On aura d’ailleurs égard aux observations suivantes

1* Si le nombre donné est < 10 , on le lira sur la moitié de gauche de l’échelle supérieure.

2- S’il est compris entre 10 et 100, on le lira sur la moitié de droite de l’échelle supérieure , et sa racine se lit en employant comme index le chiffre 1 de la Réglette renversée.

3° S’il est compris entre 100 et 1000 , on le lit encore sur la moitié de droite de l'échelle supérieure; mais la leçture de la racine se fait en employant l’index 10. .

4“ La coïncidence d’où résulte la détermination de la racine « cubique doit toujours avoir lieu sur la partie de la Réglette qui porte les divisions de 1 à 10. -

401. Si l’on demande maintenant la racine cubique d’un nombre quelconque , on commencera par rendre ce nombre

> 1 et <1000, en le multipliant ou en le divisant pur 1000, ^

ou par 1000000, ou par 1000000000, etc.; on cherchera la racine cubique du nombre ainsi préparé , laquelle se trouvera nécessairement comprise entre 1 et 10, puis on la divisera ou on la multipliera par 10 ou par 100, ou par 1000, etc., suivant que l’on avait multiplié ou divisé le nombre donné par 10*, ou \ par 100*, ou par 1000J, etc. Ainsi, si l’on demande la racine cubique de 0,27, on multipliera ce nombre par 10*= 1000, ce qui donne 270, dont je cherche la racine cubique (4G0, 3°).

Règle (Echelle supérieure) 270

Réglette renversée *-> 10 #=6,46

Échelle des carrés ; x =6,46

Divisant le résultat trouvé 6,46 par 10, il viendra 0,646 pour la racine cubique cherchée. •

1G2. La Règle à calcul est d'un usage, extrêmement facile pour calculer le quatrième terme d’une proportion dont on connaît les trois autres termes, pour trouver une moyenne proportionnelle entre deux nombres donnés, etc. Nous allons résoudre ces deux questions. . »

463. Calculer le quatrième terme d'une proportion. Cette question revient à trouver le quotient d’un produit de deux facteurs par un troisième nombre, et peut se résoudre de

bc

différentes manières. Soit a ; b :: c ; x, d'où # = — .

1* J’amène le diviseur (extrême connu) lu sur la Réglette

sous l'un des facteurs (moyens) lu sur la Règle; le quotient cherché se lit sur la Règle au-dessus du second facteur lu sur la Réglette.

Règle b x = ~

Réglette a *-> c

Il est évident, en effet, que l’on a : log x "sur la Règle)

= log b ( sur la Règle) [log c — log a ] (sur la Réglette )-

• DES LOGARITHMES

(On remarquera que les deux rapports égaux - = - se trouvent figurés aux yeux sur l’instrument.)

2° Ayant renversé la Réglette, j’amène l'un des moyens lu sur la Réglette sous l’autre moyen lu sur la Règle ; le quotient cherché se lit sur la Règle au-dessus de l’extrême connu lu sur la Réglette.

Règle b - ' x— , .

Réglette c « a

On peut toujours faire en sorte que le terme inconnu soit le 4e de la proportion, et que tous ses termes Rient au moins un chiffre entier; ce résultat s’obtiendra par un simple changement de place, et par une multiplication de tous les termes par 10, ou par 100, ou par 1000, etc.

Ceci posé , on déterminera d’avance le nom6re des chiffres de la partie entière du résultat au moyen de la règle suivante :

Lorsque le diviseur [ou premier terme) , et l’un des facteurs (ou moyens), comptés sur la même moitié de la Réglette, correspondent à une même moitié de la Règle, le nombre des chiffres entiers du terme inconnu s'obtient en retranchant le nombre des chiffres du diviseur (ou extrême connu) du nombre des chiffres que possèdent à la fois les deux facteurs ( moyens )K

Le terme inconnu a un chiffre de plus à la partie entière , lorsque l'index de la Réglette et le diviseur, pris sur la même moitié de la Réglette , correspondent seuls à une même moitié de la Règle ou de son prolongement.

Le terme inconnu a un chiffre de moins à la partie entière, lorsque l'index et l’un des deux facteurs pris sur la même moitié de la Réglette correspondent seuls à une même moitié de la Règle ou de son prolongement.

Lorsqu’on trouve un reste nul , il n'y a pas de partie entière, et le premier chiffre significatif du terme inconnu est de l’ordre des dixièmes;. s’il s’en faut d’une, de deux, de trois unités, que la soustraction ne puisse se faire, il faudra écrire

un , deux , trois zéros entre la virgule et le premier chiffre si- ' gnificatif qui sera alors au rang des centièmes, des millièmes, des dix-millièmes , etc.

Exemple. Calculer le quatrième terme de la proportion 0,9 : 0,4 :: x : 4,8. Je permute chaque antécédent avec son conséquent, et je multiplie tous les termes par 10. La proportion devient 4 : 9 :: 48 : x' = 10a\

Règle 9 x'= 108 • •

• Réglette 4 » 48

L’index et le diviseur 4 pris sur la première moitié de la Ré- • glette correspondent seuls à la première moitié de la Règle; le nombre total des chiffres entiers des moyens est 3 ; celui des chiffres de l’extrême connu est 1 ; le nombre des chiffres entiers du terme inconnu est donc 3 — 1 + 1=3; donc x'= 108, et par suite x = 10,8. '*

-404. Calculer une moyenne proportionnelle entre deux nombres donnés. Cette question revient à l’extraction de la racine carrée d’un produit de deux facteurs; elle se résout des deux manières suivantes :

1° Oh amène le chiffre 1 de la Réglette sous le premier facteur lu sur l’échelle supérieure de la Règle; la moyenne proportionnelle cherchée se lira sur l’échelle des carrés au-dessous du second facteur lu sur la Réglette.

Règle (Échelle supérieure) a .

-Réglette 1 b - ;

*. Échelle des carrés x = ^ab

2° On amène l’un des facteurs lu sur la Réglette renversée au-dessous de l’autre facteur lu sur l’échelle supérieure do, la Règle, et la moyenne proportionnelle cherchée se lit sur l’échelle des carrés au dessous de l'index de la Réglette.

Règle (Échello supériéure) . 10 a •

Réglette renversée ^ 10 b 1

Échelle des carrés x=^a b

DES LOGARITHMES

En effet , d’une part la distance du nombre « à l’origine de l'échelle supérieure est égale à la distance du chiffre 10 de . cette échelle à l'origine plus la distancedu nombre a à ce même chiffre tO, c’est-à-dire égale à 1-f-Ioga; d’autre part la distance de l’index 10 de la Réglette au nombre b est égale à la distance de cet index à l’origine de la Réglette moins la distance du nombre b à cette môme origine, c’est-à-dire à 1 — logé; et la distance du nombre trouvé x à l’origine de l’échelle des carrés, c’est-à-dire 2 logj-, est égale à la différence de ces deux distances; donc 21og.r = 1 -f-logo — (I — logé} = logo -j-logé ; donc x = \fab-

46ü. La Règle à calcul peut servir à résoudre des questions moins simples, par exemple à trouver le quatrième terme d’une proportion dont les autres termes seraient des carrés, ou des radicaux, etc. Nous ne nous y arrêterons pas; mais nous croyons utile de donner un tableau de toutes les opérations que l'on peut effectuer au moyen de la Règle, avec l’indication succincte de la manière d'opérer. Nous empruntons ce tableau à Instruction sur les Règles à calcul de M. L. Lalanne*, dans ■laquelle nous avons puisé déjà une graude partie de ce qui précède. x désigne la quantité inconnue qu’il s’agit de calculer, et y une quantité variable à laquelle on donne une suite de valeurs déterminées. Toutes les formules qui donnent l’expression de y au moyen de x sont des formules indirectes, déduites de formules directes dans lesquelles la variable x était exprimée au moyen de y.

* Instruction sur les Règlesà calcul , et particulièrement sur la nouvelle Règle A enveloppe de verre, par Léon lalanne, ingénieur en chef des ponts et chaussées. Celle Instruction se trouve chez MM. Hachette et avec la nouvelle Règle à enveloppe de verre.