Ainsi pour faire évanouir le deuxième terme , on po

» • • sera — („/ i) = 0’ oû> ce <îui revient au même, en sup-

posant que ÿ(x) = 0 représente l’équation [1],

mA + A = 0*, d’où A= — -,

de sorte que la valeur de x devient ainsi x = y -j- »

c’est-à-dire que pour faire évanouir le deuxième terme d’une équation, il faut y remplacer x par une nouvelle inconnue augmentée du quotient obtenu en divisant le coefficient du deuxième terme, pris en signe contraire, par l'exposant du premier terme.

C’est ce que l’on pouvait découvrir a priori et d’une manière très-simple. En effet, si l’on forme une équation dont les racines soient égales à celles delà proposée diminuées, chacune, de la mm • partie de leur somme (m étant l’exposant du degré de cette proposée), c’est-à-dire de la *»“• partie du coefficient A

* On voit facilement que

f’(x) = mi—1 -f- (m— 1 jAa— » + ....

— m (m lViw— 7) , fo-iKm-i);m-3)

et, par induction, que

?—’(*) tn(m— 2)...(m— m+2)

+ r.r.>m-ij A = nw + À.

du deuxième terme, pris en signe contraire , il est clair que la somme des racines de cette nouvelle équation sera nulle, et que par conséquent elle n’aura pas de deuxième terme (828). On posera donc y — x — ^ ^ , d'où x = y -f- > ce qui nous

ramène à la règle précédente.

880. L’évanouissement des termes autres que le deuxième dépeudra de la résolution d'équations d'un degré supérieur au premier, et ainsi ne pourra pas toujours s'effectuer, si l'on ne veut admettre que des valeurs réelles de h. Cependant on pourra faire disparaître un terme quelconque de rang pair , car son coefficient est de degré impair par rapport à h, et nous savons que toute équation de degré impair a au moins une racine réelle (846). . ‘

Quant au dernier terme, on ne peut jainais le faire disparaître, car ce dernier terme étant ç(A) , la détermination de la valeur de h dépendrait de la résolution de l’équation <p(A) = 0, c’est-à-dire de la résolution même de l’équation proposée.

C’est, au reste, ce que l’on pouvait prévoir; car, pour que le dernier terme de la transformée soit nul, il faut que l’une de ses racines soit zéro; mais comme elles sont égales à celles de la proposée diminuées de h, il faudra que h soit égale à l’une quelconque de ces racines, de sorte que l’équation qui déterminera h ne devant pas donner une des racines de cette proposée plutôt qu’une autre, elle devra les donner toutes, et sera par conséquent identique avec la proposée.

Ainsi, l’évanouissement du dernier terme d’une équation ne peut pas conduire à la résolution de cette équation, quoiqu'il permette d’en abaisser le degré.

890. Si l’on voulait faire évanouir deux termes d’une équation , il faudrait égaler à zéro les coefficients des termes correspondants dans l’équation |3] ; mais on aurait ainsi deux équations entre la seule inconnue A, et elles seraient par conséquent incompatibles , à moins qu’il n’existàt une relation convenable entre certains coefficients de l’équation proposée.

Si , par exemple, on voulait faire disparaître les termes où y entre à la puissance n et à la puissance p, il faudrait poser

ip*(A) = 0 et <j>p(à) = 0.

Or, pour que ces deux équations soient vérifiées par une même valeur de A, il faut et il suffit que leurs premiers membres aient un facteur commun ; on cherchera donc leur plus grand commun diviseur, et on poursuivra le calcul jusqu’à ce qu’on soit parvenu à un reste indépendant de A; on égalera ce reste à zéro, et on obtiendra ainsi la relation nécessaire et suffisante qui doit exister entre les coefficients de l’équation [1] pour que l’on puisse faire évanouir en même temps les termes où x entre à la puissance n et à la puissance p.

891. On pourrait croire qu’en faisant disparaître d'une équation successivement son deuxième, son troisième, son quatrième,. . terme, on pourrait la ramener à une équation binôme, mais ce serait une erreur, parce qu'en voulant faire évanouir le troisième terme, on ferait reparaître le deuxième. Considérons, en effet, l'équation

x" -f- Bx"~’ -}- Cx’*-’ -f- . .. -f- U = 0

qui manque de deuxième terme, et changeons-y ienz-(-A; il viendra, en ordonnant suivant les puissances décroissantes dex (on développera pour cela (x-|- A)", (x-f- Aj"-1,... par la formule du binôme de Neivton),

x" + mAx— 1 -f p" 11 A* -|- B] x"-*-|- etc. = 0.

Or la valeur de A qui fera disparaître le troisième terme sera différente de zéro, de sorte que la puissance (m — l)m* de x se trouvera dans l’équation résultante.

892. On ne parviendrait pas non plus à faire évanouir deux termes en posant x=y-|-A-|-A', A et A' étant deux indéterminées, parce que les coefficients des diverses puissances de y dans la transformée seraient composés en (A-j-A') comme ceux

de lequation [3]fe sont en A, de sorte que les équations formées en égalant deux coefficients à zéro ne renfermeraient encore

qu’une seule inconnue représentée par (A-}- A'), au l>eu de l’être par A. Ou ne peut donc pas déterminer séparément A et A' et faire ainsi évanouir deux termes.

Si l’on posait x—ky-\-h, h et A étant deux indéterminées, pourrait-on faire évanouir deux termes? Non, car cela reviendrait à faire d’abord x=s-\-h, et à poser ensuite z = ky : or, par la première transformation, on pourrait faire disparaître un terme, mais la deuxième ne saurait en faire évanouir aucun.

Un géomètre russe, nommé Tschimaüss , avait eu l’idée de poser ar* -f- hx -f- A = y, et de cette manière il était parvenu à faire évanouir deux termes dans les équations du troisième et du quatrième degré, ce qui lui avait permis de ramener la première à une équation binôme et la deuxième à une équation bicarrée. Mais, en appliquant celte méthode à l’équation du cinquième degré, il a trouvé que les équations desquelles dépend la détermination de A et de k sont d’un degré plus élevé que celle que l’on veut résoudre.

595. 2* Cas. Nous allons examiner le cas où chaque racine de l’équation cherchée est liée avec plusieurs racines de la proposée. Mais, dans la multitude des questions où cela peut avoir lieu, nous ne considérerons que les suivantes, qui sont en effet les plus remarquables.

594. Problème VII. Former une équation qui ait pour racines toutes les différences qui existent entre chaque racine d'une équation donnée ®(x)=0 et toutes les autres; c'est ce qu'on appelle l’équation aux différences des racines de ?{x)=0.

Soient x' et x" deux racines quelconques de l’équation proposée, y une quelconque des racines de l’équation aux diffé-* renccs demandée ; on aura

avec les deux équations de condition

®{x,) = 0 [5] et f(a*) = 0 [6], .

pour exprimer que x' et x" sont deux racines de la proposée. Or, si on élimine ces quantités x' et x" entre ces trois équations, on obtiendra une équation iinale F(y) = 0, qui aura pour racines toutes les valeurs de y qui, conjointement avec certaines valeurs de x‘ et de x!', peuvent satisfaire aux équations [4], f5] et [6], mais ces valeurs de x! et de x" ne peuvent être que des racines de l’équation <p{x)=0 ; donc l’équation F(y)=0 aura pour racines toutes les différences que l'on peut obtenir, en combinant deux à deux , par voie de soustraction, toutes les racines de la proposée ; et comme rien n’exprime que x" soit différente de x', parmi ces différences se trouveront toutes celles qui existent entre chaque racine et elle-même, de sorte que l’équation Fiy) = 0 aura m racines nulles qui seront des solutions étrangères à la question. Il faudra donc, pour avoir l'équation cherchée , diviser F(y) par y" et égaler à zéro le quotient de cette division.

Pour éliminer x' et x" entre lés équations [4] , [5] et [fl] , je substitue d'abord dons la deuxième la valeur de x' tirée de la première, ce qui donne <p(x"+y)=0, de sorte qu’il s’agit actuellement d’éliminer x" entre

?(x" + y)=0 [7] et ?(x")=0 [6].

Mais j’observe que l’on peut, au système de ces deux équations, substituer le système formé de la deuxième et de l’équation obtenue en les retranchant membre à membre, c’est-à-dire de l’équation

Or, cette dernière étant satisfaite par y= 0, son premier membre est divisible par y, et il en résulte que le système des équations [6] et [7] se décompose dans les deux systèmes suivants (857) :

et

de sorte que, si l’on représente par /[y)= 0 l’équation finale du

DB LA TRANSFORMATION DBS ÉQOATIONS. ' 471

deuxième système, comme celle du premier est ym— 0(359), on aura

F(y) = y"./ïy) = 0; donc /ty) = 0

es't l’équation aux différences.

Mais il est évident qu’éliminer af entre les deux équations qui forment le système [8] revient à éliminer x entre les équations

et