X. Données ly q y S.f Qr \ — 1 log
Inconnues a^n. \ ^ ^^ '' — "T log 5^ '
• Dans le V* cas , il faut observer qu'en éliminant / entre les équations [i] et [a] , il en résulte une équation en q du degié n — 1 5 et, à moins qu'on n'ait 72 = 3 , ce qui la réduirait au second degré , elle ne peut être résolue que par des méthodes qui seront exposées plus tard. D'ailleurs , dès que la raison q est connue , on trouve I par Téquation [1].
A l'égard du VI« cas, même observation. On y a pris pour inconnue - au lieu de g.
LEÇONS d'aLGEBBE. 269
Enfin dans les quatre derniers cas, on remarquera queFéqualion [2] donne sur-le-champ cliacuue des quantités «, /, <7, S, au moyen des trois autres : de sorte que toute la dilHoulté est de résoudre Féquation [1], dans laquelle Tinconnue n est en exposant. Cette résolution a été effectuée par logarithmes , d'après les règles qui seront exposées dans chapitre suivant.
Fractions continues,
307. Définitions. On désigne sous le nom At fractions conti^ nues des expressions de la forme
dans lesquelles a, b^Cy d^.., sont des nombres entiers positifs. La suite de ces nombre peut d'ailleurs être limitée ou illimitée.
Pour plus de généralité , au lieu de Funité , on pourrait prendre des numérateurs quelconques, et regarder les déuoEiinatcurs a, by c,.«. comme représentant telles quantités qu'on voudra : mais les fractions continues , telles que nous les avons définies , sont les seules qui méritent quelque attention.
Je nommerai , avec Legendre , quotiens incomplets ou simple* ment quotiens les nombres a, b ^ c,... qui entrent dans la fraction continue , sans supposer pour cela qu^ils doivent nécessairement provenir d'une division.
Les quotiens complets s'obtiennent en prenant chaque quotient incomplet avec toute la quantité qui lui est jointe par le signe -{-•
Tel serait, b A i .
c-t-elc.
Les fractions -, ~, etc. sont souvent it^^Aé^s fractions par^
tielles OM fractions intégrantes.
Si Fou prend successivement, dans la fraction continue, d'abord le premier terme , puis les deux premiers , puis les trois premiers, etc., on aura différentes expressions qu'oQ pourra réduire à la forme des fractions ordinaires. Ces fractions sont désigQ^es S0U5 le nom de réduites ou Aq fractions tonvergentes.
ajo. LEçoirs dalgebius.
ZoQ, Loi déformation des réduites. Pour les deux premières on a
On passera ^ la'^troisicine réduite en changeant dans la seconde b en 6^ — , ce qui donne
On obtiendrait semblablement la quatrième réduite en changeant
c en c^^j dans la troisième; et ainsi des suivantes. a
Mais déjà on aperçoit que la troisième peut se former en multi« pliant les deux termes de la seconde , — j^ ^ par le quotient c, et en ajoutant respectivement à ces produits les deux termes delà première - : il s'agit donc de reconnjiître si cette loi est générale.
Or^ cette question revient à examiner si cette loi , étant vraie jusqu*à une certaine réduite , subsiste encore à Fégard de la suivante: car alors il est clair qu'elle devra s'étendre de la troisième à la quatrième , de celle-ci à la cinquième , et ainsi de suite indéfiniment.
3oient donc trois réduites consécutives quelconques jr , tç > rçii
nommons m le dernier quotient employé dans la composition de
rr;,, ct supposous qu'ou ait
P"=F/ii+P, Q^' = Q'm+Q.
Nommons - la fraction intégrante qui , dans la fraction continue^ vient après le quotient m : on trouvera la réduite qui suc-
cède à 7j„, en reqaplaçant m par m-| — dans Fexpression de ttjJ
LEÇONS d'aLGÈBBE. 2^1
et comme P, Q, P' QS ne contiennent point m, il est dair qu'on aura , pour la nouvelle réduite ,
P'('^'+^)+P (Fm4-P)/t + F P"n4-P
Cette réduite est évidemment formée d'après la même loi que la précédente , et dès-lors cette loi est générale : c'est-à-dire que, chaque réduite , à partir de la troisième , pourra se former en multipliant les deux termes de la réduite précédente par le nouveau quotient , et en ajoutant respectis^ement à ces produits es deux termes de Vavant'précédente»
Quand on applique cette règle, il est commode de disposer tous les quotiens a , ùy c,,.. sur une ligne horizontale , et de placer au-dessous d'eux les réduites correspondantes , à mesure qu'on les forme. Par exemple , si Ton donnait
7 ' la disposition serait celle-ci :
Quotiens. ••• 3, 5, 3, 7 •
iiAA » 3 16 35 261
Aeduites. • • • -, t-, — « s — •
Lorsque la fraction continue n'est pas terminée , la loi d'après laquelle se composent les réduites prouve que leurs numérateurs et leurs dénominateurs forment deux suites croissantes jusqu'à l'infini.
309. Les réduites sont alternati\^ement plus petites et plus grandes que la fraction continue*
La i'* réduite est égale & a, et comme on néglige la partie fractionnaire qui lui est ajoutée, elle est évidemment <^jp.
La 2* est égale à a-j-T) et comme on y donne à Tunité un diviseur b moindre que dans la fraction continue, il s'ensuit que cette 2*> réduite est ^or.
La 3* est égale à «h -j : or, ce qui vient d'être dit pour
la 2* prouve que le diviseur 6-j — est une quantité trop forte;
donc la 3' réduite est <^x» Le même raisonnement se continue indéfiniment.
3io. La différence entre deux réduites consécutives quelconques est égale à F unité divisée par le produit des dénominateurs des deux réduites,
Supposons que jzj ryo tt,,? soient trois réduites successives 5 d'après la loi démontrée (3o8}, si on nomme m le dernier quotient, on doit avoir
Gela posé , les réductions ordinaires donnent
F P QF--PQ^
Q' Q" QQ' ' 9" P^P^m + P F PQ^ — QF
Ces deux différences ont des numérateurs égaux et de signes contraires. Ainsi , on peut déjà conclure que la différence entre deui réduites consécutives quelconques est égale , abstraction faite du signe, à un nombre constant divisé par le produit des dénominateurs de ces deux réduites. Or, si on considère les deux premières réduites , on trouve
fl^+i a I
donc le numérateur constant de toutes les différences est ^1 à i, et l'on a
Le signe sera + ou —, selon qu'on retranchera une réduite de rang impair d'une réduite de rang pair, ou vice versât
Gomme les dénominateurs croissent jusqu^àFinfini, il est évident qu'on peut assigner deux réduites dont la différence soit aussi petite qu'on voudra ] et comme elles comprendront entre elles la valeur de la fraction continue totale , il y a dès à présent liea de
conclure qu'on peut trouver une rëduitcf aussi approchée qu'on voudra.
Par exemple , si l'approximation doit être à 7—^ près, on poussera le calcul des réduites jusqu'à ce que le produit des dénominateurs des deux dernières soit au moins égala 1000, et alors ravant-dcrnière réduite aura Tapproximation requise.
3i I . Les réduites j formées diaprés la règle (3o8), sont toujours des fractions irréductibles,
Si une réduite ^ pouvait se simplifier, il y aurait un facteur k
Commun à P et à Q , et it devrait aussi diviser QF — PQ^ : or cela est impossible, car QF — ^PQ'= i i .
3 12. Chaque réduite est plus approcliée de la vraie valeur que la réduite précédente^
Pour le démontrer, j'observerai d'abord que si on compilé , dans chaque réduite , le dernier quotient employé à la former^ on aura des expressions égales à la fraction^continue totale x, et qu'il sera facile de comparer avec celles des réduites. Par exemple, £oit la réduite
F'Fm+P
dans laquelle m est le dernier quotient employé. Si on pose le quotient complet 773t+ elc.=j-, et si on. remplace m par j* dans cette réduite, il est évident qu'on aura une expression égale à x,
et que la compo^tion de cette expression la rend facilement com-
parable avec les deux réduites 7^ » 7y •
Cela posé , en prenant les différences entre x et chACune de ces réduites 41 vient
p Py+P P (OF— P(y)jr
"" Q""Qy+Q Q" Q(Q:r+Q)' P'p>+p F vq—qw
Quelle que soît la v^eur de la quantité QP'— PQ', ces dIiFë<rences sont de signes contraires ; et de là on conclut, comme au n° 3og, que la valeur de x est toujours comprise entre deux réduites consécutives.
Mais si on se rappelle que <JP'— PQ^rsii (3io), les différences ci-dessus se réduiront a
Or, y étant unquotient^oomplet, et Q^ étant un dénominateur qui vient après Q, oh doit avoir j->i et Q'^Qj donc la deuxième différence, abstraction faite du signe, est moindre que la précé dente. G^est cette propriété qui a fait donner aux réduites le nom de fractions convergentes.
3i3. Remarque, Le quotient complet j* est compris entre m et m<4"i :.donc si , dans le dénominateur de la deuxième différence, on remplace y par m , on aura une fraction trop grande; et si on y remplace y par m-f-i? on aura une fraction trop petite. Donc , abstraction fe^ite du signe , ou a
