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Donc pour former l’équation aux différences des racines d’uns équation donnée , il faut changer dans cette équation x en x-f-y, développer le résultat suivant les puissances ascendantes de y, d’après le théorème de Tatlor, supprimer le premier terme , puis diviser le reste par y et éliminer enfin x entre l’équation résultante et la proposée.

Cette équation aux difiérences doit avoir évidemment autant de racines que l’on peut former d'arrangements deux à deux avec m lettres ; donc elle sera du degré m{m — 1). Si de plus on observe que ces racines sont deux à deux égales et de signes contraires, car deux racines x' et x" de la proposée produisent les différences x' — x" et x" — x', on verra qu’elle ne devra pas changer, lorsqu’on y remplacera y par — y, et qu’en conséquence elle ne pourra renfermer que des termes de degré pair. Si donc on pose m[m — 1) = 2 n, l’équation aux différences sera de la forme.

Remarquons qu’il n’y a pas des équations aux différences de

tous les degrés ; car de /«(i» — l)=2n, on tire m--

l-fv/ÏT8«

et comme m doit être un nombre entier, il faut et il suffit que 1 -f 8n soit un carré parfait. Ainsi n ne saurait être égal, ni à 2, ni à 4, ni à 5, etc.

L’équation [9] sc ramène à une autre de degré sous-double,

. en posant y* = z , ce qui donne

Cette équation se nomme i.’équation aux carrés des différences des racines de la proposée , parce que l’équation y*= s exprime que les racines de l’équation [10] sont les carrés de celles de l’équation [9].

iîOtf. Cette équation aux carrés des différences des racines de. l'équation f(x)=0 fournit, sur la nature des racines de celle-ci, des indications qui étaient fort importantes avant que M. Sturm eût publié le beau théorème que nous ferons connaître plus tard. En effet, si l’équation tp(x)=0 a toutes ses racines réelles, les carrés de leurs différences prises deux à deux seront réels et positifs, et par conséquent l'équation en z sera complète et n’aura que des variations (33 1 ). Réciproquement, si l’équation [10] est complète et n’a que des variations, la proposée aura toutes ses racines réelles. Supposons, en effet, qu’il n’en soit pas ainsi ; cette proposée aura donc au moins deux racines imaginaires de la forme a-f-Py/ — 1 et « — Py' — 1 * leur différence est 2p^ — 1, et le carré de cette différence est égal à — 4p*; d’où l’on voit que, si l'équation cp(x)=0 avait un couple de racines imaginaires, l’équation aux carrés des différences de ses racines aurait une racine réelle négative, ce qui ne se peut, puisqu’elle est complète et n’a que des variations (3354, l°). Donc, pour qu’une équation ait toutes ses racines réelles , il faut et il suffit que l’équation aux carrés des différences de ses racines soit complète et n’ait que des variations.

Il suit de là que l’on obtiendra les relations qui doivent exister entre les coefficients indéterminés d'une équation, pour que toutes ses racines soient réelles, en écrivant que lescoefficientsde l'équation aux carrés des différences de ses racines sont

alternativement positifs et négatifs. On trouvera ainsi

conditions, mais il pourra se faire que plusieurs d'entre elles

DK LA TRANSFORMATION DIS ÉQUATIONS. • 473 rentrent les unes dans les autres, ainsi que nous en donnerons • un exemple tout à l’heure (598).

596. Lorsque l’équation aux carrés des différences n’a que des permanences, la proposée n'a que des racines imaginaires si elle est de degré pair, et elle a une seule racine réelle si elle est de degré impair; car, si cette proposée avait deux racines réelles, l’équation [10] admettrait une racine réelle positive, ce qui ne peut pas s’accorder avec notre hypothèse (552, 2°).

Donc, en écrivant que tous les coefficients de l’équation [10] sont positifs, on aura des conditions suffisantes , pour que la proposée ait toutes ses racines imaginaires, si elle est de degré pair, ou pour qu’elle n’ait qu’une seule racine réelle, si l’exposant de son degré est impair.

597. Si l’équation aux carrés des différences n'est pas complète , ou si elle a des permanences et des variations, on en conclut immédiatement quelle a des racines imaginaires, mais on ne peut rien dire de précis sur leur nombre. Il résulte seulement de la règle des signes de Descartes que la proposée n’a pas plus de couples de racines imaginaires qu'il n’y a de variations dans la transformée en — z de l'équation aux carrés des différences : car, si elle en avait davantage, comme à chacun de ces couples correspond une racine réelle négative de l’équation en s, il s’ensuivrait que cette équation [10] aurait plus de racines négatives qu’il n’y a de variations dans sa transformée en — z, ce qui ne se peut (533).

598. Exemple. Former réquation aux carrés des différences des racines de l'équation <f(\) = x*-f- px -]- q = 0 et trouver ensuite les relations qui doivent exister entre ses coefficients pour que ses trois racines soient réelles. Nous ferons les calculs suivants ;

?(* + !/) 3xl|p|3cry|y»—fl.

Ainsi il faut éliminer x entre cette dernière équation et la proposée.

3 +pz +q

3x-f(3y5 + 3py— 9q)

* +3 px +3q

S-r'-Hyx-fy’

ïy’li+y1

— 3ÿf’— ÿ’ii '

+2p 1 + py