DtS LOUAHITUMbb
et connue elle donne encore xl à la fin de la n“* année, on voit
<|ue la partie de la dette éteinte par ces n payements sera ou , ce qui revient au même ,
mais alors l'emprunt doit être acquilté entièrement, donc
d’où
ar (1 -t-rp
449. Supposons que l’on fasse n = » , et voyons ce que deviendra la valeur de x. Pour cela, je commence par diviser les deux, termes de cette fraction par ( 1 -(- r)*, parce que comme iis croîtraient tous deux en même temps quand n augmentera, on ne pourrait pas suivre les variations de x. Il vient ainsi
ar
Sous cette forme, on voit maintenant qu'à mesure que n augmentera, la quantité ^ diminuera, que par conséquent le
dénominateur augmentera et tendra à devenir égal à l'unité, de sorte que la valeur de x convergera vers la limite ar, qu’elle atteindra, lorsque n deviendra infini. Ainsi, l'annuité devient alors égale à l’intérêt du capital prêté, et c’est ce qui doit être , puisque le capital a ’ ne devant jamais être payé, le débiteur ne doit, à la fin de chaque année, que l’intérêt de ce capital.
4iS0. La théorie des annuités donne lieu à quatre questions, car on peut prendre successivement pour inconnue chacune des
quantités x, a, n, et r. La troisième question exige l’emploi des logarithmes; et la quatrième dépend de la résolution d’une équation du degré i'n-j-1), que l’on ramènera facilement à
en posant 1 + r — a, d’où r = z — 1 . Celle-ci a une racine égale à + 1» laquelle est une solution étrangère à la question , car r ne peut pas être égale à l’unité.
481. Lorsque le gouvernement fait un emprunt, il émet une série d’actions toutes de la même valeur, et qu’il échange contre de l’argent comptant. Ces actions sont inscrites sur 1 o grand livre de la dette publique, et rapportent ainsi un intérêt, qui est acquitté par le Trésor, à la fin de chaque semestre. Il crée en même temps un fonds d'amortissement , pris sur les revenus de l’État, qui est versé chaque année dans une caisse, que l’on appelle la caisse d’amortissement , et dont il constitue la dotation , le directeur de celte caisse emploie oette dotation pour racheter les actions qui ont été émises ; de sorte qu’au bout d’un certain nombre d’années, l’emprunt se trouve acquitté. Ici , les intérêts de l’emprunt n’étant pas payés par la caisse d’amortissement, la somme des valeurs des différentes annuités doit être simplement égale au capital prêté ; de sorte que l’on a ainsi > . . '
'■r 1(1 -J- f)” — If
d’où
ar
(1 + rr— 1
Cherchons en combien d’années l’emprunt sera éteint , en supposant que le fonds d’amortissement soit le centième du capital, et que le taux de l’intérêt soit 3 pour 100. On tirera
d’abord de la formule précédente, en y faisant x = — — et
ÎUO
(1 ,037*= 4 , d’où n--
logl ,03
= 47 ans.
DIS LOGARITHMES ,
