Soit une progression arithmétique quelconque

-7a. J.c. ^.e.y. etc.,

et soit ^la raison. Diaprés la définition même, chaque tcime est égal au précédent plus la raison^ donc

^ = a-|-^, c = û+2^, ef = a + 3^, etc.

Donc , en général , / étant un terme dont le rang est marqué par n , on doit avoir

[1] /=û4-(fï— 1)^:

c'est-à-dire qxCun terme quelconque est égal au premier, plus autant de fois la raison qiCily a de termes avant lui.

295. Considérée sous un point de vue général, cette formule exprime une relation entre û, ê^ n et l ,• et elle servira à résoudre les questions dans lesquelles, trois de ces quantités étant données, il s'agira de déterminer la quatrième.

Par exemple, proposons-nous d'insérer m moyens arithmétiques entre deux nombres donnés a et 1.

2&2 LEÇOUS d'algèbre.

donCi en ajoutant les égalités correspondantes , on aura

G^est-à-dire que la somme de deux termes quelconques, également éloignés des extrêmes , est égale à la somme des extrêmes.

Cela posé , nommons S la somme des termes de la progression : en les prenant d'abord dans Tordre même de la progression , et ensuite dans un ordre inverse , on aura

Donc I en ajoutant ces égalités , si on observe que la somme de deux termes correspondans est toujours égale à la somme des extrêmes a-t-^9 et si on appelle n le nombre des termes de la progression y il viendra 2S = (a-}-/)n , d'où

Donc la somme des termes d'une progression arithmétique est égale à là demi-somme des termes extrêmes^ multipliée par le ' nombre des termes.

398. Les relations [i] et [2], dans lesquelles il entre cinq quantités a , êy n ^ / , S , pourront servir en général à trouver deux quelconques de ces quantités , quand les trois autres seront données. Ainsi elles fournissent la solution d'autant de problèmes distincts qu'il y a de manières de prendre deux quantités sur cinq ; et par conséquent le nombre de ces problèmes sera de ^ ou 10. Pour qu'ils soient possibles , il faudra toujours que la valeur de n soit non-seulement réelle , mais encore posilive.

Sans entrer dans le détail des calculs , je placerai ici les solutions de ces dix problèmes :

I. Données «, ^, 72. r, , , ^. , . , , ... Inconnues /, s. {^=«+(«-0^, S=M.a+(«-iyj-

II. Données l^ i.n.i , . ^ , r ^ , v m Inconnues a, s. |« = ^-(''-0.^, S=44a/~(«-0fl-

UMjoys d'algèbre. 263

III. Données û, n, /.f./—« ^, Inconnues ^, S. ^ n — i ' a v T J»

IV. Données S^ «, S. f __ 2S — n{n — i)S 284-77(71— O^f Inconnues a , /. \ "~ 2>i ' 2^1 '