Par exemple , soit la série

[1] a+ax+fla:!+fla:î+etc.,

dans laquelle je supposerai, pour mieux fixer les idées, que x soit positif. Si on prend la somme 5» des n premier! termes, on

aura :

1— ar* a ax^

Soit a? <[i : plus /i €iit grand, plus la quantité est petite •

et même on % reconnu (ào4) qu'on peut choisir 71 assez grand pour qu*elle soit aussi petite qu'on voudra. Donc, en prenant un nombre de termes de plus en plus grands, la somme Sn approche con-

tinuellement de et peut en différer aussi peu qu'on voudra;

donc la série [i] est conyeigente et a pour somme cette limite.

Mais si Ton a x^i, alors on Voit immédiatement, sur la série clle*m£me, que les termes peuyent croître au-de là dé toute limite; donc les sommes qu'on formerait en prenant successiyement vn terme, deux termes, trois termes, etc* peuyent croître aussi au-delà de toute limite ; donc la série est diyergente. ^

548. Il &ut bien se garder de croire qu'une série soit toujours convergente lorsque ses termes vont en conycrgeant yers zéro. Par exemple I on se tromperait si on considérait comme conyergente la •érie

Pour rendre l'erreur évidente t remarquons d'abord que si, à partir d'un terme quelconque - , on ajoute entre eux les n soi- Tans, on aura une somme ^ -;• En effet, cette somme est

et puisque les termes sont décroissans, elle est visiblement^

> — X n ou-.

Cela posé , partageons les termes de la série en groupes comme ci-dessous:

644 iJifon »'iLofaiti.

tontes Itf somm«8 entre parenthèses seront ^ J ; la séHe est àont composée d'une infinité de parties toutes ^ ; , et par conséquent la somme de ses termes n'a pas de limite.

$49* I'^- séries oon^ergentes étant les sonl^s qtt*6li doife employer dans l'analyse , il est très-important de reconnaître à UQe série remplit la condition do conveiigence établie dan< la définition 3 et, pour y parvenir, il existe quçlqu^ règlofi q^'f^jin expliquer.

Soit une série quelconque

[A] i/,+"«+^«+wa4"€tc.

que Ton suppose convergente. Représentons d'une manière générale par Sn la somime des n premiers termes^ de sorte qu'on ait

^„ = I/o -|- 2/x -f- I/a • . . -f- lf„.z 5n4.i=» Wo+Wi +*'>••• + Wn-i+W»

^tc.

Jja définition de la convergence exige qu'en choisissant n suffisamment grand , les sommes 5n, Sn^ty ^194-3, çtc. , approchent autant qu'on voudra d'une certaine limijte 5. Il suit de là que les différences entre ces sommes pourront être rendues aoai petites qu'on voudra , en choisissant n suffisamment grand. Or, les différences entre Sn et chacune des sommes suivantes sont respectivement

Sn-{-i Sn^Uny Sn^t Sn^==lin^UH^t ^

donc, en ne faisant d'abord attention qu'à la différence «9„^t— 5ii, on peut conclure qu'en prenant n suffisamment grand , tous les termes à partir de Un devront être aussi petits qu'on voudra.

Cette condition est simple et d'un usage facile, mais on a déjà remarqué qu'elle ne suffit pas (548) ; et comme ce qui vient d'être dit de la différence Sf^t — Sm s'applique de la même manière anx différences 6»n+a — 5„, Sn-[-z — Sny etc., on peut conclure, oomiM conditions également nécessaires, que chacune des sommes

I/„4-«n4-x, Wn+Wrt+i+W/i+a, ©tC.

LEC0H8 d'ALGÈNLE* 5^

connclërëe sëparànent, doit aussi, quel que soit le nombre de ses termes, devenir aussi petite qu'on veut quand on prend pour n des nombres très-cousidérables. Avec ces nouvelles conditions , il est^évident quB la convergence est assurée : car alors , en ^imîwssant n suffisamment grand, les sommes Sny Sn+ij etc. seront aussi peu -différentes entre elles qu'on youdra , et par conséquent il existe une limite dont elles approcheront aussi près qu'on voudra.

55o. Pour édairoir oe qui précède pfx des exemples, reprenons la série

[i] a-f-«J?-|-a^*+ûJc'+etc. ,

dont le terme général est ax^. Considérons d'abord ce terme isolément, puis ajoutons-le au suivant, puis aux deux suivant , et ainsi de suite ; on aura ces différentes expressions,

i2x'»+' + ax^-T'' =3 i :, etc.

Ar, quand a: est <[ i-, chacune d'elles peut devenir aussi petite ><|u'ou veut en prenant pour n un nombre suffisamment ^rand ; donc les conditions de convergence sont remplies par la série [x]. Reprenons aussi la série numérique

l^] -+r4-7«-- + - + -4 h etc.

Si on considère comme terme général celui qui a le dénomisateur 71-f-i, il est évident qu'en faisant n très grand, il peut devenir aussi petit qu'on veut , ce qui est une condition nécessaire pour la. convergence de la série. Mais il faut encore qu'en ajoutant à ce terme général un nombre quelconque de termes , la somme puisse «devenir aussi petite qu'on voudra : or , c'est ce qui n'a p^s lieu ^

car on a vu que la somme — ; r"~T — • • • H est > .

^ n-j-i/i + 2 '2rt ^a

Il est eu général assez difficile de vérifier toutes les conditionf

de convergence : c'est pourquoi je vais établir quelques théories

qui, dans nn grand nombre de cas, dispenseront de recourir à ces conditions.

Théorèmes à Vaide desquels on peut souvent reconnaître la convergence*

Limite de Verreur,

55 1. Théobême I. Soit une série

U = u„+^«+"a- • • • •+u»+u„4-a+etc.,

dont tous les termesy à partir d'un certain rang , sont positifs, et dans laquelle de très-grandes valeurs de n font converger U rapport

vers une limite R. La série est convergente lorsqu*on a R<i, ^ divergente lorsqiion û R> i •

Si au-delà d^un certain rang tous les termes étaient négatifs, on changerait les signes de la série U, et le théorème s'appliquerait à la série — U,

Supposons d^abord R <^ i , et choisissons à yolonté un nombre R' intermédiaire entre i et R. Puisque les très-grandes yaleors de n font converger le rapport r vers R , il s^ensuit qu'à partir d'un certain terme i/„, qu'on prendra aussi éloigné qu'on youdrai les rapports

^n+i yVn-fa gZ/t-fS

• f • ecc*

Un Un^i W„4.a ^

pourront différer aussi peu qu'on voudra de la limite R ; et par conséquent alors ils seront <^R'. Donc on aura

I/n4.i<R'w«, l/«4.a< R' i/n-f , , W^+B <R'll„+a , CtC. J

et à plus forte raison

i/„4.,<R'm„, w„4.a<R'»//„, i/„4-3<R'?i/„, etc. :

ainsi , les termes z/„^, , i/n^-a, i/„4-s , etc. sont respectivement plus petits que ceux de la progression géométrique R'i/n+R'»i/„+etc. Or, cette progression est convergente puisque la raison R' est <i (n" 55o) : donc, à plus forte raison, la série w«4„+w»-{-a4-clc. sera cotrvçiçentç , et par conséquent la série U Test aussi.

LEÇdVS D'ALftioAE. S^fj

En second lieu^ supposons R ^i, et choisissons encore à volonté W entre i et R. On fera voir, comme précédemment, qu^on peut prendre le terme i/» assez éloigné pour que les fermes z/n+x^ i/n+a , etc. soient respectivement plus grands que leurs correspondaus de la suite géométrique R'i/n-f-R''i/»-4-etc. Or, R' étant ^i, on peut arriver dans cette suite à des termes aussi grands qu'on voudra ^ donc, pour les très-grandes valeurs de n, les termes de la série U ne seront pas aussi peu différensde zéro qu'on voudra. Dès que cette condition vient à manquer, la convergence de la série est impossible.

Appliquons le théorème aux séries suivantes, dans lesquelles on suppose x positif :

U'= lA \ 1 5 . . . H -r h etc. ,

___ m , m(m — i) , . m(jm — i)...(m — n-i-i)

V^^i xA- — 'V. . .±1 -X /— i XJ ««qretc.

Dans la série U% deux termes consécutifs quelconques sont

+ ' ô r i^> donc r=.

Or, quand on a fait croître n indéfiniment, la liaûte de r est A=o^ donc, quelle que soit la grandeur de x, la série U' est convergente.

Dans la série U'^, deux termes consécutifs quelconques sont

X» . 0:"+' , nx — r— : donc r=— r-;

Or, il est facile de voir qu'on a

donc 9 si on fait croître n indéfiniment, la limite de r est

R=ra: J donc, suivant qu'on aura x<^\ ou x^i, la série XJ^ sera

convergente ou divergente.

648 UÇOfrà l»*AI.câBKX.

Enfin, considérons la série U'^, dans laquelle m est un nombre donné. Le rapport r sera

et Ton Yoit qu'à partir d'une valeur de n suffisamment grande, r sera toujours positif^ de sorte que tous les termes de la série U'^, 4 partir dVn certain rang, seront de même signe, comme Texige l'énoncé du théorème. On voit aussi que la limite de r est R=^j donc, X étant positif, suivant qu'on aura x<Ci ou^i, la série V sera convergente ou divergente* 552. Theobeme II. Soit une série

Us=u,+nx+U2. . .+u„+ etc. ,

dont tous les termes sont positifs à partira* un certain rang : sij pour les très-grandes valeurs de n^ la racine

consierge vers une limite R, la série sera convergente ou divergente , suivant qu'on aura R<C[i ou R]>i.

Sï les termes au-delà d'un certain rang étaient négatifs, le théorème s'appliquerait à la série — U.

Soit d'abord R<;i , et prenons encore une quantité R' entre R et 1 . D'après l'énoncé, on peut choisir n assez grand pour que \s$ /expressions

^Unj Vïl^^, V^lTi^a, etc.,

soient aussi approchées de R qu'on voudra, et par conséquent toutes moindres que R' : de sorte qu'on aura

i/„<R'«, i/„+x<R'«+% r/„+a<R^«+», etc.

Donc les termes de la suite w„4-w„^,-[- etc. seront moindres que

ceux de la j^rggrci^on géométrique R'"+R'''-l-^ + etc.,- et comme

cette progressiort^èslb^Vivergente, à cause de R'<i , on conclut

^^*i' W ««y? ^n^% Hf'^^mrk^\'i\ ^ûi' l'être : par conséguent

Soit R> i.BÎ on prend encore R'^Rt,;ç.^.^;^,^j>„ r. ^

une quantité moindre que R, et un raisonnement analogue au précédent prouvera que la série est divergente.

ScoUe. Les deux théorèmes qu^on vient d'établir ne laissent d^incertitude , sur la convergence ou la divergence de la série U , que dans les cas où Ton aurait R = i ; et alors la question ne sera pas toujours facile à décider. M. Gauchy, à qui j'ai emprunté en grande partie les considérations générales contenues dans ce cliapitre , a aussi donné plusieurs propositions à Faide desquelles on y réussit quelquefois. Voyez son Cours (Tanaljrse imprimé en 1821.