Exemple 1. Résoudre l'équation

Elle revient à

d’où, en chassant les dénominateurs et en posant a' = y, , y— iay— 3fl*=0

leur a In

partant

loga4-log3 . . *

x — ~—r- — -- , si « > 0 , logrt

et si a est négatif, les valeurs de x sont imaginaires.

Exemple II. Résoudre l'équation 5*l = 2 +

Cette équation revient à . " .

d’où, en chassant les dénominateurs, et après avoir posé 5*=y,

y* — lOy — 375 = 0, y = 5rfc20;

rfirtnnf .'ogl/|og25

partant

§ III. DE L’ÜSAGE DES LOGARITHMES DANS LA RÉSOLUTION DE CERTAINS PROBLÈMES.

440. On sait que quand une personne prête à une autre une certaine somme d'argent, que l’on appelle capital , elle se fait payer par l’emprunteur une somme qui se nomme intérêt, pour s’indemniser de la jouissance de ce capital, dont elle s’est privée pendant un cïrtain temps, et le taux de l'intérêt est ce que rapporterait ainsi un capital de 100 francs, placé pendant un an.

DIS LOGARITHMES

Un distingue deux sortes d'intérét, le simple et le compote. L’intérêt simple est celui qui se tire uniformément du capital prêté, sans pouvoir devenir lui-même capital, ni produire d’intérêts. Il est proportionnel au capital et au temps pendant lequel ce capital est resté entre les mains de l’emprunteur.

L’intérêt, au contraire, devient composé quand il s’ajoute au capital pour devenir ainsi capital lui-même et produire, en conséquence, un certain intérêt. Concevons, par exemple, qu’une personne emprunte 2000 francs à 5 pour 100 par an : elle devra, à l’échéance du billet, cette somme, plus ses intérêts, c’est-àdire 2100 francs. Si donc elle ne peut s'acquitter alors, elle devra à son créancier, au bout de la deuxième année, les 2100 francs qu'elle lui devait à la fin de la première, plus les intérêts de cette somme, c’est-à-dire 2205 francs, et ainsi de suite d'année en année, jusqu'à l'acquittement de la dette. C’est des principales questions relatives à la théorie des intérêts composés que nous allons nous occuper actuellement.

441. Nous représenterons le capital prêté par a, le nombre des années pendant lesquelles il aura été prêté par n ; par A ce qu’il deviendra au bout de ce temps, et par r le denier de l'intérêt, c’est-à-dire ce que 1 franc rapporte dans une année. Ainsi, dans une question d’intérêts, il y a quatre choses à considérer, de sorte que la recherche de l'une d’elles, lorsqu’on connaît les trois autres, donne lieu à quatre problèmes. Mais il est évident que la solution de chacune de ces questions ne diffère en rien de celle des autres, puisqu’on regardant successivement, daps l’équation relative à l’une d’elles, les quatre quantités a, A, n et r comme inconnues, on obtiendra facilement les formules qui doivent les résoudre. Nous traiterons donc toutes les questions d’intérêts composés, comme si l’on demandait ta valeur d'un capital connu à une époque déterminée.

442. Problèiir I. Une somme a est placée pour n années au denier r; que vaudra-t-elle, tant en principal qu'en intérêts, à l'expiration de ces n années?

Puisque t‘ rapporte rr dans un an, et que, dans les questions

Diqiti.

d’intérêt simple, cet intérêt est proportionnel au capital, on voit que a( rapporteront arf en un an (1 : a :: r : ar) ; de sorte que cette somme vaudra , au bout d'un an, tant en principal qu en intérêt, « — rrr* = « (1 — #■). Ainsi, pour avoir la valeur d’un capital quelconque au bout d’un an, il faut multiplier ce capital par la quantité ( 1 -f r). Nous obtiendrons donc la valeur du nouveau capital a (l 4- r) au bout d'un an, c’est-à-dire celle du capital af au bout de 2 ans, en multipliant a(l-fr) par (1 -f-r) ; ce qui donnera a (l -f-r)1. Par la même raison, ce capital af vaudra au bout de 3 ans , a (1 -f- r)’ X (1 + r) = a (1 -f rf, et ainsi de suite. Donc , au bout de n années , ce même capital vaudra a <1-4- r/*; donc on auia

formule qui résout le problème , lorsque la somme u a été prêtée pour un nombre exact d’années.

Mais si cette somme avait été placée pendunt n années plus p jours, quelle serait alors la valeur de A? Les banquiers ne composent les intérêts que d'année en année, de sorte que pour trouver la valeur du capital «f, au bout de ce temps, il faudra le regarder comme ayant été prêté h intérêts composés pendant n années, 60 qui produira la somme a (1 -fr)", et considérer celle-ci comme placée à intérêts simples pendant les p jours

excédants. Or, puisque lf rapporte rren I an, il rapportera

en un seul jour (dans les questions d’intérêts, on regarde l’année comme étant composée de 12 mois de 30 jours chacun), et nrl

par conséquent en p jours. Donc le capital a (1 -f r)H produira, dans le même temps, oft -frf d’intérêts; de sorte

que le capital a1 vaudra, au bout de n années et p jours, tant en principal qu'eu intérêts,

344 t>ES UMiABITHMKS

donc enfin Ih solution de la question sera donnée par la formule

A=»(l + rr(l+gj) [«),

Les géomètres ne partagent point l’avis des banquiers : se préoccupant du soin de donner à leurs formules toute la généralité possible, ils regardent l’équation [5] comme étant également vraie, soit que n représente un nombre exact d'années, soit que n se compose d’un nombre entier, qui peut être zéro, et d’une fraction de l’année. Ainsi, dans le cas où le capital <if aurait été prété pendant n années et p jours, ils rem-

placeraient » par n -f ^ dans la formule [5] et diraient que la solution de la question est donnée par la formule

A = «(I+rr* [7]. ..

En effet, supposer, comme le font les banquiers, que l'intérêt est composé d’une année à une autre et que, dans le courant d’une seule, il soit traité comme intérêt simple, est une hypothèse bizarre qui ne saurait être admise que dans le cas d'une convention formelle entre le créancier et son débiteur. Il est bien plus naturel d’admettre que l'intérêt se compose de jour en jour, comme il se compose d’année en année; car, si la personne qui a emprunté 2000f, par exemple, pour 20 jours, ne pouvant pas acquitter sa dette à l’échéance du billet, garde encore les fonds pendant 15autresjours,nedevra-t-ellepaspayer,auboutdeces 15 nouveaux jours, la somme qu’elle devait au bout des 20 premiers, plus les intérêtsde cette somme pendant les 1 5 derniers jours ; de sorte que les intérêts auront été ainsi composés? En admettant cette manière de voir, il faudra, pour trouver la valeur de a{ au bout de n années plus p jours, c'est-à-dire au boutde(360«-f-p) jours, chercher combien lr doit rapporter d’intérêts en 1 jour pour valoir (1 -f- r) francs au bout d’un an, conformément aux données de la question. Soit x cet intérêt de lf pour 1 jour : en raisonnant comme nous l'avons fait plus haut, on verra facilement: 1* quel' vaudra, tant en capital qu’en intérêts, au bout

de 3üO jours, (1 -j- .v)**; de sorte qu'on doit avoir

(1 -|- X)m=: 1 -f r, d’où 1 -(-* = (1 -j-r)55;

2° que «f vaudront, au bout de (360«-|-p) jours, xf**+r ,

ou biena(l-{-r) **’ , en remplaçant (1 -(- x) par la valeur que nous venons de trouver; donc

A = «(l + rf^ [7].

Ainsi, en regardant les intérêts comme se composant de jour en jour aussi bien que d’année en année , la formule [5] est vraie aussi bien quand n est un nombre fractionnaire, que quand il représente un nombre entier.

Elle l’est encore, même lorsque n est, négatif; ear si On y change n en — », elle deviendra

A = fl(l +r)“* [8] :

or, lorsque n est une quantité positive, A représente ce -que la somme a, argent comptant aujourd'hui, vaudra dans n années; donc, lorsque n sera une quantité négative, A représentera ce que la somme «, argent comptant aujourd’hui, valait il y a n années i22); et, en effet, si l’on a placé Af, il y a n années au denier r, ■ cette somme doit valoir aujourd’hui , tant en principal qu’en intérêts, A (t-j-r)"; si donc a représente cette valeur, on aura

A(l+r)" = a, d’où A = «(1 -j-'T"-

Il suit de là que , si l’on veut trouver le capital que l’on doit placer aujourd’hui au denier r, pour avoir, au bout de n années, une certaine somme, tant en principal qu’en intérêts, il faut , dans la formule [8] , remplacer a par cette somme , et la valeur qui en résultera, pour A, sera la réponse à la question. Cela revient à tirer la valeur de a de la formule [5].

A\T>. Problème H, Une personne qui a besoin d'argent comptant , vend, pour s’en procurer , un contrat de 1200Of qui n’est payable que dans 7 ans et 158 jours. L'escompte est pris à raison de d pour 100 par on, et on demande combien elle recevra ?

DES LOGARITHMES

Si on veut faire usage de la formule [8] , on y remplacera a

,annn „ ^ . 158 „ 79 1 339

par 12000, r par 0,06 et « par 7 ^ = 7 = ce qui

donnera

ÜB 1 9000

A = 1 2000 ( 1 ,06)' ,so = \

d'où , en prenant les logarithmes des deux membres, «

log À = log 1 2000 -

X log 1,06.

On exécutera donc le calcul suivant

log 12000 = 4,079 1812,

iqoq

log 1,06 = 0,025 30587 ^X log 1,06 = 0,188 2476,

log A =*3,890 8336,

Si on veut faire usage de la formule [6], on y fera A= 12000, r = 0,06, n = 7, p= 158; ce qui donnera

.S(K»=,«(.,06fX?^5, d’ou « = , 720000

En effectuant ce calcul par logarithmes, on trouvera

log 720000 = 5,857 3325

7 X log 1,06 = 0,177 1411 j

log 6 1,58 = 1,789 4397

log a = 3,890 7517 0 = 7775,92’.

* Ce résultat élatil plus pelit que celui qui est fourni par la formule [7], il en résulte que la formule [C] donne pour A une valeur plus grande que celle-ci ; or, il est facile de démontrer qu’il en doit être ainsi. Si l’on divise, en effet , les seconds membres de ces deux formules par a (t+r)*, la question sera réduite S prouver que

Pour y parvenir, élevons ces deux quantités à la tfois-ceut-soixanlième puissance, elles deviendront respectivement

(' +mY 81 <•+*•

444. Problème 111. Au bout de combien de temps un capital prêté à 5 pour 100 par an sera-t-il doublé ?

En employant la formule [&] , on en tirera, après y avoir fait A = 2a et r = 0,05,

2= (l,05)n; d’où

)og2 0,8010300 ,

log 1,05 0,0211893

et on voit immédiatement que si on développe ces expressions par la formule du binôme de Newton, les deux premiers termes de l'une seront identiques avec les deux premiers termes de l’autre. Formons te terme qui, dans chacune, en a A avant lui; nous trouverons, pour la première,

3«0 (300 — I ) (360 — 2} .... { 300 — (Jfc — I) } /pr\*

et pour la seconde

En divisant ces deux expressions l'une par l’autre, il viendra

P(P — lp — (A — I)] ’ \3C0/ '

Or, au Heu de multiplier la première de ces deux fractions par la seconde, il reviendra au même de diviser les A facteurs du dénominaleur de celte première par p , et les A facteurs de son numérateur par 360, ce qui donnera

)('-éô

Or, p étant moindre que $60 , on voit que 1 -r- > i — - , de sorte que A

étant > t, chaque facteur du numérateur est plus grand que son correspondant dans le dénominateur. Par conséquent , à partir du troisième

terme inclusivement, tous les termes du développement de ^1 -F — ^ sont

plus grands que ceux qui occupent les mêmes rangs dans (1 -F r/. Donc

On voit par là que quand on emprunte à intérêts composés , la somme due est moins forte, s’il y a moins d’un an écoulé, qu'elle ne le serait dans le cas de l'Intérêt simple (faites n=0), tandis que le contraire a lieu , si le > débiteur garde ta somme plus d’un an. • ■ ;

DES LOGARITHMES

Ainsi un capital quelconque est doublé au bout de 1 4“,21 , c'està-dire eu moins de 14 ans et 76 jours. On pouvait prévoir que le nombre d'années demandé serait indépendant de la valeur du capital prêté, puisque les valeurs qu’acquièrent des capitaux différents, placés pendant le même temps, sont proportionnelles à celles de ces capitaux .

Si l'on veut faire usage de la formule [6], on trouvera, après

y avoir fait A = 2n et r = 0,05 ,

• équation qui renferme les deux inconnues n et p. Toutefois elle n’est pas indéterminée, attendu que le nombre entier n doit .* être tel que l’on ait .

log2

(1,05)* <2, d’où

log 1 ,05 ’ Iog2

« ( 1 ,05)-»' >5, d'ou • +1 > ■

Ainsi n est le plus grand nombre entier contenu dans la quantité Ce plus grand nombre entier étant 14, on le sub-

stituera à la place de n dans l’équation qu’il s'agit de résoudre, et il viendra ainsi

»=(i,w.(i+5iî);

d'où ✓

log 7200 -|-p) = log 2 + log 7200 — 1 4 log 1 ,05 log 2 = 0,301 0300

log 7200 = 3,857 3*25

4,158 3625 14 log 1,05 — 0,296 6502

log(7200-fp) = 3,861 7123 7200 +J> = 7273

Ainsi p'= 73; donc le capital sera doublé au bout de 14 ans et .73 jours.

Kl 1)E LE LUS APPLICATION*. 349

443. Oa voit, par ce résultat, avec quelle rapidité croit lit valeur d’un capital a mesure que le nombre des années pendant lesquelles il est placé devient plus considérable. Ainsi, en élevant à la dixième puissance les deux membres de l’équation

2 = (1,05)IMI, il vient 2'° ou 1024 = (1,05)'**'..

Un capital devient donc 1024 fois plus grand, au bout de 142 ans -environ, de sorte qu’en Angleterre, où la loi permet les substitutions, si une personne en mourant laissait 1 million, pour être remis à l’alné de ses arrière-petits-fils, l’héritage s’élèverait, au bout de 142 ans, à la somme énorme de 1 milliard 24 mil- lions. 11 faut remarquer toutefois qu’il n’eu serait pas tout à fait ainsi, dans la réalité, parce que l’abondance du numéraire’ et la difficulté de trouver l’emploi des sommes accumulées feraient baisser le taux de l’argent; de sorte que la progression suivrait bientôt une loi moins rapide.

446. Problème IV. Une personne achète une propriété af, urgent comptant. Elle possède deux contrats, l'un de bf, payable dans m années, et l'autre de cf, payable dans n années, et propose à un banquier de les lui escompter , moyennant un intérêt de r’ pour 1*, avec cette condition que, si la valeur actuelle des deux contrats n’est pas suffisante pour acquitter le prix de la propriété , le banquier lui prêtera , pour p années et au même taux, la somme qui lui sera nécessaire. Quelle sera, dans cette hypothèse, la valeur du billet à souscrire au profit du banquier t La somme ¥ payable dans m années vaut actuellement

k somme c<' payable dans n années, vaut de même

aujourd’hui - donc les deux contrats valent — — (1+rr • (1 + rr

4- ^ )>)»» argent comptant; donc si cette somme est supérieure à a, le banquier devra remettre au possesseur de cos conti-ats

350 ' OE8 LoOAHlTHMES

et si elle est moindre, il devra lui prêter . ~

a— ((T+Tr + ri-fr)-)’

mais, coinine il ne sera remboursé que dans p années, il faudra qu’on lui souscrive un billet de

payable sans intérêts, dans p années.

417. Pboblkmb V. Une personne place une somme a1 à intérêts composés, pour n années, et charpie année elle joint au capital de cette année une nouvelle somme bf, provenant de ses économies, laquelle doit rester entre les mains du débiteur aux mêmes conditions que la première et jusqu'au remboursement de celle-ci. On demande quel sera, à cette époque, le montant de toutes ces sommes accumulées avec leurs intérêts, le denier de l’intérêt étant r. *

Il est clair que le capital primitif a, ayant été placé pendant n années , vaudra alors

que la première somme b, étant restée (n — 1) années entre les mains de l'emprunteur, sera devenue ainsi

que la deuxième, la troisième, la quatrième,... la (n — l)m* somme b vaudront de môme , au bout de n années ,

•éd'+rr-», 6(l+r)*-\ ft(l+rr*,v. *(l'+r);

■ej, en ajoutant à toutes ces sommes l’économie b faite pendant la nmt année, on aura pour somme totale

ou , en mettant b en facteur commun ,

A==a(l-fr)«+fr|(l+rr>+(l-|-r)--*+„. + (i-(r)4.ij.

ET DE UiliHS APPLICATIONS.

Or, la quantité comprise dans les accolades est le quotient de (1 -f r)" — 1 par (1 -f-r) — 1 =r (78); donc

A = a (1 + f). + b = («r + »)(« + rf-b

Si l’on suppose 6 = a, il viendra

x=eU\+rr*-l\'

448. Problème VI. Une compagnie emprunte une sommez pour exécuter un canal, et elle s'engage à éteindre sa dette au moyen de n payements égaux effectués à la fin de chaque année, à partir de f époque de l’emprunt. Le denier de l’intérêt est r, et on demande quelle sera la quotité de chaque payement. • <

On a donné à chacun de ces payements le nom d’ annuité, de sorte que l’o» appelle ainsi la somme qu'il faut payer annuellement pour éteindre une dette en un certain nombre d'années. Cette dette se nomme le prix de l’annuité.

Il est clair que la quotité de l’annuité doit être telle que si la compagnie la déposait à la fin de chaque année chez nn banquier, qui en payerait l’intérêt au denier r, pour l’y laisser jusqu’à la fin des n années, la somme totale qu’elle en retirerait alors devrait être égale au montant de la dette, c’est-à-dire à a(l -fr)*. Représentons donc par x l’annuité. Si cette somme eût été portée chez le banquier, elle y serait restée (n — : I ) années, et serait ainsi devenue égale à donc en payant x( à ses

créanciers, à la fin de la première année, la compagnie a éteint une partie de sa dette marquée par

De même, en donnant x1 à la fin de la deuxième année, la compagnie éteindra une nouvelle partie de sa dette marquée par «(l-f-ry*-*,

et ainsi de suite. Enfin, les xr payés à la fin de la (n — l)m* année acquitteront une partie de la dette égale à