Problème VI. Les quatre racines de l’équation x* — Ax

4- Bx* — Cx-{-D=0 forment une proportion par quotient : trou- . ver ces racines. , '

On pourrait déduire la solution de ce problème de ce que nous venons de dire, mais la méthode suivante y conduit plus * rapidement. v

Soient a, b, c, d les quatre racines demandées telles que ad—bc. Je remarque que l’on u-\-Ç.=abc-\-abd-\-acd-{-bcd =ad(6-f-c) -)- biia-\- d)=ad{a-\- b c d)r=-\-kad, d’où

ad = ^. On connaît donc ainsi le produit des deux extrêmes,

de sorte que si l'on peut trouver leur somme, il sera facile de les déterminer. Soit y cette somme, nos deux extrêmes seront

ainsi les racines de l'équation a* — y,r4-T = 0, dont le pre-

mier membre devra par conséquent diviser celui de la proposée. On effectuera doDc la division de or1 — A^-j-Ba;' — Cx-j- D par

a? — yar-}--, etc. (828, 2* solution).

Exbmple. — 7x,-(-22:-f-4 = 0. On trouvera M = ys

-fy5 — 1 ly=0etN=— 2y* — 2y-f22=0; parsuitey— —

052. Problèub VII. Trouver les relations qui doivent exister entre les coefficients indéterminés de l’equation <ç(x)=0 pour que ses racines forment une progression par quotient.

Soit*/ la raison de cette progression : si i’on transforme l'équation *(x)=0 en une autre dont les racines soient q fois plus

grandes, nous obtiendrons une transformée <p^)=0 qui aura {w — 1) racines communes avec la proposée, de sorte que les polynômes q(x) et f(^J auront un commun diviseur du degré

(m — t) ; on cherchera donc ce plus grand commun diviseur, et en égalant à zéro les coefficients de x dans le reste du degré (m — 2), on obtiendra (m — l) équations qui résoudront le problème, si g est connue. Mais si cette raison n’est pas donnée, il faudra, comme on l'a vu (050), éliminer q entre ces (m — 1) équations, ce qui réduira à (m — 2) le nombre des conditions demandées.