CHAPITRE XXIV
Binôme pour tous Us cas. Séries exponentielles et logarithmiques. Séries récurrentes.
Formule du BlfioUEpour un exposant quelconque.
562. Si on fait, comme au n« 21 1, les premières puissances de a^x au moyen delà multiplication, on reconnaît facilement que pour un exposant entier positif quelconque les deux premiers termes du développement de (û-j-o:)'" sont û'"+ma'"—*a:, et que les autres sont de la forme Aa'»-':r*+Ba''*~ V+ etc. , de sorte qu'on peut poser
[i] («+a:)"'=û"»-|- wa"»-'a:-t- Aa'"-'a:' + Ba'^'j:^ + etc., Ay By*.* représentant des coefficiens q«i ne çontiennenl ih a ni ^-
' LEÇONS D'ALOàBRE. £$7
Iionqœ Texposant est un nombre positif fractionnaire , on a
Or, si on applique ici le procédé expliqué n® 224 pourTextracUon des racines , on trouve sans difficulté les deux premiers termes de cette racine y et Ton a un développement de la forme
(a+a:)" = a"-| — a" ar+Aa" or^+Ba" «^-|-etc.
Ainsi la forme -du développement est la même que pour un exposant eBtie;r.
Lorsque l'exposant est un nombre négatif quelconque, entier tm fractionnaire, on a , en s'appujant sur ce qui vient déjà d'être troirvé,
/IN I ï
la + x)""*" = —7— = — — — — j "
^ ■ ' (fl+-^)'" û^+ma"*— 'x+ etc.
Or, si on effectue la division suivant les règles ordinaires , il vient un quotient indéfini tel que
donc , quel que soit Texposant, on doit toujours avoir un développement de la forme indiquée par Téquation [i]. Les deux premiers termes sont déterminés , et il ne reste plus qu'à trouver les coefficiens A, B, etc.
Pour plus de généralité je considérerai deux termes consécutiis de rang quelconque, et j'écrirai
Changeons partout x en x-^j- : comme les coefficicns inconnus ne contiennent ni a ni Xy il viendra
(a -f-^ 4" J^)"* = «* + ^na"^* {x ^-j*) • • ' . . .-jr Ma"—" {x +j^)"+Na"»-"-* (a:+j^)'»+' + etc.
£« cluuBgeaBEt a en a-J^jr^ on eûit trouvé
•+M{«+j^)"»-*a:»+N(a+^)»--«--;x^^ etc.
558 LEÇOffâ D^Ai«EBIl£.
Dans les deux égalités précëdeutes, les premieiS membres sont égaux : donc les seconds doivent Fêtre ; et cela, quels que soient X et j*. Donc, si on les ordonne par rapport aux puissances de j*, ils devront être identiques. A la vérité ils renferment des puissances de binômes , mais on connaît les deux premiers termes de cbacune de ces puissances, de sorte qu^on pourra former la partie qui, dans chaque second membre , renferme j* au premier degré ^ et cette partie nous suffira. En la désignant par Y y dans Tun , et par X'y dans l'autre, il est facile de trouver
Y =swû'*-«...+M/ia'»-"j:"-*+ N(7i+ Oû'*-»-»^*...
y =mû'»-' . . .+M(m— w)a'»-'»-»a:'»4-N(/»— 72— i )a~-»— • j:»+« . . .
Cet deux quantités devant être égales quel que soit x , il faut que les coefSciens des puissances semblables de x soient égaux ^ donc, en ne considérant que ceux qui aiOTectent a'«— »— »x" , on aura
N(n+i)=M(m — n), d'où N= 5!(î^=:!L\
On voit par là selon quelle loi un coefficient quelconque se forme du précédent. Elle est la même qu'on a trouvée pour le cas d'an exposant entier positif (21 5) ; et comme nous avons reconnu que les deux premiers termes du développement sont composés de la même manière quel que soit l'exposant 772, il en sera encore ainsi de tous les autres termes.
DonC; pour toutes les valeurs de 772, on aura toujours la formule
. (a + xr = a*" + ma'^^^x A ^-- a'"»-*a:* 4- etc.
Lorsque 772 sera entier et positif , elle s'arrêtera à x*"; dans tous les autres cas elle se prolongera indéfiniment.
Séries exponentielles.
563. Lorsqu'on fait :r=:o , la fonction a* se réduit à Tunité. C'est pourquoi je prendrai l'unité pour premier terme du déreloppement de a', et je poserai
uc^l d'ilgèbbe* 5Sg
A', By Gy D,..'*. ëtant des coefficiens indéterminés quW suppose indépendans de x» Pour les trouver, je me seryira^ de la propriété
En changeant dans la série x en j'y et ensuite x en x-(-^y on a
a^=i+Ay'^By*^Cy^+J)j^+ etc. , û^/=i+À(x+j-)+B(a:+j-)>+C(a:+j^p+D(a:4:r)^+ etc.;
donc , pour yérîfier la propriété à^'X,aJ'z=ui''\'J^y on doit avoir
i+A(x4:y)+B(a>4-j")- + C(x+r)^+D(ar+r)* + elc.== (i+Aa:+Bx»+Cr3^Da:44.etc.)(i+Ay+Bj^»+Cj-3+etc).
Si on effectue les opérations indiquées j et si on considère en particuller la partie qui contient la première puissance de j- dans chaque membre y ces deux parties devant être égales, on aura
A+aBx4-3Ca:*4-4Dx3+etc. = A+A»x+ABa:'+AC^3^^ etc.
Mais cette égalité doit dle-même avoir lieu quel que soit x ; doue ]es puissances semblables de x doivent avoir les mêmes coefficiens ; donc
2B = A% 3C=AB, 4D = AG, etc.,
d'où B=^, 0=^3, D=^-^. etc.;
et| en substituant ces valeurs, la série deviendra
La quantité A reste encore à déterminer, et Ton y parvient trèssimplement en faisant Ar=i ou a:=;=3-^. Pour cette valeur do Xf on aura /
Selon Fusage , je nommerai e la quantité représentée par cette série numérique ; et , en prenant les logarithmes des deux membres , il viendra
S6o LEÇONS D'aL6ÈBA£.
Pour plus de simplicité, je supposerai que les logarithmes ^ient pris dans le système dont la base est «, et dans oetle hypothèse j« les indiquerai par la seule initiale 1. Alors on aura le=zsi , AsLi, et par suite le développement de a* sera
a'z= i+;rla-| —^'\ — — |- etc.
Si rexpoaentîelle était e' , il faudrait faire a =3^ , la= 1 5 et l'on aurait simplement
c«=5 I4.X+ — + -— • 4. etc.
564* Je yais prouver ici que e est un nombre incommensurable* La valeur de e est celle-ci
' n est évident qu'elle surpasse 2 , et il est facile de voir qu'elle est au-dessous de 3. En effet la somme T"i~r:7"l"^^c* ^^^ moindre que celle des termes de la progression géométrique -j+i+i-f" c'c, et cette dernière somme est égale à i .
Maintenant admettons que , - étant un nombre fraction-
naire , on puisse avoir
- = 2 -I i r . . . -i 5 r ; — r— : + CtC.
En multipliant les deux membres de cette égalité par le produit 2.3... {q — I ) q , il viendrait
^4-1 (gr-f-i)(^4-2) ^
N désignant un nombre entier. Or, les fractions qui sont ajoutées à N composent une somme moindre que la progression géométrique --J- — [- ( -—r— J + ("37 ) +®'c«' et cette dernière somme
est égale à la fraction-; donc il s'ensuivrait qu'en ajoutant à un
nombre entier une fraction moindre que celle-là le résultat serait encore un nombre entier 9 ce qui est absurde. Donc le nombre c «st irrationnel.
Comme les termes de la série numérique décroissent trts-rtpide» ment , il sufiira d'en prendre un petit nombre pour obtenir e. ayeo nne grande approximation. J'ai déjà rapporté ailleurs (333) la valeur de e, e =s 2y<7 1 8 281 828 • • •
Séries logarithmiques.
565. On n'essaiera pas de développer logo; en une série de la fdrme A4-B«+C**+®'<5., attendu que, pour l'hypothèse ^csso, log X devient infini. Mais on cherchera le développement de log (i4"^) y 6^ comme x=o donne log (i-(-x) = 0, ou posera
[i] log (i+a:) = Ax+Bx»+Ca:'+Dx^+ctc.
Changeons a: en x -J^j il viendra
log(i+J7+^) = A(a:4:r)+B {x^Y^{x^y^tlt.
Mais i+or-hy =:(i+a:)^i+ J^^j) ; donc log ( i +x+jf)e=5
log (i+j:) + log^i+-^j. Or, si on change x en j-^, réalité [i] donne j
log (^ H--^) = -^+ ,-¥t. + etcî \ 1 -^x/ I + X ' (i -f-xy. * '
et par suite il vient
Ar Br*
log (I +a:-hr) =log (i+a:H- r^ + ^7;^ + etc.
On a ainsi une seconde expression de log (i-f-x-f-J^)* Dans Tune et l'autre les multiplicateurs des puissances semblables àty doivent être égaux ; et de là on conclut facilement
A 4-2Ba:+3Ca:>-l-4Da:?4- etc. = --^.
En diassant le dénominateur i'\-Xj et 6tant le terme A qai est commun aux deux membres y on trouve
(2B4-A)x+(3C4-2B)x>4.(4D+3C)«5+elc.i3io;
et comme x doit rester indéterminé, il faut qu'on ait aB-f-AE&so, 3G4-2Bao, 4D+3GssOy etc. De là on déduit B s —| A, Cas fAy Dss-* ^A, etc.; et par conséquent Ta série[i] devient
lof U+x) w A(cc«?.^+^-^+ftc)3
569 Ufoira D^ixolmi.
La détermination do coefficient A est assez dâlcate. DitiseBS par m les deux membres de Pëgalité ci-dçssns , il tient
log (î+X) ^ / , x.x^ ^ \
Alors le second membre se réduit à A par l'hypothèse x=o. Mais lé premier se présente sous la forme ^ , et la difficulté est d'en
ctnin^tre la Traie Taleur. Soit fait xt= - : on aura Si on deTeloppe la puissance , on trouve
L*hypothése x=io répond à n=:oo : or, si on suppose 72=00 , le second membre de la dernière égalité se réduit à la série numérique «=2+-j-4-ro4"i^s^ + 6tc. , déjà remarquée n* 563; donc A= log e, et par conséquent
[2] log (i+a:) =aslog e {x— il 4.£- — ^4. etc. ).
Jusqu'ici les logarithihes appartiennent à telle base qu'on youdra ; mais si on adopte e pour base on a log e=i , et en n'employant alors* que la Seule initiale 1 pour désigner les logarithmes, on a
[5] 1 (i+a:) =:ar— ^+ ~— ^+ etc.
566. Par ce qui précède, il est évident que À ou log e est le rapport de l'accroissement de log (i+-a:) à x lorsque x est très-petit : . cette quantité n'est donc autre chose que celle à laquelle on a donné le nom de module dans le n<> 33o. Lorsqu'on prend e pour la base, ce module devient égal à i ; par conséquent e est la base des lôgarîthmes népériens (33 1).
Il est d'ailleurs évident qu'on transportera les logarithmes népériens dans un système quelconque en les multipliant par le module prqf>re à ce systècne» On a vu plus haut que ce modale était égal SSog c. Mais si «n appelle a la base du système dont il
tËcosB d'algIbri. g63i
•*agit 9 on « ëTidemment âlog e ss e; donc en prenant les logarithmes néi^riens des deux membres, il viendra
logeXl^ = ï> d'où logées. .
Aiosiy en désignant le module par M, on aura également
M=loge et M=|î-.
567* Les séries [1] et [3] ne sont convergentes que pour les valeurs de X moindres que i , mais elles servent à en trouver d^au* très qui conviennent aux valeurs plus grandes. Il suffira de s*oo» cuper de la série [S]. Si on change x en —-a:, elle donne
1 (i-a?)= -x~- - - etc. i
et, si on retranche l(i — x) de 1 (i+^/j on trouve le logarithme du quotient de i+x par i — x , savoir :
Maintenant, posons = 1 4— > d'où x = — -j— ^ j puis , obser-
yonsqa'dorsl(;-^j=l(.+0»l(^)=l(»4.z)-l«:
on conclura
i(„+.)=i„+a{^+i(^)VK4r,)W},
formule qui est assez commode pour s'élever de l/i à I (;i-f-z}.
Après avoir calculé les logarithmes népériens, on les fera pasier dans le système vulgaire, dont la base est 10, en les multipliant par le module de ce système* Pour avoir ce module, il suffit donc de connaître les logarithmes d'un même nombre dans chaipie système, et de diviser le second logarithme par le premier. Le nombre qu'il convient de choisir est la base 10 elle-même, parce que son logarithme dans le second système est l'anité. Yoici comment oii trouve le log. nép. de 10.
On calcule d'abord \i en £nsant /i = i , zssuy dans la fbrmok ci-dearas; pois on a I4 = 2I2 j puis la formule donne 15 en y fiufant nssé^^ gessi ; pdf «nfio 00 a liosslS-f-l^-
G*eft fdnsi que t^obtiennent les deux valeurs déjà *r Apportées n** 333 et 334, lio=2,3o2 385 092..., M=o, 434 294 481....
DiMonstration de^ formules précédentes en considérant directement Us
séries elles-mêmes,
568. Si le lecteur se rappelle les obseryations générales que f ai présentées n« 558, Sur les développemens en séries^ il reconnaîtra combien laissent à désirer, sous le rapport de la rigueur , les mé« thodes qui viennent d'être employées. Pour' corriger ce qu'elles ont d'imparfait, je vais considérer les séries en elles-mêmes et prouver qu'elles sont en effet égales aux quantités dont on les a déduites. L'analyse suivante a été donnée par Destautville dans !• t. IX des Annales de Mathém. publiées par M. GsEGOirifE.
569* Soient les séries indéfinies
^(tf)=i+û^+a(û+A)^+fl(fl+^)(a+2*) --i--+ctc. ,
J'emploie ici (p(a) comme notation abrégée pour désigner la première série^ et en même temps j'établis la convention que, si dans cette série on remplace a par une quantité quelconque 1/, la noa* velle série sera représentée par 9(2/). Cela posé, je vais démontrer qu'on doit toujours avoir
Pour y parvenir, formons d'abord le développement du produit f (^)X9(i)» En effectaant avec ordre la multiplication, on troure
9WX <?(*) =
9^ 4- etc.
Lï^irs D^ALGicimx;? 565
Si on Compare ce produit ayec (fia-^b) on voit fàr-le-champ qu« les deux premiers termes sont les mêmes. Le trobième est aussi le même : car on a évidemment
=za{a^b+k^-b{a+b+h)a=^(a'^bXa+b+k).
En continuant , on pourrait prouyer que Tëgalité a lieu dans les termes suiyans^ mais , pour plus de généralité , je vais démontrer qu'en supposant FégaliCé établie jusqu'à une puissance quelconque zP^* inclusivement, elle doit encore subsister entre les termes affectés de zP.. Arec de Fattention il est facile de voir qua âaiu le prodoit f (a) X 9(^) les terme» en zP^} et zp font
a(«+ft) (û+2it) {a+3k). . • [•+</>— a)>t]
