TaiÉORÈME III. Lorsqu'une série

U = Uo -f- u I -4" u a -{- etc.

est entremêlée de termes positifs et négatifs , et qu*en Us pre^ nant tous positivement la nouvelle série est com^rgente^ onpeuê affirmer que la série U Vest aussi.

Soit R Fensemble des termes positifs contenus dans la sérieU k partir d'un terme quelconque z/„ , et soit — R' celle des termes négatifs, de sorte qu'on ait R — R'3*:ï/„+ w«+x+ «*«•

Puisqu'on doit avoir une série convergente en prenant p^ sitivement tous les termes de la série U , il s'ensuit qu'on peut choisir n assez grand pour que R-4-R^ soit une quantité aussi petite qu'on voudra \ donc , à plus forte raison , il en sera ains^ de R et R' , et par conséquent de R— R^ 5 donc la série U est oonver* gente.

Pour donner des exemples, reportons-noaiaux séries U', U^, U*', du no 55 1. On y supposait x positif afin que tous leurs termes, \ partir d'un certain rang , fussent positifs \ et alors on a reconnu entre quelles limites il fallait renfermçr x pour que ces séries fussent convergentes. Donc , d'après le théorème qui vient d'être démontré, elles ne cesseront pas d'être convergentes, si on donne à X des valeurs renfermées entre les mêmes limites prises négativement.

Ainsi la série U' sera convergente pour toutes les valeurs de x^ tant positives que négatives ^ la série U" le sera pour toutes les valeurs entre -f-ï et — i ; et enfin la série VI" le sera aussi pour U« valeurs entre -|-t et — i.

Scolie. Il ne faudrait pas renverser le TnÉOBÈME III, et conclure que si une série entremêlée de signes -^ et — est convergente, il en sera de même si on prend tous ses termes positivement. La série Y du u^ suivant en sera une preuve.

554. Thisobebie rV. Une série est convergente lorsque ses termes y à partir d*un certain rang^ ont des signes alternatifs y et qi^ils vont en diminuant de telle sorte que zéro soit la limite de leur décroissement.

Considérons un quelconque des termes décroissans dont les signes sont alternatifs , désignons-le par ±a , et les suivans par zpôibcipetc. Si on prend la somme des termes qui procèdent a pour valeur approchée de la série entière, Terreur f sera

f = ±:fl rp i ±:c ip J±: etc.,

et cette expression pourra s'écrire sous ces deux formes :

' p=±:[(fli— •i)+(c— ^+eic.],

f =s ±:[a— (i— c)— .(^f-re)— etc.].

Puisque les termes a, bj etc. vont en décroissant, toutes les quan* tités entre parenthèses sont positives : donc, par la première forme, on voit que f est de même signe que ±a ; et , par la seconde, que la valeur numérique de f est <Ca» Or, en prenant le terme a assez éloigné, il sera aussi petit qu'on voudra; donc^ à plus forte raison , il en sera ainsi de Terreur p^ donc la série donnée est convergente.

Si on considéré la série

on reconnaît sur-le-champ qu'elle remplît les conditions du théorème. Donc elle est convergente 5 et en Tarrctant à un terme quelconque , à j par exemple , Terreur sera en moins et <[f .

Les Théorèmes I et II n'apprendraient rien à l'égard de cette série , car ils exigent que les termes , à partir d'un certain rang , soient tous de même signe. Le Theobême III n'apprendrait rien non plus , car il exige qu'en prenant tous les termes positivement la nouvelle série soit convergente , f t Ton a démontra que la somme i +7+i+ «te» est infinie»

555. Lorsqu'une série est convergente, et que, pour avoir une valeur approchée de la série entière, on ,fait la somme d'un certain nombre de termes, il est important d'obtenir une limite de Terreur. Quand la série tombe dans le cas du THÉoBEBalY, on vient de voir que Terreur est toujours moindre que le premier terme de ceux qu'on néglige. Mais la seule règle générale qu'on puisse indiquer pour obtenir cette limite, c'est de comparer, ainsi qu'on Ta fait dans les Théorèmes I et II , I9 série avec une pto<gression géométrique décroissante ^ et , quand on aura reconnu qu'en s'arrêtant à un certain terme , les termes suivans de la série diminuent plus rapidement que les termes correspondans de la progression géométrique, on sera certain que Terreur est inférieure à lasomme des termes de la progression.

Pour exemple, prenons la série

U'=i-| 1 ^.. -| r— — 4-ctc.,

dans laquelle le terme en as^^ se forme en multipliant le précédent pai* X çt en le divisant par 7z-[-i* Désignons par n un nombre td qu'on ait x<ji 4- 1 •' oi^ sera sûr que les termes de la suite

x^ , • jc"-i-* , .

décroîtront plus rapidement que ceux d'une progression géch métrique dont le i*** terme serait le même que dans cette suite ,

et dont la raison serait — r— . Donc, si on prend dans la série U'

le terme en a:"""* pour le dernier , Terreur f sera moindre que la somme de cette progression, et Ton aura

^ur Us dét^eloppemeiis série. Méthode des coefficienfi indéterminés»

Retour des suites*

556. Les séries se présentent d'elles-mêmes dans les opérations ûe Talgèbre. Par etemple , supposons qu'on fasse une division de

polya^xocs; dans jiaqaèUf U diTidendc Jde soit .pas «n produil du

S5a idooivs d'ai^èbius.

dvfisear ^ <m bien j qu'on ait à extraire la racine d'un polynôme qoi ne soit pas une puissance exacte de même ordre que la racine y dans ces deux cas^ les opérations successiyes se prolongeront indéfiniment et Fon engendrera une série.

Lorvqtie des opérations ont pour objet de transformer ime expresnon en une autre qui lui soit ^ale , si , au lieu d'un résultat composé d^uu nombre limité de termes , on trouye une série , on regarde ordinairement cette série comme équivalente à k première expression.. Mais à ce su)et quelques observations im^ portantes doivent être Êiites; et, pour être mieux compris , )s dioisirai un exemple fort sim{de.

Soit la fraction , si on effectue j par les règles connnes, h

division de i par i— x, le calcul sera tel qu^on le voit ci-dessous :