sans qae le proMèine soit imposôUei
est '^y et alors les deux valeurs de x sont ^ales à '^« Donc le
plus ^ grand prodidt qu'on puisse faire avec les deux parties d'un nosnlNre est égal au Ca^ de la mbitié de ce nombw; . . .
igQr» Cette conséquence se préeenle imméâiafaiaant llonqu'on «résout k proUëne proposé en prenant pons ineànnUct la différence des deux parties cherchées* Nommons j cette différence, a la plus grande partie, et & là plus petite. Comme leur somme est Pf otk aura (ga)
JNJamnt ooy en effectuant la mnlfipllcaddn,
Cette équation montre que la .pins grande valeur du produit a lieu lorsque la différence z. est nufle^ ou , ce qui est la mSiaie dliose j lorsque les deux parties sont ^ales entre dles. Pour trouyer a et ft, dé Té^tion d-dessus on tire
— «— *^* MM 'm^m Émmt /T •■
et par conséquent on a
Ha devra frwdte les signes «^érieun ensemble, ms bien les fligMs kaSéÔÊom eiwanhle : mab on n'a toujonis jqu'iaw scde •olariol^{MnM)aW M fiûa ainsi cpie changer L'^^ g^
i9i« PnomàMi UI. Déùstrpmrf sur la droiic qtU joint data: ^ bmdbreêj h p&ùu q» eH égid^mmi édairi pur dotûme^ ,,
Je supposerai connu ce principe de pb jriqœ t :qne Je^ iaten- ^ sites d'une même lumière, pour des points qui en spnt inégalement éloignés, sont entre elles en raison Inyerse des carra de leurs distances k oeite hmàkfe, Cesi^-dir^ qu'à une dinaace double» , triplq, etc., rintensité de cette lunuëre sera 4 fois, g fois, etc., '^ plus petite. ^
Je ttoaqueiai a Kistemitë àt la iw^niiiire luanfacepoorics points f^i placés à Tunité de distance, et iriatensité de la ksqende ponr ks ^ .pofaHs ^aiét4k;.«ème djeanim ;gestparçBS quantités ^m Ton compare les deux knnijfenis enti^ elles, et 1^ die, pew eette^â raisMi, que a et i en sont les mlawti^. k
Cela posé, soie«l A H jB Jci de^i Ifoêèses^ et C le point chertu-a
chë. Je fend ABsnd, AC=x^ d*o& BOssd^x^ ly^^K^I bfipaoqM
cité, aux distances 2, 3, 4»* • • Hntensit^ de la lumière A serait
P ~' ]^j**«; donc pour le point C,* la fistancear, die est -ï^.
Pareillement Fintensité de la lumière B, pour le mime prâit C,
b àla distance d—x^ est ^^^ . Ojr, renoncé exige iioe ces deox
intensilés soient t%ries; donc on a réqeMtion
EDe pent sTéortre ainsi
et pour éyiter jd*iûtioduire des rji^^ux dans le calcul j, je mettrai c* au lieu de —, ce <)ui reyienl à dealer par e la Htia» Ma4t I de ce rapport. Alors Féquation à résoudie sera
un pourrût développer la carré de if— «, etmettte êétté ééftÈf tion sous la forme ;r'-f^j:-|-2=o j mais on la ramène sur4êi<iiikillp au i*' àegri en extrayant la racine carrée des deux me^i^res* On troirre ainsi, en donnant à diaqué raicSne le «gne dtz^
et, à cause de ^'ambiguïté des ^nei| cette équation éqmfMt aipx quatre sulyantes :
Hais si on change tous les signes des deux dernières [d]^ on retombe sur les deux premières [c] ; par oonséquent on se bornera à considérer celles-£i.
A ce sojet on peut remarquer d\ine manière générale que tontes Jci Â>i^ V^^^ extndt la racine carrée des deux menilûres d'ane Lii|aaiioB9 il.iuffit de mettre le ^gne ±: detant tu JTenx.
.176 UE^ff ^^ALOifltl*
^' Je réiodt donc les éqaatioDS [e] , et j'en tire les Aenx Talenrs
Discussion* i^ Soit c<^i. Comme c* représente le rapport -,
cette hypothèse revient à supposer là lumière A plus intense que B. Alors la première italeur de j: est positive, <^</, et^id. Donc il existe entre les deux lumières, et plus loin de  que de B, un point G ^[alement écrire par diacune.
La seconde valeur de a: est aussi ponrïve, mais ^ dL EUe détermine un point tel que CS^, au-delà de B par rapport à A; et il est facile de reconnaître qu'en ce point Fintensité de la lumière qui . émane de A est la même que celle qui émane de B. En effet, ou 'est certain que cette valeur '^S'x satisfait à Féquation [0] ; donc, ytxi la déégmA par ^, on doit avoir
jl%filité 4ont ks deux membres sont précisément les intensités dont
(,r 2^ Soit c^ I : c^est-à-dire que llntensité de la lumière B surpasse celle de A. H est clair qu'on doit trouver pour le point B ce qui vient d'être dit du point A, et réciproquement. Cest ce que les valeurs de x confirment.
La première, qui est positive et <[7 ^, montre qu'il existe entre A et B un point ^^einent éclairé par chaque lumière, mais qu'il est moins rapproché de A que de B,
La seconde valeur de x est n^;atite : désignons-la par ^^af. Gomme elle doit toujours satisfaire à l'équation [«], on a
(d+afy
Or, si de l'autre c6lé de A on prend ACssxf^ le jpreînier meoibxt de réalité ci-dessus exprimera l'intensité de Jb luinij^ que le point C" reçoit de A, et le second membre , cdle 'ip hî ipmière qu'il reçoit de B; donc le point G' est Cernent édairé par A et
LEÇONS d'aLCÊbAE. 1^7
par B. Ainsi ^ conformément au n*' i o4, Ja valeur négative de x indique un simple changement de position dans }a distance que cette lettre représente.
3« Soit c= I , ce qui suppose deuic lumières d^égale intensité. Les deux ypleurs de x deviennent
X 5^ -— • X ss , 2 O
La seconde étant infinie, il n'existe plus, à proprement dire, qu'un seul point également éclairé : il est déterminé par la première valeur, et c'est le milieu même de la ligne AB.
Pour montrer comment la valeur infinie peut convenir à la question, remarquons que dans le cas actuel, où c=:i| Féqua tien [6] peut s'écrire ainsi :
Alors on voit qu'en donnant à x une très-grande valeur, le premier membre différera très-peu de Tunité, et que cette différence peut être rendue aussi petite qu'on voudra en prenant x suffisamment grand. C'est là le sens qu'on doit attacher à la valeur infinie, laquelle a d'ailleurs ici le signe ambigu ±l,
193. Pour exercice, je proposerai encore les énoncés suivans : Problème IV. I>eux ouvriers employés à des prix dijférens^ ont été payés au bout d'un certain temps. Le premier a reçu ^/r.j et le second , qui avait travaillé 6 jours de moins y a reçu 5^fr. Si le second avait travaillé tous les jours j et que le prc mier eût manqué 6 jours y ils auraient reçu tous deux la même somme : on demande combien de jours chacun a travaillé^ et le prix de sa journée. Réponse : Le 1'*^ a travaillé 24 jours et gagnait 4 fr* par jour ; le 2* a travaillé 18 jours et gagnait 3 fr.
Problème V. Un marchand fait escompter par un banquier deux billets; Vun de 1577^90 payable dans 3 mois, et Vautre de 2605^ payable dans 7 mois. Il reçoit pour le tout la somma de 4o5o^ .• on demande le taux de Y intérêt d!aprhs lequel V escompte a été fait. Réponse : Le taux annuel de l'intérêt était de 5^,6o
p. lOO.
Ij8 LEÇONS d'algèbre.
Paobiàms YI. Trouver deux nombres xetj tels que si on les multiplie respectivement par des nombres donnés a et b, la somme des produits soit égale à un nombre connu p ; e/ tels encore que si on multiplie leurs carrés par les mêmes nombres a et b, la somme des nouveaux produits soit égale à un autre, nombre connu q. Réponse :
ap±Vab[{a + b)q'--^ bp zpVab [{a + b) q—p^] ^— a{a+b) ' ^"^ a{a^b)
If. B. Si le lecteur trouve quelque difficulté à résoudre ce problème, à cause * des deux inconnues qu'il renferme , il {»ourra remettre à s'en occuper après le 110194.
Equëittons à une seule inconnue qu'on résout comme celles du V degré. Quelques exemples qui renferment plusieurs inconnues et qui dépendent du a» degré.
193. Lorsqu'une équation ne contient que deux puissances de rinconnue, dont Tune a un exposant double de celui de Tautrc, on peut la mettre sous la forme
En considérant d'abord x"" comme l'inconnue, jr"« en sera le carré, €t l'équation se résoudra comme celles du a* degré. On a ainsi
Représentons d'une manière abrégée par a et & les dieux valeurs de x^i on aura
ar^ = a et x^sssb:
et quand on saura résoudre ces équations , c'est*à-dire , trouver toutes les valeurs de x qui satisfont à chacune d'elles, il est évident qu'on connaîtra toutes les solutions de l'équation [i].
Ces équations sont de la classe de celles qu'on nomme à deux termes, et je renœttrai à m'en occuper plus tard. Pour le mo- BMni )€ m'arrêterai au cas de i»=:2. L'équation [i] est alon
LEÇO» D'ALCttmE. 1^
en prenant o^ pour inconnue^ on en tire d'abord
et ensuite, chacune de ces nouvelles équations donnant deux ncines, Téquation [2] en admettra quatre, savoir :
Supposons, par exemple, qu'on ait Tëquation particulière
On fera dansles formules précédentes /7=— 12, j's— 64 ; et elles donneront
x=±\/e+ V 36+54= ±:v/6-f Vioo= db ^16=^4,
Ainsi Féquation dont il s*agît a quatre racines , deux réelles et
deux imaginaires : x^=±/^^ xe=:±:j2V — i.
ig4« Les principes qui ont servi à résoudre les équations ou 1*' degré à plusieurs inconnues, reçoivent aussi leur application dans le 2* degré.
Exemple I. Soient les deux équations
[3] x+j'=ay x^+y=b\
Pour les résoudre, d€ la 1'* on tire
00 substitue cette valeur dans la 2*, laquelle devient racoessive-
ment
X* +(a — x)* BE i*,
2X* — 2ax + a' = b^y
X* — ax sss .
Cette dernière donne deux valeurs pour or, et en les portant dans Fexpression jrssza — Xj on aura pour jr deux valeurs correspondantes. Il vient ainsi
l8o LEÇOKS D^ALG^BBE.
Il faut avoir bien soia de prendre les signes supérieurs ensemble, et les signes inférieurs ensemUe.' Les deux solutions qu'on obtient ainsi ne différent que par le simple changement de x en j^ et de y en x* Ce résultat était facile à prévoir par la seule inspection des équations [3], puisque ce changement ne leur en fait subir aucun. Une observation analogue se présente dans Texemple sui* Tant.
Exemple II. Soient les équations
[4] *"+^*=û% oyasi'.
La a* donne ^ = -— , et par suite la i" devient
b^ a:'+ — = û' ou x^ — û'x'+^* = o.
En considérant pour un moment :r* comme Finconuue , ou tire de là
Par conséquent, si on prend séparément ces deux valeurs, on en aura quatre pour .v, savoir :
En mettant ces valeurs dans l'expression j-sr — , on obtiendra
les valeurs correspondantes dej*. Si op substitue d*abord les valeurs la]j il vient
^V^ia' + Wa^—^b^
Pour simplifier, on multipliera les deux termes de cette fraction par le radical V^a^ — iVa^-^^b^ : il en résulte
LEGOlfS D^ALGEBBE. l8l
En réduisant le dénominateur, on le trouve égal à b^ \ donc
^ s= rfcV/^ û* — ^ \/û4 — 4^4.
Sans nouveau calcul, il esl clair que les valeurs de y^ correspond dan tes à celles de la formule [&], seraient
On voit donc que les équations [4] admettent quatre solutions qui sont complètement connues. En prenant, dans chaque accolade ci-dessous, les signes supérieurs ensemble et les signes inférieurs ensemble, ces solutions seront représentées assez distinctement de celte manière :
lr=d=\/ia»— i\/^4zr4^ \y = ±y/\ «» + ^ v «4— 4^.
Les mêmes équations fi] peuvent se résoudre plus simplement comme il suit. En ajoutant à la i"lc double de la 2", et observant que a:'-f;7'''-f-2x/ est le carré de o^-l^? il vient
(a:+jr)' = û' + 2^», d'où :r+j*=±: Vû*+2^»".
Pareillement, en retranchant de la i" le double de la 2% on a [x—ff = a» — 2^« , d'où .r — j- = ±: Va^ — iO*.
Maintenant qu'on connaît la somme x-^jr et la différence «— :^, la règle du n*» 92 donnera les valeurs des deux inconnues. On peut d'ailleurs associer comme ou voudra les signes des deux radicaux. En les prenant tous deux avec le même signe, il viendra
l8l LEÇOVft d' ALGEBRE.
Puis, en les prenant ayec des signes contraires^ on aura
On obtient encore qoatre solutions , comme par le premier procédé; mais elles ^ présentent sous une forme di£férente, et au lieu de radicaux superposés^ elles ne renferment que des radicaux séparés.
Gomme les solutions trouvées par chaque procédé doivent être les mêmes, on est certain que les valeurs déterminées par le second ne sont qu^une transformation de celles qu^on obtient par le premier. On expliquera tout-à-l'heure (196) une méthode de calcul pour opérer les transformations de cette espèce, toutes les fois qu'elles sont possibles*
ExsMPLE III. Soient les équations générales
[5] a:»+Pa:+Q=o, x^+jyx+Qf=:o^
ans lesquelles P, Q^V^yQfy sont des fonctions quelconques dej-. Par la soustraction , on en déduit celle-ci
(P-P>+Q~Q'=o, d'où ^=^^.
£a mettant cette valeur de x dans Tune des équations [5] , dans la l'^y par exemple, il vient
ou , sous une autre foi me,
(Q'-Q)'+(P-P')(PQ'-QP') =0.
Cette équation ne contient plus que la seule inconnue j*, et quand on saura la résoudre , elle fera connaître les valeurs de jr. En les substituant dans Fexpression de x écrite plus haut, ou obtiendra les valeurs correspondantes de x,
ig5. Pour que Fanalyse du 2* degré &Lt complète, il faïudrait considérer les cas ou les inconnues sont en plus grand nombre que les équations. Le plus simple est celui d'une équation unique entre 4tttX inconnues x tt jr. Si on la résout par rapport à Tune des in-
LECOH9 D^ALGÎEBBB. l83
['connues, j^, par exemple, on trouvera, en général, une exprtsâoD qui renfermera x sous un radical \ de telle sorte qu^en don- Bint à cette inconnue x des valeurs rationnelles quelconques^ on en trouverait, pour jr, qui seraient irrationnelles. On peut alors se froposer de rechercher les valeurs rationnelles de x pour lesquelles les valeurs correspondantes de y sont aussi rationnelles. Alais la Ifl&cnllé de ce problème, à moins qu'on ne le restreigne à quelfpes cas fort simples , est supérieure à de simples clémens. Gonnlles la Théorie des Nomhres de Legeudbe.
^ÈmcUie carrée tTune quantité en partie commensurable et en partie incomtfuuuurabie, ou bien en partie rtelle et en paitie imaginaire,
iq6. Nous nous proposerons d'abord d'extraire la racine car^ rée d^une quantité en partie commensurable et en partie incom mensurable.
Si on fait le carré de Va-^Vb^ a et b étant des quantités I rationnelles, on trouve un résultat de la forme A-f-V^B, dans lequel A et B sont des quantités rationnelles. De là on conclut réciproquement que la racine carrée d'une expression de cette dernière forme peut aussi, dans certains cas, se ramener à la première^ c'est cette transformai tion qu'il s'agit d'effectuer, lorsqu'elle est possible. Il faut donc considérer A et B comme des quantités rationnelles, VB comme une quantité irrationnelle, et déterminer, ^our a et b^ des valeurs rationnelles telles qu'on ait
En développant le carré, il vient
a+b+Vj^^^A+VB,
Dans le i" membre,.rt + ^ doit être un nombre rationnel, vX il n'y a que la partie V^ab qui puisse être un nombre irrationnel : or je dis qu'on doit avoir séparément les deux égalités
1^,] a+b = Ay [2] 4«A=:B.
Supposons qu'il en soit autrement ^ et isolons V^aù dans 1 1** membre ; il viendra
l84 LEÇONS D^ALGEBRE.
\/^d = A—a—b+VF.
Faisons À— a — &=:A afin d^abréger^ puis élevons au carré. On
aura
4a6==A»+B+2*KB, ou 4âZ»— ife»— B = 2ife\/B:
égalité absurde, car une quantité rationnelle n'est jamais égale Ix une quantité irrationnelle. L'absurdité ne peut cesser qu'en posant i& s=r o, ou, ce qui est la même chose, a-^b = A. Alors la dernière égalité se réduit à ^ab — Br=o ou ^ab=Bi et Ton est ainsi ramené aux équations [i] et [2].
Si on élève la i" de ces équations au carré, et qu'on en retranche la 2", le i'*^ membre de l'équation résultante sera le carré de a — b^ donc
Il est permis de supposer que a est la plus grande des deux quantités a et i , et pour cette raison on prendra le radical K A' — B avec le signe -f-.
Maintenant, on connaît donc par les équations [i] et [3] la somme et la différence des inconnues ^ et ^ ^ par conséquent on aura
a=^A+iV/F=rB, ^ = ±A--^\/a^=Ib.
La question exige que les valeurs de ^ et de 6 soient rationnelles ;
or il est évident qu'il faut, pour que cette condition soit remplie^
que A*— B soit égal à un carré C*.
Alors il viendra
et par suite
[4] \/I+Vb = v^^+^ 4. y/IE^.
Comme on suppose tacitement V \i positif, les radicaux du 2* membre doivent se prendre tous deux avec -|-> [ou tous deux avec — : autrement, en élevant ce membre au carré ^ on ne reproduirait pas le terme -4-\/B , mais bien — VF.
LEçoKS d^jllosbre. i85
Celte explication même prouve que si Ton avait y/A — VB > il
faudrait prendre les deux radicaux avec des signes contraires; et en conséquence on écrii*ait
[5] y/IZvU'^y/^-x/^^.
Pour exemple, soit Texpression ki24-V^i4o» OnaA=i2, Bs=i4o, A* — B = 4. Ce dernier nombre est un carré, et l'on a G = 2 : on peut donc appliquer la formule [4] » et il vient
Soit encore Fexpression \/ 1 — 2a:V/i — a:'« On aura Arsr,
B=4^' — 4^? ^A' — B ou C=i — 2A''. Puisque C est sans radical , et que d'ailleurs le second i*adical de l'expression proposée a le signe — , il y a lieu d'appliquer la formule [5], et il vient
VI — 2.'cV/i — x^ = Vi — X* — X.
Cest la même valeur de Vi — x^ qui entre dans les deux membres. Eu outre , on doit observer qu'il faudra mettre le signe ± devant le second, si on veut qu'il représente les deux valeurs du premier. 197. Lorsque la quantité A' — B n'est pas un carré, les valeurs de a et de Zr ne sont plus rationnelles ; mais il est clair qu'en les
substituant dans V'^ + V^/; , on n'en a pas moins une expression
équivalente à v A+V^B. Seulement, comme elle est alors beaucoup plus compliquée , elle est plus rarement employée. Cependant, quand VH est imaginaire, elle conduit à un résultat qui mérite de fixer raltcntion. Changeons B en — B% A+V^l^ devient A-j-B K — 1 5 et ce qu'il y a de remarquable , c'est que la racine carrée de A-f-BV^ — i se ramène elle-même à une expression de la forme a-^-bV — i, dans laquelle ael b sont des quantités réelles , qui peuvent d'ailleurs , ainsi que A et B, n'être pas rationnelles.
Cette proposition devient évidente sur-le-champ en changeant
l86 LECXMrs D*AL6kBBB.
B en — -B* dans le» calcnk du n? précédent. Alors y au lieu de C=a: VPHJB, onaCsc V'A'+B* ; donc
A4- V^A»+B* , A— V^FpP
Le radical VA*+B* étant > A , la valeur de a est positive , et celle de & est native. Beprësentons-Ies par «' et— /S', on aura
et par suite
Je prends le et /8 tous deux avec + , ou tous deux avec — , parce ^e le produit 20/3 doit être égal à 6, qui est supposé positif. S'il y
avait — devant BV^ — i, il est clair qu'on devrait écrire
[7] \/a— BV— I =db(*— ^V— I).
Il serait facile de parvenir directement à ces dernières formules en posant v A+B V^^ = *+/3V^^^, et en déterminant pour
• et /3 des valeurs réelles telles que A-f-B V-— 1 soit le carré de
Mr^-fiV — I. Mais je laisserai cet exercice au lecteur. J'aurai d'ailleurs occasion , chap. XI , de revenir sur ces transformations* Pour offrir une application, choisissons l'expression très- simple
vdz V — I . En la comparant avec v A±:B V — i , on a A = o , B==i, û=i, & = -i, «= Vf, ^= ^h donc
198. Remarque. Ajoutons les formules [6] et [7] eu ne prenant * que le signe -f* pour chacune d'elles : les imaginaires se détrui* ront y et il restera
V/a+BV/— i + V^A— BV'-.i =5 2- « \/aA4.2 VA^+BV
LEÇONS D^ALGisBU. ' 187
Ge résultai offre Texemple d'ane expression ci
naires, et qui cependant se réduit à une quantité réelle. Ainsi 9 mi aurait
Remarque sur les maximams et les minimams.
19g. On a trouvé plus haut (189) que le produit maximum qu'il est possible de former avec les deux parties d'un nenJ^ est égal au produit de ses deux moitiés. Cette proposition peut être généralisée en ces termes : Le produit de plusieurs nombres , dont la somme est égale à un nombre donné , devient maximum qucaid ces nombres sont égaux entre eux»
Supposons qu'on ait rt+^-|-c+tZ+« • •=/^ y et que parmi les différentes manières de choisir les nombres a, bj c, </,•••• sans que cette condition cesse d'avoir lieu , on ait pris celle qui rend le produit abcd. . • maximum : je dis qu'alors tous ces nombres sont égaux. En effet, si /z et b^ par exemple , étaient inégaBi, on aurait 9 par le oP cité ^
et par conséquent
\cd. . •
Dans le second produit , la somme des facteurs est la même que dans le premier, cVst-à -dire, égale à/?. Donc le produit abcd. . • n'est point un maximum , à moins que tous ses facteurs dc soieut éfianm entre eux.
200. Le procédé du no 189, par lequel on a reconnu le produit maximum des deux parties d'un nombre, est susceptible d'une assez pande extension. Supposons qu'uuc fonction soit composée d'une qoanti té indéterminée AT, combinée avec des quantités données, et qu'on demande la valeur de x pour laquelle la fonction est un maximum ou un minimum. On raisonnera d'abord comme s'il fidlait rendre cette fonction égale à une quantité quelconque z :
aura ainsi une équation de laquelle on tirera la valeur de x ,
l8d LEGOKS d'algèbre.
et alors on cherchera s^il existe (|uclque valeur de z au-delà ou en-deçà de laquelle les vdenrs correspondantes de x deyiennent imaginaires. Dans le premier cas , cette valeur est un maximum que Fexpression proposée ne peut point dépasser^ dans le second, c^est un minimum.
Par exemple , soit la fraction
X^ a AT +2
En régalant à z , et tirant la valeur de « , on a successivement
! — = je,
:tx — 2
«•— -2(2-4"^) «^^ ^'2 + îi = O,
ar = j2+i±i Vz^ — I.
On voit sur-le-champ qu'en faisant z=+i,on a *s±:2;et que les valeurs de z un peu moindres que i rendent x imaginaire; donc Tcxpression proposée a une valeur minimum, laquelle est égale à I et correspond à :r=2.
Pareillement, en faisant s = — i, on aa:=0 5 et une valeur négative de z un peu plus petite que i rendrait x imaginaire. Or, en algèbre, des quantités négatives qui , abstraction faite du signe — -, vont en diminuant , doivent être regardées , quand on n'en sépare point le signe, comme croissantes : on peut donc dire que les valeurs de x un peu plus grandes que — i rendent x imaginaire 5 donc 5 = — 1 est un maximum de Texpression proposée, lequel correspond à :r=:o.
Le caractère essentiel d'un maximum n'est pas de surpasser toutes les autres valeurs, mais seulement celles qui le précèdent ou qui le suivent immédiatement. Une observation analogue doit se faire sur le minimum. Au reste , je n'insisterai pas davantage sur la détermination des maximums et des minimums. Jusqu'à présent elle a toujours été comprise parmi les applications du calcul diffé reptiel.
LËG05S D ALGEBRE. 189
