Problèmb III. Transformer une équation

xm-{- Kxn~l -|- Bxm~’ -f- ... -f- Tx-J- U = 0,

qui a des coefficients fractionnaires , en une autre dont tous les coefficients soient entiers, celui du premier terme étant encore l'unité.

On conçoit que si , dans l’équation

y“ -}. AAy— ‘ + BAy-' + . . . -f TA—' y -f UA" = 0,

que nous venons d’obtenir, on fait A égal au plus simple multiple des dénominateurs des coefficients A, B, C,... U, la transformée n’aura pour coefficients que des quantités entières.

Observons toutefois que l’on pourra souvent donner à A une valeur plus simple que celle que nous venons d’indiquer. Comme il suffit, en effet, que A, A1, A3,... A™ renferment respectivement

464 1>B LA TRANSFORMATION DBS BUUaTIONS.

les facteurs premiers des dénominateurs de A, B, C,. .. U, à des puissances au moins égales à celles où ils se trouvent dans ces dénominateurs, on devra poser k égal au produit des fadeurs premiers différents des dénominateurs de A , B, C,... U, et, en comparant les diverses puissances de cette valeur de k à ces dénominateurs, on verra si elle suffit pour rendre entiers tous les termes de la transformée, ou quel exposant il faut donner à chacun de ces facteurs premiers, pour que les diverses puissances * de k soient divisibles par les dénominateurs correspondants. • Soit , par exemple , l’équation

; *-|*+-£*+5sb0-

La transformée sera

or, 72=2S.3*, 48=2‘.3;je vois donc que si l'on posait A=2. 3, A* et A* ne seraient pas divisibles par 72 et par 48, puisqu’il n’y aurait que deux facteurs 2 dans A*, et trois dans A*. Mais si je fais A=2*.3, tous les coefficients deviendront entiers, et l’équation demandée sera ainsi

»/ — 18y* + lOy rf 252 = 0.

On verra plus tard combien il est important de ohoisir pour A le plus petit nombre possible.

888. Problème IV. Former une équation dont les racines soient une certaine puissance de celles d'une équation donnée.

Soient <f(x) = 0 l’équation proposée et y — x* celle qui doit lier ses racines avec celles de l’équation demandée ; on tirera de cette dernière xr — y’ =0, et il n’y aura qu’à éliminer x entre cette équation et »(x) = 0 pour résoudre le problème.

Sip n’est pas plus grand que 3, on tirera de l'équation x " — y*=0,

x—y*, et, en substituant cette valeur de x. dans la proposée, on

trouvera l'équation irrationnelle )= Oj mais il sera facile

d’en faire évanouir les radicaux qu’elle renfermera (870).

DK LA TRANSFORMAI ION DBS ÉQUATIONS. ' 465

880. Problèmb V. Diminuer de h toutes les racines d’une équation donnée ^(x) — 0.

Eu représentant par y l’inconnue de l'équation demandée, un devra avoir y=x — A, d’où *==y-|- A; de sorte que l’équation cherchée sera <p(y + A) = 0, ou, en développant d’après le théorème de Taylor (482).

»(*)+t'(*)y+YjV+-+ï^^jjr=b [2].

Veut-on , par exemple , diminuer de deux unités chacune des racines de l’équation

?(x) = xJ— 6a'-f7x-f 3 = 0 :

on formera les dérivées successives de son premier membre , ce qui donnera

on fera dans le premier membre de la proposée et dans ses dérivées x =2, et on trouvera

t(2)=l, ?'(2)=— 5, fl| = 0,

par conséquent l’équation demandée est

887. Problèmb VI. Faire évanouir un terme de rang déterminé dans une équation donnée »(*) = 0.

Si on pose*=y-j-A, y étant une nouvelle inconnue et Aune indéterminée, on obtiendra l’équation [2], ou, en renversant l’ordre de ses termes ,