De la graduation de la Règle et de la Réglette, résulte

cette propriété fondamentale et. caractéristique de la Règle à calcul : - •. 1

Pour trouver le produit de deux nombres, il faut placer le chiffre 1 de la Réglette sous l'un des deux nombres lu sur la Règle. Le produit cherché correspond sur la Règle au second nombre lu sur la Réglette.

Il est çlair, en effet, que l’on détermine ainsi sur la Règle un nombre dont la distance au chiffre 1 de la Règle, c’est-à-dire le logarithme, est égal à la sommé des distances du premier

nombre au chiffre 1 de la Règle, et du second nombre au chiffre 1 de la Réglette, c’est-à-dire à la somme des logarithmes des deux nombres donnés. Ce nombre est donc leur produit.

Du cette propriété de la Règle à calcul, on peut déduire facilement toutes les autres, en se rappelant les principes qui président à la formation des logarithmes.

4o4. Nous ne reviendrons pas ici sur la manière d’opérer la multiplication et la division. Nous avons exposé dans ï Arithmétique la marche à suivre dans tous les cas, soit que l’on opère avec la Réglette droite, soit que l’on emploie la Réglette renversée. Nous nous sommes également occupés de l'clévation au carré et de l'extraction de la racine carrée au moyen de l’échelle des carrés tracée au bas de la Règle \ Nous observerons cependant que l’emploi des deux échelles des nombres tracées sur le haut de la Règle et sur la Réglette suffirait pour trouver' les carrés directement (puisqu’une élévation au carré revient à une multiplication dans le cas où les deux facteurs sont égaux), et, à la rigueur, les racines carrées avec un tâtonnement. 11 est clair, en effet, qu’il suffira de faire glisser la Réglette jusqu’à ce que le chiffre I de la Réglette et le nombre dont on demande la racine lu sur la Règle se trouvent à la fois l’un au-dessous, l’autre au-dessus d’un même nombre, qui sera précisément la racine cherchée; car la distance comptée sur la Règle entre le nombre trouvé et l’origine de la Règle, plus la distance égale comptée sur la Réglette entre ce même nombre et l’origine de la Réglette, c’est-à-dire le double du logarithme du nombre trouvé, reproduira la distance du nombre proposé à l’origine de la Règle, c’est-à-dire le lo-

* Celle échelle représente les logarithmes des carrés des nombres qui y sont inscrits; ses divisions sont donc doubles de celles de l'échelle des nombres tracée sur le haut de la Règle et sur la Réglette; en effet, le carré d'un nombre étant le produit de deux facteurs égaux h ce nombre , les

logarithmes des carrés sont les doubles des logarithmes des nombres. II en résulte qu’eu lisant les racines sur l’échelle des carrés, on trouve le» carrés sur l’écbeile des nombres et réciproquement.

356 ' <• DES logarithmes

garilhme de ce nombre ; donc le nombre trouvé sera la racine carrée du nombre proposé. Le tâtonnement sera amoindri en renversant la Réglette; on amènera le chiffre 1 de la Réglette sous le nombre dont on demande la racine lu sur la Règle (remarquons qu’en môme temps ce nombre lu sur la Réglette se trouvera au-dessous du chiffre l de la Règle), et on cherchera le point de coïncidence de deux divisions semblables de la Règle et de la Réglette.

458. Nous allons nous proposer actuellement diverses questions dont la solution serait impossible par une seule lecture en se bornant à l’emploi exclusif des échelles des nombres. Nous commencerons par l 'élévation au cube et l'extraction de la racine cubique.

488. Soit proposé d’abord de former le cube d’un nombre compris entre 1 et 10; son cube sera compris entre 1 et 1000. On obtiendra évidemment le cube cherché en multipliant le nombre donné par son carré, ce qui peut se faire de trois manières-différentes : .

1° Je fais glisser la Réglette vers la gauche de manière à amener au-dessus du chiffre 1 de l’échelle des carrés le nombre proposé lu sur l’échelle des nombres de la Réglette; le cube cherché se lira sur la Réglette au-dessus du nombre proposé lu sur l’échelle des carrés :

Réglette . a « ' x = al-

Échelle des carrés 1 a

En effet, la distance de x au chiffre 1 de la Réglette se trouve égale au logarithme de a (compté sur la Réglette), plus le double du logarithme de a (compté sur l’échelle des carrés c’est-à-dire à trois fois le logarithme de a ; donc x est la troisième puissance ou le cube de a.

2° Je fais glisser la Réglette vers la droite de manière à amener le chiffre 1 de son échelle au-dessus du nombre proposé lu sur l’échelle des carrés ; le cube cherché se lira sur

. / . ET t>K LEURS APPLICATIONS. 357

l’échelle supérieure de la Régie au-dessus du nombre proposé la sur la Réglette. • .

Règle (Échelle supérieure) x = a*

Réglette » 1 a

Échelle des carrés a

3° Je renverse la Réglette, et je place le nombre proposé lu sur l'échelle de la Réglette au-dessus de ce même nombre lu sur l’échelle des carrés; le cube cherché se lira sur l’échelle supérieure de la Règle au-dessus du chiffre 1 de la Réglette.

Règle (Échelle supérieure) x = a’

Réglette renversée a 1

Échelle des carrés a

457. La dernière manière d’opérer est la plus commode. On se rappellera qu’en opérant avec la moitié de droite de la Réglette renversée, 1° les cubes d’un seul chiffre correspondent à l’index 1 de la Réglette et se lisent sur la moitié de gauche de l’échelle supérieure de la Règle; 2° les cubes de deux chiffres correspondent au môme index et se lisent sur la moitié de * droite de l’échelle supérieure de la Règle ; 3° les cubes de trois chiffres correspondent au chiffre 10 de la Réglette et se lisent sur la moitié de droite de l’échelle supérieure , considérée dans ce cas comme renfermant tous les nombres de

4o8. Supposons maintenant qu’il s’agisse d’élever au cube un nombre quelconque. On ramènera ce cas au précédent', en rendant le nombre proposé > 1 et < 10 , ce qui se fera en le multipliant ou en le divisant par 10, 100, 1000, etc.; puis après avoir cherché le cube du nombre ainsi préparé, on divisera ou l’on multipliera le résultat trouvé par le cube de 10, ou par le cube de 100, ou par le- cube de 1000, suivant que l’on aura multiplié ou divisé le nomhre proposé par 10, 100, 1000, etc. Ainsi, soit 0,09538 à élever au cube je multiplie

• 358 , DES LOGARITHMES

par 100, et je cherche le cube de 9,54 (486, 3°) :

Bègle (Échelle supérieure) x = 868

Réglette renversée 5-» 10 9,54 ' •

/ ' Échelle des carrés • 9,54

Divisant le résultat trouvé 868 par 100*= 1000000, il vient 0,000868 pour le cube cherché.

480. Occupons-nous actuellement de l’extraction de la racine cubique, et supposons d’abord que le nombre donné soit Compris entre 1 et 1000. Comme pour l’élévation au cube, il y a trois manières d’opérer. Nous ne nous occuperons que de la troisième, qui est seule d’une application facile. Elle consiste à amener le chiffre 1 de la Réglette renverséo sous le nombre proposé lu sur l’échelle supérieure de la Règle; la raciue cherchée correspond au point où la graduation de la Réglette et la graduation de l’échelle des carrés donnent le môme nombre.

Règle (Échelle supérieure) a

Réglette renversée . x = y a « 1

Échelle des carrés x = y a