Exemple. Résoudre l'équation

tp(x)=x,# — 2./’ — 4x*+6x'+3j'— 8vC5+3x*+6xs — ix' — 2x+l=0.

La substitution de -f- 1 et de — 1 dans cette équation montre que ces nombres la vérifient. Pour connaître le degré de multiplicité de ces deux racines, je forme les dérivées successives du premier membre de la proposée , et je trouve

= 4 Si*- 7îi’-ll2i*+128iH-45j:<— 80ïj+I8j’+I8i— 4;

= 120i’ — 168i*— 224x*+2 1 Oi'+GOi3— 80i’+ 1 2i+8 j

-T*?-: = 2I0i* — 2521* — 280i‘+210i3+4 5xl — 4 Oi + 3 ;

Ainsi il y a deux racines égales à +1 et quatre égales à — 1 . En conséquence, je divise le premier membre de la proposée par (x — lj^x-j-l)*=®*-|-2x* — x * — 4z* — x*-|-2x+l , et en égalant à zéro le quotient de cette division, je forme l’équation

d’où je tire successivement

if + ÿ ~ 4 (* + î) + 5 =0’

621. 2* Cas, L'équation est de degré pair, et les coefficients des termes équidistants des extrêmes sont égaux et de signes contraires , mais le terme du milieu manque.

496 DSS ÉQUATIONS SUSCEPTIBLES D’aBAISSEMBNT.

Si l’on fait x=\ dans cette équation , il est clair quelle sera vérifiée , puisque tous ses ternies se réduiront à leurs coefficients. Elle le sera encore par x = — 1 ; en effet, deux termes équidistants des extrêmes sont tous deux de degré pair, ou tous deux de degré impair; de sorte que, quand on y fera x— — 1, ils se réduiront à leurs coefficients pris avec leurs signes ou avec des signes contraires; mais ces coefficients ont des signes differents, donc nos deux termes s’entre-détruiront; donc x= — 1 est une racine de la proposée , et par conséquent le premier membre de cette équation est divisible par (x* — l). On effectuera la division de ce premier membre par (x’— 1), et, en égalant le quotient à zéro, on formera une équation qui aura pour racines toutes celles de la proposée, sauf les deux racines -f- 1 et —1. Cette équation sera donc réciproque; elle sera dedegré pair, et son dernier terme, qui est le quotient du dernier terme — 1 de la proposée par le dernier terme — 1 du diviseur (58)sera -j-1 ; donc elle sera de la forme de l’équation [1] et se résoudra en conséquence de la même manière. Sa résolution se ramènera

ainsi à celle d’une équation du degré 2m 2 = m — 1.

022. 3* Cas. L'équation est de degré impair et les coefficients des termes équidistants des extrêmes sont égaux et de mêmes

signes.

On verra facilement que — 1 est racine de cette équation , car deux termes équidistants des extrêmes sont l’un de degré pair et l'autre de degré impair ; de sorte que pour x= — 1, l’un de ces termes se réduira à son coefficient , et l’autre à son coefficient changé de signe. Donc ces deux termes s’entre-détruiront. On divisera donc le premier membre de l’équation proposée par (x-|-l), et en égalant le quotient à zéro, on formera une équation réciproque, de degré pair, et dont le dernier terme sera i|=-j-l ; donc elle sera de la forme [1]. Si (2m -f- 1) est l’exposant du degré de l’équation proposée, sa résolution dépendra de celle d’une équation du degré — — m.

DES ÉQUATIONS SUSCEPTIBLES u’ ABAISSEMENT. 497

G25. 4* Cas. L'équation est de degré impair et les coefficients des termes équidistants des extrêmes sont égaux et de signes contraires.

On verra facilement que -}- 1 est racine de cette équation, et qu'en divisant son premier membre par [x — t) , on retombera sur une équation de la forme [l].v

§ II. DE QUELQUES PROBLÈMES QUI CONDUISENT A DES ÉQUATIONS SUSCEPTIBLES D’ABAISSEMENT.

6M4. Problème I. Etant données deux équations 9(*) = 0 .

et — 0, trouver les relations qui doivent exister entre leurs coefficients indéterminés, pour quelles aient n racines communes ; puis en supposant ces conditions remplies, calculer ces

racines.

Si les deux équations <rfx)=0 et ^.r)=0 ont n racines communes, le premier membre de chacune sera divisible par le produit des facteurs- du premier degré correspondants à ces racines ; de sorte que ces premiers membres devront avoir un plus grand commun diviseur du «'"• degré. En conséquence, on cherchera ce plus grand commun diviseur, et on s’arrêtera à un reste du degré (n — 1). Ce reste, qui sera de la forme

A^f—' + Atxn-' -f A**—» + ... -f A„ ,

devra être nul , indépendamment d'aucune valeur particulière donnée à x : donc il f^pdra que les coefficients des diverses puissances de x soient nuis (5S0*), ce qui donnera les n équations de condition -

A, = 0, A, = 0 , Aj = 0, ... A. = 0,

auxquelles devront satisfaire les coefficients indéterminés des équations proposées, pour qu’elles aient n racines communes.

Le problème sera donc déterminé , indéterminé ou impossible, suivant que le nombre de ces coefficients sera égal à »,>» ou <»• '

Si l’on suppose ces conditions remplies et qu’on veuille déter-

498 DBS EQUATIONS SUSCEPTIBLES d' ABAISSEMENT.

miner les racines communes aux deux équations <p (•») = () et ^ar) = 0 , oq cherchera le plus grand commun diviseur de leurs premiers membres, et en résolvant l'équation formée en l’égalant à zéro, on obtiendra les racines communes à ces équations.

Si maintenant on divise <p(x) et +(«) par le plus grand commun diviseur trouvé D, et qu’on égale les quotients à zéro, on

obtiendra deux équations-^— 0 et ^-^=0 qui auront pour

racines les autres racines des équations proposées, de sorte que leur résolution dépendra ainsi de celles d’équations de degré • moindre.

62d. Problème II. Étant donné e une équation du degré m à coefficients indéterminés , trouver les relations qui doivent exister entre ces coefficients , pour que deux racines de la proposée satisfassent à f équation à deux inconnues py-f-qz = r, et déterminer ces racines, lorsque les conditions dont il s'agit sont remplies.

Soient a et b deux racines de l'équation f(x)= 0 qui vérifient l’équation py-\-qs-=sr : on aura donc

?(«)=0, #)=0, pa+qb—r.

On tire de cette dernière b = — et par conséquent ç (y — 0 ; d’où l’on voit que les deux équations

<p(ar) = 0 et 0

ont la racine commune a, et qu’âinsi leurs premiers membres ont un commun diviseur. En conséquence, on cherchera le plus

grand commun diviseur des polynômes f(xj et y ^ , on

poursuivra l’opération jusqu’à ce qu’on soit arrivé à un resta indépendant de a:, et, en égalant ce reste à zéro, on obtiendra la relation demandée.

Si la proposée doit avoir n couples de racines qui vérifient

l’équation py-f ÿ3 = r, le plus grand commun diviseur dont il s’agit devra être du i»** degré, de sorte qu’on arrêtera le calcul nécessaire pour le déterminer au reste du (n — 1 )“” degré , lequel sera de la forme

Ai*"-1 + A>x— ‘-f A^’-3 -}- — + A„ , d’où l’on conclura les n équations de condition (580*)

A, = 0, Aj = 0, A» = 0,...An = 0.

Si l’on suppose ces conditions satisfaites, on trouvera nécessairement un plus grand commun diviseur D entre les polynômes <p(ar) et ff^,e t, en l’égalant à zéro, on formera une

équation dont la résolution fera connaître les racines de ?(x)=0 qui doivent être mises à la place de ij dans l’équation py-\- qz=-r ; de sorte que pour avoir leurs conjuguées, il n’y aura qu’à remplacer y par ces valeurs trouvées de x dans la formule

On voit donc que si le plus grand commun diviseur D est d’un degré supérieur au premier, il y aura en général autant de couples de racines de l’équation ip(a;)=0, qui satisferont à l’é— quation py -\-qs — r, qu’il est marqué par le degré de ce plus grand commun diviseur. ' "

Toutefois , cette conséquence serait inexacte si la proposée

ttyf*

avait une racine c telle que — - — fût égale à c, ou, ce qui revient

au même, si elle avait une racine c = — . En effet, cette racine

vérifie l’équation ?("~y~)==0 puisque, d’après notre hypothèse, faire x—c dans cette équation , c'est faire x=c dans la proposée. Donc c est racine de D=0, de sorte que cette équation détermine non-seulement les racines de ç(#)=0 qui, conjointement avec une autre racine de la proposée, satisfont à py+qz=r,

mais encore celle des racines de la proposée qui est égale

ÔOO DES ÉQUATIONS SUSCEPTIBLES d'aBAISSEMENT.

si cette équation en a une pareille , et elle la donne autant de fois que eette racine entre dans la proposée.

Ainsi, avant de s’occuper de la recherche des racines de ip(j;)=0 qui satisfont à py-\-qz=r, on commencera par exar

miner si

est une racine de cette équation, et on devra la

débarrasser de toutes les racines égales à quelle pourra

contenir, ce qui ne saurait présenter de difficulté.