Nous avons vu (605) que la résolution d’une équation

qui renferme des racines égales, se ramène à celle d une suite d'équations qui n'ont plus de racines égales, et qui sont d’un degré inférieur à celui de la proposée. Ce n'est pas là la seule classe d’équations qui soient susceptibles d'abaissement. Toutes les fois qu’il existe des relations particulières entre les racines d’une équation , sa résolution peut être ramenée à celle d’une • ou de plusieurs équations d'un degré inférieur au sien.

La recherche des caractères auxquels on reconnaît qu’une équation est susceptible d’abaissement, et celle des moyens d’effectuer cet abaissement doivent ainsi faire partie de la théorie de la transformation des équations. Mais on sent que le nombre des questions qui se rapportent à cette recherche n’a pas de limite, de sorte que nous devons considérer seulement celles de ces questions qui sont les plus remarquables. C’est à ce ti- • . tre que nous allons d’abord nous occuper des équations réciproques.

g I. DES ÉQUATIONS RÉCIPROQUES.

616. On appelle équation réciproque celle dont les racines ( sont réciproques les unes des autres , c'est-à-dire sont telles qu'on les reproduit toutes en divisant F unité successivement par chacune d’elles.

617. Problème. Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une équation soit réciproque.

Nous examinerons d’abord le cas où la proposée est de degré pair. Soit

(f(a:)=a^"+. . .+PnjJ^-"+. . .+P,#"+...+P»»-«**+. . .+P,„=0,

cette équation. Nous représentons en général par P„ le coefficient du terme qui en a n avant lui, et nous avons écrit outre les deux termes extrêmes, deux termes équidistants de ces extrêmes et celui du milieu. Si nous changeons, dans cette équation, x en il est clair qu’on obtiendra toutes les racines de la

transformée ? = 0 en divisant l’unité par toutes celles de

<p(x) = 0 ; de sorte que si cette dernière est réciproque, ses racines seront les mêmes que celles de tp \ — 0, et par conséquent les premiers membres de ces équations seront identiques, quand on aura ramené la dernière à la forme ordinaire. Réciproquement, si les équations (j>(x)=0 et ? sont identi-

ques, la proposée sera réciproque, car elles auront les mêmes racines, et on reproduira ainsi toutes les racines de ip(:r)=0en divisant l’unité successivement par chacune d’elles. Donc la condition necessaire et suffisante pour que la proposée ç(x) soit

réciproque , c’est qu' elle puisse être identifiée avec <pQ^=0.

Je change donc x en - , ce qui donne

»®=^+-+ï^.+-+^+-+tr+-+f-=o.

ou , en chassant les dénominateurs , renversant l’ordre des termes et divisant par P*,,

ljm *«» » «m

J’identifie cette équation avec la proposée, et je trouve P P P 1

î> >», p * <") P * tm— »> n 1 *—•

* 2m * *m *■ im * tm

La dernière équation donne ..

et les autres deviennent alors

P. = ±Plm„,

On voit que si l’on prend les signes inférieurs, l’équation P„= — P„ exige que P„ = 0. Ainsi pour qu'une équation de

degré pair soit réciproque , il faut et il suffit que les coefficients des termes équidistants des extrêmes soient égaux et de mêmes signes, ou égaux et de signes contraires, pourvu que, dans ce dernier cas, le terme du milieu manque.

On verra de la môme manière, que, pour qu'une équation de degré impair soit réciproque, il faut et il suffit que les coefficients des termes équidistants des extrêmes soient égaux et de mêmes signes, ou égaux et de signes contraires. On partirait, pour le faire voir, de l'équation

x"*-' + ... + P.x1— + ... + P**-**-4-1 + ... + P*»+l=0. 618. Nous allons maintenant nous occuper de la résolution d’une équation réciproque. Nous distinguerons quatre cas.

1" Cas. L'équation est de degré pair et les coefficients des termes équidistants des extrêmes sont égaux et de mêmes signes. Soit

f(X ) = x~ + P, Z*-1 + Pt**’"-1 + ••• + P»*" +•••) m + P,z* + P,x + 1=0 j LJ

cette équation. Le produit de deux racines réciproques étant

l’unité, on voit que si l’on connaissait leur somme il serait facile de les calculer (248). Désignons donc par y l’une quelconque ’ des sommes que l'on obtient en ajoutant à chaque racine de la proposée sa réciproque; on aura

et y ne sera susceptible que de m valeurs distinctes ; de sorte que l’équation qui déterminera y sera seulement du degré m. Par conséquent la résolution de la proposée sera ainsi ramenée à celle

DSS ÉQUATIONS SCSCBPTIBUS D'aBAISSKMIKT. 493

d une équation de degré tons-double *; car lorsqu’on aura trouvé toutes les valeurs de y, il subira de les substituer successivement dans 1 équation [2] et de résoudre les équations résultantes qui ne seront-que du deuxième degré, pour obtenir toutes les racines de l’équation [1].

Pour former lequation en y, il n’y a qu’à éliminer cette inconnue entre les équations [ I] et [2] ; ce qui se fera èn ramenant d’abord l’équation [2] à la forme

et en appliquant ensuite aux premiers membres des équations [I] et [3] la méthode du plus grand commun diviseur. Mais la forme particulière de l'équation [1] permet d’effectuer l’élimination de y beaucoup plus simplement. Divisons, en effet, tous les termes de l’équation [1] par xm et groupons les termes équidistants des extrêmes : il viendra

de sorte que si l’on peut exprimer en général tr"-}- en fonction rationnelle de y, l’élimination de cette inconnue s’effectuera immédiatement. Or, on a évidemment

d’où

*On pourrait dire encore que la fonction x -fi ne changeant pas lorsque l’on y change x en i, si l’on cherche une équation dont les racines soient

liées h celles de la proposée par la relation y=z + i, cette équation ne

pourra avoir que tn racines dûiincier, de sorte que la résolution de la proposée sera ramenée à celle do deux équations, l’une du degré m et l’autre du second degré, qui est l’équation [3"|.

Ainsi , pour former une quelconque des fonctions qui entrent dans le premier membre de l'équation [4], il faut multiplier la . précédente par y et retrancher du produit la fonction ante -précédente. Or, on a . • *

- - x + x-=yî ;■ •

donc ** “f* ff — V% — ® *

«‘+fÿ=y*— *y*+*.

etc.

En substituant ces valeurs dans l’équation [4], l’élimination de x se trouvera effectuée , et on voit se réaliser ce que nous avions prévu, savoir que l’équation finale en y sera du ne* degré. On résoudra donc celte équation finale, et ensuite on substituera successivement chacune de ses racines dans la formule

tirée de l’équation [3], ce qui fera connaître toutes les racines de la proposée. - .

019. Remarquons que l’équation [1] peut avoir plusieurs racines égales à -|- 1 ou à — 1 , car le caractère de cette équation est qu’elle est vérifiée par chacun des quotients que l’on trouve en divisant l’unité par chacune de ses racines. En conséquence,

« on commencera par essayer si -(-1 et — 1 la. vérifient, et on

cherchera ensuite combien de fois chacun de ces nombres se trouve parmi ses racines (007); puis on divisera son premier membre par le produit des facteurs du premier degré correspondants à toutes ces racines 4-1 et — 1, et on appliquera ensuite à 1 équation-quotient la méthode que nous venons . . d’exposer. • •