Soit une progression géométrique quelconque
iralblcldle: kll.
264 LEG05S D^ALGEBRE.
En désignant la raison par ^, on doit avoir h^^aq^ c=uiq^y d^^aq^j et , en général , n étant le rang du terme l,
[i] l = aq"-^:
c est-à-dire qu'wn terme quelconque est égal au premier multiplié par la raison élevée à la puissance marquée par le nombre des termes qui précèdent,
3oi . Si Von veut insérer m moyens géométriques entre a e< 1, on remarquera que le nombre des termes de la progression sera 771^^2^ en conséquence on fait fi = 772-|"2 dans l'équation [i]; puis on en lire la raison
On vcît qu'il y aura à extraire une racine, opération qui est, eu général, assez laborieuse, et qu'on facilitera beaucoup par l'emploi des logarithmes.
302. De celte formule on conclut que , si on insère un même nombre de moyens géométriques entre chaque terme d'une prO' gression géométrique et le suii^ant , la nouvelle suite sera encore une progression de même espèce.
En eiFct, si on met dans la formule, à la place de a et de /, deux termes consécutifs quelconques d'une progression géométrique, le quotient qui est sous le radical sera constaut^ par suite la raison de toutes les progressions partielles sera la même; et, comme le terme qui finit chacune d'elles commence la suivante, il en résulte que l'ensemble de ces progressions est aussi une progression géométrique.
303. Appelons S la somme des termes de la progression : on aura
Si on multiplie cette somme par la raison ^ , et si on remarque que le produit de chaque terme par ^ est égal au terme suivant, il vient
LEÇONS D^ALG^BBE. 265
et si de cc;tte égalité on retranche la précédente , on trouve
(y— 1)8 = 9/— a, d'où Pon tire
Donc la somme des termes (Tune progression géométrique f'ob" tient en multipliant le dernier terme par la raison , en retran^ chant du produit le premier terme ^ et en divisant le reste par la raison moins un.
3o4« Remplaçons / par sa valeur aq'^'^^y la formule [2] devient
[3] s=^i2!z:lL5
et je vais ei:aminer les conséquences qu'on en lire dans les hypothèses <7>i, q<C^y q=i.
i" Soit<7>i, ce qui est le cas des progressions croissantes. Alors la quantité 9" est d'autant plus grande que ?i est plus grand , et même il n'y a aucune limite qu'elle ne puisse surpasser y en donnant à Ti une valeur assez considérable.
En effet, si on poseur = !+<«, on a 9"=(i-(-<«y'=i-l-77a+ctc.; donc q"^n6ù. Or, quelque petite que soit la quantité «^ il est clair qu'en prenant n assez grand, i-f-n^ peut surpasser telle grandeur qu'on voudra ^ donc à plus forte raison en est-il ainsi dcq"^.
De Ih on conclut, ce qui est d'ailleurs évident par soi-même^ que la somme S peut devenir aussi grande qu'on voudra en prenant un nombre suffisant de termes dans la progression.
2" Soit q<C^y ce qui est le cas des progressions décroissantes. Après avoir changé les signes du numérateur et du dénominateur, la formule [3] peut s'écrire de cette manière
g a ag"
Ici , la quantité ç" sera d'autant moindre que n sera plus grand ,' et même elle peut devenir au^si petite qu'on voudra. Pour s'en
a66 LSÇOKft D^ALGÈBRB. >
convaincre, on posera j= - , p ëtant^i. On aura ç'*= ~: or,
d'après ce qaî a été ci-dessus , en prenant n de plus en plus grand, P" peut augmenter jusqu'à l'infini 3 donc q^ diminuera jusqu'à a^ro,
et par suite , la partie soustraclive —^^— décroîtra aussi jusqu^à zéro.
On voit ainsi que la somme S doit encore augmenter , ce qui est évident sans calcul; et, de plus, qu'elle ne surpassera jamais la limite , dont elle peut d'ailleurs approcher autantqu'on voudra.
Ces raisonnemens démontrent qu'en faisant tissod , on aura, en toute rigueur ,
c'est-à-dire que , si on prolonge à V infini une progression géométrique décroissante , la somme des termes est égale au quotient du premier^ divisé par V unité moins la raison. D'après cette règle , pour avoir la somme
i+^i h etc.
on fera a=i, q^=\*^ et il viendra
3<» Soit ^ = 1. La formule [3] donne S = f , mais l'indétermination n'est ici qu'apparente : car, en divisant q"" — i par q — 1(53), la formule devient
et alors l'hypothèse ^==1 donneS = a/z. Cette conséquence est évidente à priori: csiVy la raison étant i,tous les termes de la progression sont égaux à a.
3o5. Remarques. La division de q""— i par ^— i ne fait que reproduire, dans un ordre inverse, la progression dont la formule [3] représente la somme. Il est clair en effet que cette progression peut se représenter ainsi
LEGOHS D'ALOilBlE. ' ^67
Pour la retrouver sans inversion y il suffirait décrire la formule sous cette foime :
Il y^a plus, la formule [4], qui exprime la somme de lous les termes d'une progression décroissante prolongée à Finfîni^ peut aussi reproduire cette progression. Effectuons, suivant la règle ordinaire, la division de a par l'^—q,
reste
-^aq
"'-ag^
etc.
etc.
fl + a^r + o^* + etc.
Si on arrête la division successivement au i'*^ rçste, au 2*, au 3", etc., il faudra, pour compléter les quotiens coiTCSpondans , leur ajouter les fractions '
nq aq^ aq^
etc.
Or, q étant <:^i, ces fractions ont des valeurs décroissantes; et comme on peut pousser la division jusqu'à avoir au reste un exposant de q aussi grand qu'on voudra /il s'ensuit qu'en supposant les termes du quotient prolongés indéfiniment, la fraction complémentaire doit être regardée comme zéro. Par conséquent la suite de tous ces termes , continuée à l'infini , est la valeur exacte du quotient.
Il est très - important de ne point perdre de vue que cette conclusion n'est légitime que dansrhypotbèse^<<]i. Si l'on avait ç>i, les fractions complémentaires, bien loin ée tendre vers zéro, devraient au contraire aller en augmentant jusqu'à l'infini né» gatif.
3o6. De même que pour les progressions arithmétiques , toutes les questions qu'on peut proposer sur les progressions géométriques peuvent se réduire à dix , dont les solutions se déduisent des deux équations
a68 LEÇONS d'algèbre.
Ces solutions sont renfermëes dans le tableau suivant :
L Données Inconnues
IL Données Inconnues
III. Données û, 71, Z.\ ^7"^ jg Vl-^V'^n Inconnues 5^ , S. J ^ "a ^j J^—
ly. Données Inconnues
ées a , q, «• f / „-x §= y^— ^^y— 0 mues /, S, (^ * * q — i q — i
ées l,q, n. f ^ J g^ /(y"-') muesa^S. (^ ç"—** 9'*"~'fe — O'
éesy,fi,S.f S(<y— 1) ^^V-'(y-i) mues â 9/. (^ 5^ — i * ^'* — I
Données a , n , S. r ^^j , ^, 4, — Ë 7 «— 1
Inconnues^,/. (^ ^ •••-!- — ^> 7
TI. Données/, 71, S. I(^) +(^/""-*'*"^=7' Inconnues </ j «• 1 ; /iY~'
