I . . - . ar

Mais une erreur assez commune, c'esl de croire qu'en regardant la suite des termes du quotient comme prolongée à l'infini , elle devra toujours représenter, quel que soit Xj la valeur exacte du quotient^ de sorte qu'on aurait

[i] =»i4-^ + a:'-4-etc.

Gett^ égalité est incontestable quand on attribue li ± detf 1^ liai)^<i ; cur «kt» len'' iwcmbre eatk <onioi&de»teKaM'd?9nc

progreknon gëomëtricpie déovoîsfiante y et , diaprés la règle coor nûc (3o4) , celte somme est en effet égale à .

Quand ou attribue à x des valeurs >i , alors l'égalité cesse d'être yraie. Ainsi, qu'o/n fasse a: = 2, eHe deyient

= 1+1+1+ etc.j

et il y a absurdité éyidente, car le i" membre est égal à — i , et le a« est égal à l'infini.

Il est facile d'expliquer comment il se fait que l'égalité [i] soit Traie ou fausse/ selon que x est moindre ou plus grand que ï. On ft déjà obserré qa'en arrêtant le quotient à nne certaine puissance de â? 9 il fauH ajouter une fracUon au quotient pour le compléter. Désignons par :e" le terme auquel on s'arrête, le reste sera reprélenté par âH^% et l'on aura, san» ailcune erreur,

= i+ar+x* ...+a:'*+ — = — •

IiMsqa'on veut prolonger indéfiniment la suite des termes du ^otient^ il faut faire n=±: od , et cette hypothèse doit être £ûte aiosai bien dans la partie fractionnaire que dans la partie entière. Or, la partie fractionnaire deyieot alorà zéro si x <[i , et — oo^ ai jO> I • donc on peut la suppriitier dens lepremier ea»^ maie non dans le second.

En général, une fonction ne peut être*rempkcée par une série qve dans les cas oii cette série lui est parfaitement équiyalente ; et, pour que cela soit, 9 faut, comme condition essentielle, qu'en arrêtant la séiie à nn terme qndconqne, ïe reste de la série de^ Tienne zéro lorsque le nombre des termes qui précèdent ee reste est infini. Or, cette condition est toujours remplie par les^ séries eoATergentes; et pour cette raison elles sont les seules qu^on doiye a<ibnettre dans le calcul.

557. Il etiste, pour déyelopper les fonctions en séries, uhe méthode dite des ccefficiens indéterminés , que je yais exposer en peu de mots. Afin de mieux fixer les idées, supposons, ce qtri est le ca» le pkif ordinaire, qn'il s'a^sse d'une fonction F[x) dont les frfetta aom^ >éeBee e» ysaient d^ane manière continue , pour des

854 IiEÇOir& D^ALGkBUB.

Trieurs très-petites de a: à partir de x=iO : on demande de dëvelop* per cette fonction en série ordonnée suiyant les puissances ascendantes, positives et entières de x. On fera

[i] F(x) — A+Bx+Cx^+Jyx^+eic.j

et Ay B, Cy • • • seront des coe£Biciens indéterminés qui ne doivent point contenir Xy et dont il faut trouver les valeurs.

A cet eflfet, on choisira une propriété de la fonction fXx) qui soit d'une vérification facile, et en cherchant à opérer cette vérification avec la série, on arrivera à une égalité telle que

[a] P-l-Qx4-Rar»+Sa:'+etc. = o,

dans laquelle P, Q, R, . • • sont des expressions indépendantes de X, mais composées avec les coefiBiciens A, B, G, • • • Or, cette ^lité devant subsister sans qu^on assigne à a: de valeur particulière, il faudra que les multiplicateurs des différentes puissances de x deviennent nuls; donc on devra avoir

[3] P=:o, Q=o, Rsso, etc.,

et on se servira de ces équations pour trouver le§ coefficicns A , B , G, . • • Si elles en laissent quelques uns d'inconnus , il faudra remonter à Fcquatiôn [i] et les déterminer d'après les propriétés particulières de la fonction que Ton considère*

Dans le chapitre suivant je donnerai des applications de cette méthode ; mais je dois présenter ici quelques observadons qui me semblent indispensables;

558. Premièrement! dans Fégalité [i] il faut que le second membre représente la valeur du premier. Si cela n'est pas possible en attribuant à x une valeur quelconque , on veut au moins que que l'égalité ait lieu pour les petites valeurs de x, et cela exige que la série soit convergente pour ces petites valeurs* Or, il est très-rare qu'on puisse démontrer à priori la possibilité d'exprimer une fonction par une série de cette espèce , même lorsqu'on la restreint aux petites valeurs de x. Ainsi, à parler rigoureusement, l'égalité [i] doit être regardée comme purement hypothétique , et à la fin du calcul, après avoir trouvé A, B, G,, • •, ii sera nécessaire de vérifier si, pour les petites valeurs de x, elle est yéritablemeilt çonycrgeutQ %\ éga^Q à h fonction q^ç l'oAGOOfUère.

ULqôn T^^ÀLckstiZ» 555

Les auteurs n'ont peut-être pas assez insisté sur la nécessité de celte yérifîcation. Communément on croit que les calculs par lesquels on cherche des inconnues ne doivent jamais manquer de découvrir les fausses suppositions qu'on y aurait introduites ^ et, s'il en était ainsi , la vérification serait superflue. Mais on pourrait citer des exemples où des erreurs de supposition resteraient ina« perçues par cette voie. Les hornes de cet ouvrage ne me permettent pas de m'étendre davantage sur ce sujet.

55g. J'ai dît que Téquation [2] devait avoir lieu sans attribuer à a: de valeur particulière. Pour bien entendre ceci, il faut observer que si on borne, comme nous l'avons fait, l'égalité [i] aux petites valeurs de x^ il en doit être de même de l'équation [2] : c*est-à-dire que la série P+Qar+ctc. doit être convergente et égale à zéra, pour toutes les valeurs de a: à partir de a:= o jusqu'à certaine limite , qui peut être très-petite. Or, cela suffit pour conclure qu'on doit avoir les équations [3].

En efiFet, si on prend :& = o , la série P-|-Qa: + etc. doit se ré-^ duire à P, et par conséquent l'équation [2] donne P = o. Supprimons dans cette équation le terme P qui est zéro, et divisons-la par X , on obtient ceUe*ci Q-f-Bar-f- etc. = o , laquelle doit encore subsister pour les valeurs très-petites de x. Donc on pourra en conclure semblablement Q=3 0, et ainsi de suite.

560. Une même fonction F{x) ne peut avoir qu'un seul développement en 5érie convergente de la forme A-f- Bj:-t-etc. : car si on en trouvait deux, ils devraient être égaux entre eux, et dès* lors on devrait avoir une équation de la forme

[4] A+Bar-|-Ca;«+ etc. = A'-{-B'^-f C'aî^-fetc.

£n transposant tout dans un membre, elle devient (A— «A') + (B— B')a:+etc.=:o j et, par le n** précédent , on en conclut A— A'=o, B— B'=fo, etc., ouA=A', B=B', etc.

En d'autres fermes, on pourrait encore dire que deux séries convergentes, ordonnées suivant les puissances ascendantes et entières d'une variable x , ne peuvent pas être égales sans être identiques.

56 1. L^emploi des coefficiens indéterminés s'offre de lui-même dans le problème du retour des suites. Alors on suppose qu^une

quantité jr^ dépendant d'une variable ix:^ est exprimée par une

556 utGons o'ALoàBEs;

série en a? y et Ton yenl en déduire la Taleur de x exprimée par une série 9njr, Soient

^=A+Ba:4-Ca:'+ etc., x =a4-5jr+Ç7*'+etc. ,

A, B, Cy... étant des quantités données, et a^ bj c,... des iadé" terminées. Dans la première égalité on remplacera x par la séri» A-f-^-f- etc. ^ ou bien dans la seconde, y par la série A-f-Bx-{-etc.; et Ton arrrivera ainsi à une égalité telle que [a] ou [4] 9 de laquelle on déduira différentes équations qui serviront à déterminer les coefficiens a, 6, c,....

Je terminerai ici les généralités relatives aux séries. Ten ai ik\ assez poi^ montrer combien de précautions doivent être prîtes pour les employer avec sûreté. Aussi a-t-'On soin , surtout dans kl élémens , de ne traiter par cette voie que les questions dont h solution serait impossible ou trop difiEicile par d'autres procédés.