II

10, II, i3, 14, i'), 17, 20, 2r.

8, 10, II, 1.4, i5, 18, 19, 21, 26, 27. 12, i3, 17, 21, 22, 24.

5, i3, i5, 17, 18, ig, 20, 22, 24, 32, 35.

En consultant ce tableau, on y Toit que 5 est racine primitive par rapport à 7 ; et en effet, si on divise par 7 les puissances 5*, 5% 5', 5^, 5^, 5^, on trouve les résidus i, 5, 4> 6, 2, 3, qui com* prennent tous les nombres au-dessous de 7 .

On pourrait prouver que, par rapport à chaque nombi-e premier/7, il existe autant de racines primitives qu^ii y a, entre i et p, de nombres premiers k p — i. Mais, pour celte proposition et pour toutes les autres qu'oii pourrait encore démontrer sur les nombres, je renverrai à la Théorie des nombres par Legendre.

iSur les grandeurs incommensurables, approximation des racinesm

285. Deux grandeurs de même espèce sont dites commensu' râbles y lorsqu'elles ont une commune mesure, c'est-à-dire lorsqu'il existe une troisième grandeur qui est contenue un nombre exact de fois dans chacune d'elles 3 dans le cas contraire^ elles sont incommensurables.

Quand on dit d'une quantité, prise isolément,' qu'elle est commensurable ou incommensurable, il y a toujours une certaine unité sous-entendue avec laquelle on la compare; et alors ces expressions indiquent qu'il existe une mesure commune entre celle quantité et l'unité, ou bien qu'il n'en existe pas.

Supposons, par exemple, qu'une ligne donnée contienne aS fois une certaine longueur, et que le mètre la contienne 7 fois, la ligne donnée sera commensurablc ; et comme elle est égale a 28 septièmes de l'unité, elle sera représentée par ^. Cet exemple saf-

LEÇONS DALGEBEE. 255

fit ponr montrer que toute quantité commensurable peut s*exprimer exactement en nombres entiers ou fractionnaires.

D^un autre coté , toute quantité représentée par un nombre entier ou fraclionnaire est commensurable : car il y a évidemment une commune mesure entre elle et Funité. Ainsi, qu'une longueur soit égale à -— , et que le mètre soit Funilé sous-enteuduc, la commune mesure sera le décimètre.

Donc une quantité qui ne peut s* exprimer exactemeut ni avec des entiers ni avec des fractions est incommensurable. Telles sont

£a faisant attention que le rapport ou la raison entre une quantité commensurable et l'unité à laquelle on la rapporte est toujours exprimée exaclemeat par un nombre entier ou fractionnaire^ on comprendra pourquoi Ton désigne encore les quantités commensurables sous la dénomination de rationnelles , et les incommensurables sous celle àUrrationnellcs,

286. Lorsque la racine d*un nombre éntiery quel que soit le degré de cette racine , ne peut pas être exprimée exactement en nombres entiers f elle ne peut pas l'être non plus ai^ec des fractions j et par conséquent elle est incommensurable.

Supposons qu'on puisse exprimer celte racine avec des fractions, on pourra toujours la mettre sous la forme d'un nombre fraction -

naire irréductible j. Or , à quelque puissance qu'on clcve un tel

nombre, bien loin de retrouver un nombre entier, je vais montrer qu'on n'obtient jamais qu'un nombre fractionnaire irréductible. En effet, les nombres premiers qui divisent a ne devant point diviser b , il s'ensuit , en vertu d'un théorème connu (269), qu'ils ne pourront pas diviser ^X^ ou //', ni b*X.b oixb^y elCv Cette conclusion revient à dire que les nombres premiers qui divisent les puissances de b ne peuvent pas diviser a^ donc aussi, d'après le théorème cité, ils ne diviseront ni rtX« ou a', ni a^X, a ou a^, etc. Ainsi Içs puissances de a n'ont aucun facteur commun avec celles de Z'. Donc la fraclîon Y étant irrrcducliBle, ses /ï' a

puissances 71 > 71 > etc. , seront irréductibles aussi. Doue Içs va -

256 LEÇONS D^ÀLGÈBBÈ.

cines des nombres entiers, quand elles ne sont pas des nombres entiers, sont toujours incommensurables.

287. Déterminons aussi à quel caractère on connaîtra que la Tacine d^un nombre est incommensurable.

D'après ce qui a été dit dans le n^ précédent , la puissance r^

d^une fraction irréductible -y est elle*même une fraction irréduc-

tible ; donc, pour qu^une fraction soit égale 11 une puissance n, il faut qu'après ravoir réduite à sapins simple expression, on puisse extraire exactement la racine n de son numérateur et de son dénominateur. Quand cette double extraction sera possible , il est clair qu'elle fera connaître la racine de la fraction donnée. On trouve ainsi

l/TeT I/a 8 9 — Il '

288. On peut remplacer cette règle par une autre , fondée sur ce principe , que si une fraction est égale à la puissance n d'une fraction , et que l'un de ses termes soit une puissance n , l'autre en doit être une aussi.

En effet, supposons que la fraction û;;$oit égale à la puissance n

.d'une autre fraction - : on devra avoir

tT" = i— » d ou A = -- — ;

donc a" B" est divisible par 6? Or , si on conçoit a et B décomposés en facteurs premiers , il est clair que tous ces facteurs sont à la puissance n dans a" B'^; et de même^ les facteurs premiers de b sont à la puissance n dans Z>". Donc, après avoir divisa a* B" par L'^j ce qui revient à supprimer dans a" B" tous les facteurs de ù'^, il ne restera au quotient que des facteurs élevés b. la puissance r; donc A est une puissance exacte de l'ordre n.

Cela posé , remarquons qu'une fraction - étant donnée^ on

peut toujours , en multiplant ou en divisant ses deux termes par des facteurs convenables, rendre son dénominateur puissance exacte d'un ordre quelconque n. Donc , il faudra qu'alors le numérateur en soit une aussi, pour que la fraction dqnnée puisse être égale à la puissance n d'une fraction.

LEGOirs d'algèbre. 25^

Par exemple, en multipliant les deux termes de la fraction par le dénominateur , on rendra ce dénominateur carré parfait 5 il deviendra un cube en les multipliant par son carré 5 et ainsi de suite. De cette manière on a VJtl^ V^.Î|Ï|I|J= V/Z^^^^ |.|^.

En simplifiant ce résultat y on retrouverait -ff comme dans le n précédent.

289. Maintenant expliquons comment on évalue avec approximation les racines incommensurables. La question générale est celle-ci : Etant donnée une quantité quelconqneM^ déterminer sa racine n^'^ à moins dune fraction-.

Tout se réduit à chercher combien de fois V'M contient la fraction j : car si r exprime ce nombre dé fois, il est évident que

r M sera comprise entre j et *-^ 5 et comme ces deux fractions

ne diifèrent entre elles que de 7 , la différence entre V^M et chacune d'elles isera moindre que -^^ En conséquence, on posera

et la valeur de a:, calculée à une unité près, sera le nombre r. Or, deFéquation [1] on déduit

donc il faut extraire, à une unité près, la racine du produit Mp". Ainsi, on peut établir cette règle générale : Pour évaluer^ avec une approximation marquée par une certaine partie d uni té, la racine n*™* dune quantité donnée M , multipliez cette quantité par la puissance p" du dénominateur de la. fraction gui désigné r approximation , extrayez la racine du produit à une unité près y puis divisez cette racine par le dénominateur p de cette même fraction .

Par exemple, veut-on trouver Vi à^ près? on fait le produit 2 X 36 = 72 , on en extrait la racine carrée 8 , à une unité près, puis on divise 8 par 6. Le quotient |^ ou 1 f est là racine demandée.

Soit encore h évaluer V^f à f près. On fera le produit 7 f X 25 =-^^ = igi j . Alors on remarquera que la racine carrée de ce produit, «^ une unité près, est la même que si on avait le nombre 191 sans fi*action. En conséquence, on extrait^ par les règles connues, cette racine qui est i3^ et la racine cherchée sera ■T^ouaf

2go. Les approximations se font ordinairement en décimales, et, pour ce genre de fractions^ la règle générale se simplifie beaucoup. Pour fixer les idées, je ne parlerai ici que de la racine carrée.

Supposons d'abord qu'on ait à évaluer en décimales la racine carrée d^un nombre entier. Dans ce cas, la règle se réduira à celle-ci : On place à la suite du nombre donné deux fois* autant de zéros* qu'on veut avoir de décimales à la racine, on en extrait alors la racine à moins d^une unité , puis on sépare sur la droite de cette racine le nombre requis de décimales.

Il peut se fairje que le nombre donné ait déjà des décimales. S'il n^en a pas deux fois autant qu'on en veut h la racine, on complète ce nombre par des zéros ; et , s'il en a plus , on supprime les décimales excédentes. Du reste, on extrait la racine sans faire attention à la virgule, mais on y a égard à la fin de Topération.

S'il s'agissait d'un nombre fractionnaire, tel quef ou 3 1, on réduirait la fraction | en décimales, en ayant soin d'en prendre deux fois autant que la racine doit en contenir.

agi. Quand on extrait, à une unité près , la racine carrée d'un nombre entier, on trouve ordinairement le plus grand nombre entier contenu dans cette racine. Mais le nombre qui a une unité de plus, quoique trop grand, approche aussi à une unité près, et même il peut se faire qu'il soit plus approché que le premier : or, il y a une règle très-simple pour le reconnaître.

Soit a le nombre entier contenu dans la racine , et R le reste de l'opération. Si a est une racine plus approchée que a+i , le carré de fl+i surpassera le nombre donné , et par conséquent on devra avoir R<( a 4" t)*—«' ou R<û[+i?<ionc alors le reste R est tout au plus égal hjz. Ainsi, quand le reste ne surpasse pas le nombre trouvé à la racine, ce nombre est le plus approché de la ra«

LEÇONS D ALGEBRE* 25q

ciae 'j et, dans le cas contraire , c^est ce nombre augmente dWe unité.

^2. Les approximations relatives aux racines se ramènent tou^ jours à extraire la racine d'un nombre entier à une unité près. Quand il s'agit d'une racine carrée qui doit avoir beauck>up de chiffres , et qu'on a trouvé plus de la moitié de ces chiffres, je vais montrer comment on obtient les autres d'une manière abrégée, au moyen d'une simple division.

Supposons donc que N soit un nombre entier , et qu'on ait calculé plus de la moitié des chiffres de la racine. Pour leur donner le rang qu'ils doivent avoir , mettons à leur droite autant de zéros qu'il y a encore de chiffres à connaître. Désignons par a le nombre ainsi formé, par R le reste complet qu'on trouve, en abaissant toutes les tïanches dont on n'a point fait usage, et enfin par x c qu'il faut ajouter à a pour obtenir V^JN. On devra avoir

ou , en développant le carrée •

donc

Soit q le quotient de la division de R par 2a , et R' le reste : cette égalité devient

Supposons qu'il y ait encore n chiffres à trouver à la racine > le carré x^ sera moindre que lo'''. Mais , par hypothèse , a renferme

x^ au moins 2n+i chiffres j donc a^io'", et par suite — <^r.

D'ailleurs — est <^i ; donc la différence des deux fractions est 2a

<Ci ] donc en prenant simplement a:=^, l'erreur est <> j et l'on

aura , à unb unité près , VJN = a-|-<7» Remarque. Il peut se faire que le quotient q soit la valeur

260 LEÇ05S D ALGEBRE.

exacte de or, qu'il soit moindre, ou qu^il soit plus grand. Si ^=^^ l'équation [1] donne a:'= R', donc <7'=R'. Si q<C^x^ elle donne x*<Cy^\ donc ^*<[R'. Si y>.r, elle donne a:*>R'; donc ç^^R'. Ainsi, suivant qu'on a ^*=R', çr^^R*^, ^»>R% la racine a 4-9 est exacte, ou approchée par défaut, ou approchée par excès.

Progressions arithmétiques,

293. On appelle progression arithmétique ou par différence une suite de termes tels qu^en retranchant chacun du suivant on obtient toujours la même différence. Celte différence est la raison dé la progression.

Y^ci deux progressions arithmétiques, écrites selon Tusage adopté ,

-f3.7.n.i5. etc. -^4^. 41.37. 33. etc.

Dans la première, la raison est 4; dans la seconde, elle est-* 4* L^une est croissante, et Tautre est décroissante.