Si aucune des racines de f(x)z

:0 n’est égale à — , et-

que ces racines puissent être accouplées de telle sorte que ,1a

somme des deux racines de chaque groupe soit égale à -, on voit

que l’équation D=0 aura les mêmes racines que la proposée, et qu’ainsi notre méthode deviendra illusoire. Mais alors on observera que si l’on choisit une inconnue auxiliaire qui soit une fonction symétrique quelconque des deux racines conjuguées a et b (656), comme t = ab, ou etc., cette inconnue

aura autant de valeurs qu'il y a de racines dans la proposée ; mais comme elles sont égales deux à deux, l’équation en t s’abaissera à une équation de degré sous-double , en extrayant la racine carrée de ses deux membres. Cette équation s’abaissera encore à une autre de degré sous-double, si l’on pose t—a — b , car alors les valeurs de t seront deux à deux égales et de signes contraires.

Toutefois, dans le cas actuel , il vaudra encore mieux transformer l'équation proposée en une autre dont les racines soient

égales aux siennes diminuées de ~ (ce qui revient (888) à faire

évanouir le deuxième terme de la proposée-, car les deux racines

conjuguées a et f», dont la somme est -, deviendront a — — et

b — de sorte que leur somme sera alors égale à zéro. De

cette manière l’équation transformée aura ses racines deux à deux égales et de signes contraires; donc elle sera réductible à une équation de degré sous-double.

828. Problème 111. L'équation x‘-f 2xs— 21x* — 22x-|-40=0 a ses racines en proportion par différence : calculer ces racines.

1" Sof-CTios. La somme des quatre racines étant — 2, on Toit que la somme des deux moyens et celle des deux extrêmes de la proportion qu’elles forment est égale à — 1; donc nos quatre racines font deux groupes , tels que la somme des racines contenues dans chacun est égale à — 1 ; nous transformerons donc notre équation en une autre dont les racines soient égales aux siennes diminuées de — { (627) ; ainsi nous poserons y — x -f- 1 , d’où x = y — J , et nous trouverons

dou y—±-, y = ±-,

et par suite x — 4, x = — 5, x — 1, x = — 2.

2e Solution; On peut résoudre ce problème encore plus simplement de la manière suivante.

La somme des deux moyens de la proportion formée par les racines étant — 1, on voit que si l’on appelle y leur produit, on obtiendra ces racines en résolvant l’équation x -f y = O ,• de sorte que le premier membre de cette équation devra diviser celui de la proposée. On effectuera donc cette division , et on s’arrêtera h un reste du premier degré par rapport à x , lequel sera de la forme M.r -f- N. Or, si la valeur de y était connue, on la substituerait dans ce reste, et il devrait s'anéantir indépen-

damment de x\ donc cette valeur de y est une racine commune aux deux équations M=0 et N=0. En conséquence, on cherchera le plus grand commun diviseur des polynômes M et N, et en l’égalant à zéro, on obtiendra la valeur cherchée de y. Mais comme y ne représente pas le produit des moyens plutôt que celui des extrêmes, puisque la somme des extrêmes est — 1 comme celle des moyens, le plus grand commun diviseur sera du second degré.

En effectuant ces calculs, on trouvera que le reste qui suit celui du deuxième degré en .r est y*-(- 22y -j— 40, de soi te qu’en l’égalant à zéro, on trouvera y = — 2ety = — 20. On substituera donc ces valeurs successivement dans la formule — 1 \/ 1 — 4y

x = — — i i tirée de l’équation <r*-{-Jc-j-y=0, et il

viendra ainsi x~l , <r = — 2, x — i,x = — 5.

<129. Problème IV. Trouver les relations qui doivent exister entre les cocfjicients indéterminés d’une équation ç;x)=0, pour qu elle ait deux racines égales et de signes contraires.

• Ici r=0 et q—-j-p, de sorte que pour résoudre le problème, il faudra chercher le plus grand commun diviseur entre les premiers membres des équations

?(x) = 0 et <pf — *)=0**

et exprimer que le reste du premier degré par rapport à a- est identiquement nul (330*). Mais j’observe qu’au système de ces deux équations on peut substituer le système formé de leur somme et de leur différence : or, la somme de leurs premiers membres est le double de la somme des termes de degré pair

* l’ourlr.iitcr celte question directement, et c’est ce qu’il faut toujours faire dans un examen, on dira : si je transforme l’équation proposée en Une autre, dont les racines soient égales et de signes contraires aux siennes, j’obtiendrai une équation — x)=Q, qui aura deux racines communes avec la proposée ç{x)— ü, de sorte que leurs premiers membres devront avoir un commun diviseur du second degré : il faudra donc chercher ce

plu; grand commun diviseur, et exprimer que, etc.

DES ÉQUATIONS StTSCEPTIBlES D’ABAISSEMENT. ft08

dans la proposée ; leur différence est le double de la somme des termes de degré impairde cette même équation, laquelle somme pourra être divisée pat x; en conséquence, au lieu de chercher le plus grand commun diviseur entre ?(r) et ?(— ar), on le cherchera entre la somme des termes de degré pair de l'équation et la somme de ses termes de degré impair, di-

visée par x, de sorte que les restes que l’on obtiendra ainsi ne renfermeront que des termes de degré pair; par conséquent le reste qui correspondra au diviseur du deuxième degré sera indépendant de xi et, en l'égalant à zéro, on aura la relation demandée. •

650. Problème V. Trouver les relations qui doivent exister entre les coefficients indéterminés de l'équation ç(x =0 pour que deux de ses racines soient dans le rapport de 1 à q.

Ii suffira de supposer r = 0 et p = — 1 dans la solution du problème II, ce qui conduira à chercher le plus grand commun

diviseur des deux polynômes «p [sç) et o et à égaler à zéro le reste indépendant de x *.

Si l’on veut qu'il y ait n couples de racines dont le rapport soit q, on observera que le plus grand oommun diviseur des polynômes <f(x) et f (^j devra être alors du n,,,e degré, et qu’ainsi

il faudra égaler à zéro les coefficients des diverses puissances de x dans le reste correspondant

ktX*-1 + Ata?"-1 -f ... + A., ce qui donnera les n équations de condition A, — 0, A|=0, . » . A„ = 0.

Mais si le rapport q n’est pas donné, ce qui arrivera si Ton

* Pour traiter celle question a priori, nous dirons : si nous transformons l’équation proposée en une autre, dont les racines soient q fols plus grandes que les siennes, nous obtiendrons une équation ç(-"j = 0, qui aura

une racine commune avec ?Lr) = 0; de sorte que leurs premiers membres auront un commun diviseur du premier degré, etc.

demande seulement que 2n raeines de y(x) forment une suite de rapports égaux, on observera que les n équations précédentes devront être vérifiées par une même valeur de q, de sorte que leurs premiers membres doivent avoir un commun diviseur. Ou cherchera donc le plus grand commun diviseur entre deux des polynômes Ai, Ai, . . . A», et on s’arrêtera à un reste indépendant de q, que l’on égalera à zéro; puis on exprimera que le reste du premier degré que l’on aura ainsi trouvé, divise les premiers membres de toutes les autres équations , et l'on ob- * tiendra ainsi (n — 1) équations de condition qui résoudront la * question. Elles résultent, comme on voit, de l'élimination de g, entre les n équations Ai = 0, Ai=0, . . . A„— 0.