DUS FONCTIONS SYMÉTRIQUES

lion de T{tÇb*ei)i T {tf*4b*&1'), T (a'ô^e7), ^((fb^c't+,), puis en

* fonction des sommes de puissances semblables des racines de la proposée, au moyen de la formule [6], et ainsi de suite. Notre théorème est donc complètement démontré.

642. La théorie des fonctions symétriques s’applique immédiatement à la formation d'une équation dont les racines doivent être des fonctions rationnelles de celles d’une équation

• donnée, et deux méthodes peuvent être employées pour y parvenir. Supposons que l’on propose de transformer uue équation tp( x) = 0 en une autre dont les racines soient liées avec les siennes par la relation y = f(x’, x"), x! et ar" représentant deux racines quelconques de la proposée et f(x’, x”) une fonction ra- . tionnelle et connue de ces racines.

1” Méthode. J'appelle a, b, c, d,... les m racines de la proposée, et, si je remplace x1 et x" successivement par chacune de ces quantités, les résultats

représenteront toutes les racines de l’équation cherchée , qui reviendra ainsi à

1 y—ÏÏa, è» | !/—f(a, c)j. . . j y—f(b, a) j \y—f{b, e)|. . . =0.

Or, il est évident que Je premier membre de cette équation ue change pas si l’on y permute deux quelconques des quantités a, b , c..., de sorte que si , après avoir effectué les calculs, on ordonne le produit suivant les puissances décroissantes de y, le coefficient de chacune de ces puissances sera une fonction symétrique et rationnelle des racines de la proposée <y(x)=0; il suffira donc de calculer çes coefficients en fonction rationnelle de ceux de cette équation, au moyen des formules que nous avons données ci-dessus, et le problème sera résolu.

2" Méthode. On commencera par déterminer le degré do l’équation demandée, ce qui est facile, en cherchant combien la fonction f(x\ a?, admet de valeurs, lorsqu’on y remplace

518 DBS FONCTIONS SYMÉTRIQUES,

successivement x' et x" par toutes les racines de <p(x) =0. Soit » ce degré : l’équation en y sera de la forme

r + P'.îr 1 + P'.’r* + ■ • • + p’. = o ,

P',, P'„... P'„ étant des coefficients indéterminés dont il s’agit de trouver les valeurs. Or, on a , enhre ces coefficients et les sommes des puissances semblables des racines de <p(x) = 0, les relations ,

: etc., • . -

en désignant en général par S'« la somme des n"” puissances dés racines de l’équation cherchée ; d’où Kon voit que si l’on peut calculer S', , S',, S',,... en fonction rationnelle des coefficients de l’équation <p(x)=.0, le problème sera résolu. Mais ces quan^ titésS't, S'*, S’,,... S', sont des fonctions symétriques et rationnelles des racines de la proposée ; donc elles seront ëxprimables en fonctions. rationnelles de ses coefficients.

043. Cette méthode conduit en général à des calculs beaucoup plus simples que la première. Nous allons en faire 1 application à la formation de V équation aux carrés des différences des racines de l'équation

n/{x) — x" + PiX"-1 + Pt®"’-* -|- . . . + P»= 0.

L’équation demandée sera du degré ^ > de sorte (lue

si, pour abréger, nous représentons ce nombre par », elle sera de la forme

et il s’agira, d’après ce qui précède, de calculer en général S'« en fonction rationnelle des coefficients de a<x) = 0.

Pour y parvenir, je représente par F(x) la fonction

(x— o^+Cx— c)"+- • • +(«—

. DES FONCTIONS SYMÉTIUQl’ES.

a, b, c ... k désignant les racines de l'équation proposée. Or, si on suppose x ~a, on aura . •

F(a) = (a — + (fl — c)*1 (a — k)u,

c’est à-diré la somme des a”1'* puissances des carrés des différences qui existent entre la racine a et toutes les autres ; de même F(6) sera la somme des am'* puissances des carrés des différences qui ont lieu entre la racine b et toutes les autres, et ainsi de suite; donc la somme des résultats que l’on obtiendra en remplaçant successivement x par a, b, c...k dans F(x), sera le double de S'„; je dis le double, parce que {a — bf*=(b — a)**,

(a — c)ta=!c — a)**, etc., et qu’ainsi chacune des quantités (a — b)u, (a— c}’*,... se trouve répétée deux fois dans la somme dont il s’agit. *. •

* Il faut donc d’abord former F(«). Or, on a

(x— a)*» = xu— C,u.r,‘-‘4-C,n'x*— . . . ±C««*x*. . . -}- C,a**-*x *

en désignant, pour abréger, par C, le nombre des combinaisons dont sont susceptibles 2a quantités prises n à n. Si, dans cette formule, on remplace successivement a par b, par c... et par A, et que l’on additionne tous les résultats, en mettant chaque puissance de x en facteur commun, il viendra

¥(x) = nu** — CiSiX**^1 -f — ...± C„Sa£*. . . -f- »

— • CiSj^.,x -j- S!a.

Je remplace enfin x successivement par a,b,e ... k, j’ajoute les résultats et je trouve . • .

2S'a — mSs» — CiS,Sfa, -(- CjSjS»t-j — ... i CaS„*. . . -f- CtSj,,S,

Ici les termes équidistants des extrêmes sont égaux, de sorte qu’on en déduit

S’«= «S* — C,S,S,*, + CÂSh-. — ...±|CaS,*, qui est la formule cherchée.

Si on observe que m=S,. on en conclura la règle pratique

520 OKS FONCTIONS STOIKTRIQIÏS.

suivante : pour obtenir S',, faites le développement de (S — Sf* d'après la règle de Newton (333), en ayant soin de donner à chaque S un indice au lieu d'un exposant, de vous arrêter an terme où ces indices seront égaux et de diviser ce terme par 2. D'après cela, si l’équation proposée est

auquel cas l'équation aux carrés des différences est de la forme 3, + P'l3* + P't3 4-P', = 0, on construira les formules ’ ,

S', = 38,-8.’, S', = 3S* — 4S.Sj -j- 3S,’, 1 . ’

S', = 3S, — 6S,Ss + 15S& - 10S’, J Lyj '

On a d’ailleurs

Ss + P,S1+ PA + 3PS = 0 , S.+ P.S.+PA -f PA=0 [10]; Sj-f* PA 4" P,Sj -4 PA =P, S.+P.S.+PA 4" PA = o)

et en outre

Un trouvera aumoyen des formules[tO] lesvaleursde S., S,,.. S,; puis S‘,, S',, S'„ à l’aide des formules [9], et enfin on tirera les valeurs de P'., P'„ P', des formules [11].

On peut faire subir à ces formules une simplification trèsnotable , en commençant par transformer l’équation proposée en une autre qui n’ait plus de deuxième terme, et en cherchant l’équation aux carrés des différences de cette transformée; car cette équation aux carrés desdifférences sera la même que celle qui est relative à la proposée (388) ; de cette manière P. sera nul, et les formules deviendront

s,=o, s, ——IP,, S,--3l\,

S, = -P&, Ss=— PA— PÂ, S,=- IV-S;— P>V,

s',=as,4sS5.

S'r.=RS,+ 1 5S£. — 10S1, J

S',+P',S',+ P'.sv

DES FONCTIONS SYM BTRiyi'ES. ' 521

Prenons pour exemple l'équation .r*-}-3.r* — 4j-}-1=0. Je fais évanouir le deuxième terme, ce qui la réduit à a? — 7.r-|-7=0.

Je cherche donc l'équation aux carrés des différences des racines de cette équation , et, pour cela, je pose P,=0, P,= — 7,

P, = -f-7. Je trouve de cette manière

Ainsi l'équation aux carrés des différences des racines de a^+3z* — 4»r-t-l =0 est

644. On pourra obtenir, par la même méthode et par des calculs plus simples que ceux qu'exige le procédé indiqué aux n“599,' 600 et 601, les équations aux sommes, aux produits, et aux quotients des racines d’une équation donnée.

Pour l’équation aux sommes, on trouvera, en partant de

p(x) =(x+ar+(*-i-6)*-f ...+(*-f-*r,

que