CHAPITRE XVII
DE LA TttANSFORMATION DES EQUATIONS.
381. L’objet principal de la transformation proprement dite des équations est de déduire d'une équation donnée une deuxième équation dont les racines soient liées avec les siennes par une relation donnée. Il y a deux cas principaux à examiner, selon que chaque racine de l’équation demandée dépend d’une seule racine de l’équation proposée ou de plusieurs racinesde cette équation.
882. 1" Cas. Problème I. Trouver une équation dont les racines soient liées avec celles de l'équation ç(x) = 0, par la relation (x , y) = 0.
Il est évident que si on élimine x entre les équations ^>(x)=0 et y) — 0, l’équation finale F (>/) = 0 que l’on obtiendra,
aura pour racines toutes les valeurs de ij qui , conjointement avec certaines valeurs de x, peuvent vérifier les équations proposées ; mais ces valeurs de x sont nécessairement toutes les racines de tp(a?) = 0 ; donc l’équation F (y) = 0 résout le problème.
Si l’équation , y) = 0 est du premier degré, par rapport hx, l’élimination de cette variable se fera par substitution; sinon on aura recours à la méthode d’élimination que nous avons exposée dans le chapitre précédent.
Nous allons appliquer ce que nous venons de dire à la résolution de quelques problèmes qui nous seront utiles dans la suite.
883. Problème II. Trouver une équation dont les racines soient les produits de celles d’une équation donnée par un facteur connu k.
Soient
l’équati m proposée , y une quelconque des racines de l’équa-
tion demandée : on aura entre les racines de ces deux équations la relation
y = kx, d’où x = j ,
de sorte que l’équation cherchée sera
ou , en chassant les dénominateurs ,
y* -)- AA ym-' -j- BA’y"-’-!- ... -}- TA*-' y -f- U A" = 0.
La forme de cette équation est très-facile à retenir, car elle est homogène par rapport à y et à A, c’est-à-dire que la somme des exposants de y et de k, dans chacun de ses termes, est égale à m.
On peut vérifier très-simplement que les racines de l’équation 9 = 0 sont A fois plus grandes que celles de la pro-
posée ip(x) = 0. En effet, si a est une racine de cette dernière, on aura l'identité <p(«) = Q ; mais le premier membre de la transformée se réduit précisément à ?(a), quand on y remplace y par Ai ; donc A« est une racine de cette transformée.
